Folha Prática - Representação de Números e Erros. 1. Representar os seguintes números decimais em binário com ponto fixo:

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1 Computação Científica Folha Prática - Representação de Números e Erros 1. Representar os seguintes números decimais em binário com ponto fixo: a) 24 b) 197 c) 1001 d) 7,65 e) 8,963 f) 266,66 2. Obter os números decimais correspondentes às seguintes representações binárias: a) b) c) 0, d) , Quantos dígitos binários são necessários para se representar o número 0,7 com precisão de 6 casas decimais? 4. Quantos dígitos binários são necessários para se representar o número 333,476 com precisão de 3 casas decimais? 5. Qual é o maior número (em módulo) que pode ser representado com 11 dígitos binários? E qual é o menor número (em módulo), excluindo-se zero? 6. Caso fosse utilizado um sistema de representação com 3 símbolos (0, 1 e 2), qual deveria ser a base utilizada? Como seria a representação do número decimal 29? 7. Caso fosse utilizado um sistema de representação com 8 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7), qual base poderia ser utilizada? Como seria a representação do número decimal Representar os seguintes números decimais em binário com ponto flutuante, utilizando 8 dígitos binários significativos: 7; 31; 65; 97; 1099; 0,1377; 265,43; 909, Obter os números decimais correspondentes às seguintes representações em binário com ponto flutuante: a) (1,001) x 2 (0100) b) -(1,10101) x 2 (1001) c) (1,011) x 2 -(1110) 10. Quantos algarismos significativos são necessários para se representar a fração 1/3 com uma precisão de 6 casas decimais utilizando binário com ponto flutuante? 11. Suponha que um sistema de representação binária com ponto flutuante utilize 6 algarismos para representar a mantissa de um número e 4 algarismos para representar o expoente. Qual o número imediatamente maior que (1,01001) x 2 (0001) e qual o número imediatamente menor? Quanto valem estes números na representação decimal? Neste caso, como poderia ser representado o número decimal 2,6? 12. Converta para a base binária, usando o método das divisões sucessivas, os seguintes números inteiros: a) 13 c) 192 e) 347 g) 923 b) 35 d) 255 f) 513 Carlos Barrico 1

2 Folha Prática - Representação de Números e Erros Computação Científica 13. Converta para a base binária, usando os processos das divisões sucessivas (quando necessário) e das multiplicações sucessivas, os seguintes números reais com ponto fixo: a) 0.5 c) e) g) 75.8 b) 1.25 d) f) Represente no formato com ponto flutuante normalizado da base binária os seguintes números reais: a) 0.1 d) 1.25 g) b) 0.5 e) 3.8 h) 4.25 c) f) i) Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoente e {-5,, 6}, F(10, 4, -5, 6):.d 1 d 2 d 3 d 4 x 10 e. a) Determine o maior e menor números positivos que este computador pode representar. b) Para que números ocorre overflow e underflow? 16. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoente e {-5,, 6}, F(10, 4, -5, 6):.d 1 d 2 d 3 d 4 x 10 e. Determine o resultado das seguintes operações (começar por representar os valores no formato de ponto flutuante normalizado): a) d) 1.25 x b) e) / 1.25 c) Considere um hipotético computador com 4 dígitos, base binária (b=2) e expoente e {-5,, 6}, F(2, 4, -5, 6): d 1 d 2 d 3 d 4 x 2 e. Determine todos os valores possíveis neste computador. 18. Represente o número 12 em notação normalizada de 2 dígitos, base binária e intervalo dos expoentes definido em { -4,, 5 }, F(2, 2, -4, 5). 19. Representar o número 25 em notação normalizada de 2 dígitos, base decimal e intervalo dos expoentes definido em { -2,, 3 }, F(10, 2, -2, 3). 20. Converta os seguintes números em binário para decimal, usando o algoritmo de Horner: a) b) c) Converter os seguintes números binários fracionários, usando o algoritmo de Horner modificado, para a base decimal a) c) b) d) ( ) = ( ) 2 Carlos Barrico

3 Computação Científica Folha Prática - Representação de Números e Erros 22. Efetua as seguintes operações entre números binários: a) e) b) f) x c) g) d) h) / 110 i) / 1101 j) / k) / Represente os seguintes números reais no formato de ponto flutuante (normalizado): a) e) 4.25 b) f) 75.8 c) g) d) h) Considerando o sistema de números de ponto flutuante F(10, 2, -2, 3), determine: a) o menor número positivo possível; b) o maior número positivo possível; c) As regiões de underflow e de overflow; d) o maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0, que mantém o resultado inalterado (precisão da máquina); e) o número de elementos do sistema F. 25. Considerando o sistema de números de ponto flutuante F(2, 3, -1, 2), determine: a) o menor número positivo possível e respetivas regiões de underflow; b) o maior número positivo possível e respetivas regiões de overflow; c) O maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0 mantendo o resultado inalterado (precisão da máquina); d) o número de elementos do sistema F. 26. Quantos dígitos significativos existem em cada um dos seguintes números? a) b) c) O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de dígitos significativos do que as parcelas. Comprove a afirmação, calculando x + y com x = x 10 4 e y = x Carlos Barrico 3

4 Folha Prática - Representação de Números e Erros Computação Científica 28. Para x = x 10 2, y = x 10 0 e z = x 10 1, calcule usando aritmética de três dígitos significativos: a) x + y b) y/x c) x.z d) Quantