Resolução do Exame Tipo

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1 Departamento de Matemática e Engenharias Análise e Computação Numérica Resolução do Exame Tipo 1. O computador IBM 3090 possuía um sistema de vírgula flutuante F F(16, 5, 65, 62) (em precisão simples), sendo o arredondamento feito por corte. Determine, para esse computador: (a) o maior número exactamente representável em F e o menor número de máquina positivo; B (0.FFFFF ; β ( ) 16 (b) as regiões de underflow e de overflow e a representação de F na recta real; underflow: ( β, 0) (0, β); overflow: (, B) (B, +) (c) a cardinalidade do conjunto dos números de máquina, #F; #F 2(16 1)( )( ) (d) a unidade de arredondamento µ; µ (e) a precisão decimal. 10 p 16 5 p log 10 5 log 16 p 5 log Considere o sistema linear Ax b, sendo A e b (a) Verifique se o sistema é bem condicionado, calculando o número de condição, cond(a) A A max { , , } max {4.32, 3.24, 4.12} 4.32 A 1 max { , , } cond(a) sistema não é mal condicionado. (b) Avalie novamente o condicionamento do sistema utilizando agora o número de condição de Hadamard. det(a) α ( 0.08) α ( 0.15) α ( 0.08) K H (A) K H (A) 0.1 nada se pode afirmar sobre o condicionamento do sistema.

2 (c) Resolva o sistema linear em um sistema de vírgula flutuante F de base 10 e precisão 4, com arredondamento simétrico, utilizando o método de Gauss com pivotamento parcial. (d) Estude a convergência do método de Gauss-Seidel para a matriz A utilizando o critério de Sassenfeld β β β max {0.08, , } 0.08 < 1 método de Gauss-Seidel irá gerar uma sequência convergente, independentemente da aproximação inicial x (0). (e) Resolva novamente o sistema linear em F, utilizando agora o método iterativo de Gauss-Seidel com x (0) (0, 0, 0) T, adoptando como critério de paragem x (i+1) x (i) x (i+1) < k0: x (0) k1: x (2) x (2) x (2) x (2) x (2) k2: 8.00 (0.24x(0) x (0) 9.00 (0.09x(1) x (0) (0.04x(1) (0.24x(k) x (k) 9.00 (0.09x(k+1) x (k) (0.04x(k+1) ( max 1 x(0) 1 2, x(0) 2 ) 3 1, x(0) (1) max n x 1, 2, o ( ) (0.09x(1) x (0) (0.04x(1) max{1, 1, 1} max{2, 2.94, 5.039} 8.00 ( ) ( ) ( ) max { , , } max {1.924, 3.194, 5.045}

3 x (3) x (3) x (3) x (3) x (2) x (3) 8.00 ( ) ( ) ( ) max { , , 0} max {1.909, 3.195, 5.045} x x (3) (1.909, 3.195, 5.045) T 3. Seja p(x) x 5 9x x 3 103x x < 10 2 (a) Sabendo que o polinómio dado apresenta um zero real α no intervalo [0, 1.5], utilize o método da falsa posição (regula falsi) para determinar uma aproximação para α, adoptando como critério de paragem x i+1 x i x i+1 < a 0 x 0 0, b p(a 0 ) p(0) 70 < 0, p(b 0 ) p(1.5) > 0; a 0 < α < b 0 i 0 : x a 0p(b 0 ) b 0 p(a 0 ) ( 70) p(b 0 ) p(a 0 ) ( 70) p(x 1 ) p( ) > 0 x 1 x x a a 0 0, b x ; a 1 < α < b 1 i 1 : ( 70) x ( 70) p(x p( ) > 0 x 2 x < 0.05 x x x Observação: Tomando ε 10 2, seriam necessárias 16 iterações para se obter a aproximação para a raiz real α, ainda assim muito distante do seu valor exacto, α 1. (b) Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para encontrar um valor que aproxime α com um erro inferior a ε log(1.5 0) log 10 6 k iterações log 2 4. Seja f(x) cosπx dada na forma tabular: x i f(x i ) (a) Determine o polinómio interpolador P 3 (x) para os valores tabelados usando a fórmula de Lagrange. (x 0.5)(x 1)(x 1.5) L 0 (x) (0 0.5)(0 1)(0 1.5) 4 3 x3 + 4x x + 1

4 (x 0)(x 1)(x 1.5) L 1 (x) (0.5 0)(0.5 1)( ) 4x3 10x 2 + 6x (x 0)(x 0.5)(x 1.5) L 2 (x) (1 0)(1 0.5)(1 1.5) 4x3 + 8x 2 3x (x 0)(x 0.5)(x 1) L 3 (x) (1.5 0)( )(1.5 1) 4 3 x3 2x x P 3 (x) 1 ( 4 3 x3 + 4x 2 11x + 1) (4x3 10x 2 + 6x) + + ( 1) ( 4x 3 + 8x 2 3x) + 0 ( 4 3 x3 2x x) 8 3 x3 4x x + 1 (b) Calcule uma aproximação para f(1.2) e forneça uma estimativa para o valor absoluto do erro de interpolação. 5. Seja I f(1.2) P 3 (1.2) 8 3 (1.2)3 4(1.2) 2 2 (1.2) f (iv) (x) π 4 cos πx; max f (iv) (x) { max π 4 cosπx } π E 3 (1.2) (1.2 0)( )(1.2 1)( ) (3 + 1)! π cos x dx. (a) Calcule uma aproximação para I, utilizando a regra do 1/3 de Simpson, com n 10. h I cosx dx 0.15 [cos 0+4 (cos cos cos cos cos 1.35) (cos cos cos cos 1.20) + cos 1.5] (b) Forneça uma estimativa para o valor absoluto do erro na integração numérica. f (iv) (x) cosx; max f (iv) (x) max { cos x } 1 E S1 (0.15) (0.15)4 (1.5 0) Determine y(1) para { y y x y(0) 2 utilizando os seguintes métodos numéricos, com h 0.1: (a) método clássico de Runge-Kutta de quarta ordem; i 0 : x 0 0, y 0 2 k hf(x 0,y 0 ) hf(0, 2) (0.1)(2 0) 0.2 k hf(x h, y k 2 1) hf(0+ 1(0.1), 2+ 1 (0.2)) (0.1)( ) k hf(x h, y k 2 2) hf( , ) (0.1)( ) k 4 hf(x 0 + h, y 0 + k hf( , ) (0.1)( ) y y 0 + 1(k k 2 +2k 3 +k 4 ) 2+ 1 ( ) i 1 : x 0.1, y k hf(x 1,y 1 ) hf(0.1, 2.205) (0.1)( ) k hf(x h, y k 2 1) hf(0.15, 2.311) (0.1)( ) k hf(x h, y k 2 2) hf(0.15, 2.313) (0.1)( ) 0.216

5 k 4 hf(x 1 + h, y 1 + k hf(0.2, 2.421) (0.1)( ) y y 1 + 1(k 6 1+2k 2 +2k 3 +k 4 ) ( ) De maneira análoga, obtém-se as aproximações y 3,...,y 10 para y(0.3),...,y(1.0): Solução aproximada Solução exacta x i y i y(x i ) e x i + x i y(1) y (b) método de Adams-Bashforth de passo 4. Sabendo que a solução exacta da equação diferencial é y(x) e x + x + 1, use-a, na alínea (b), para calcular os valores iniciais necessários à aplicação do método de Adams- Bashforth. y 0 y(0) 2 y y(0.1) e y y(0.2) e y y(0.3) e f(x i,y i ) y i x i i 3 : y 4 y 3 + h [55f(x 24 3,y 59f(x 2,y + 37f(x 1,y 1 ) 9f(x 0,y 0 )] y 3 + h [55 (y 24 3 x 59 (y 2 x + 37 (y 1 x 1 ) 9 (y 0 x 0 )] [55 ( ) 59 ( ) ( ) 9 (2 0)] De maneira análoga, obtém-se as aproximações y 5,...,y 10 para y(0.5),...,y(1.0): Solução aproximada Solução exacta x i y i y(x i ) e x i + x i y(1) y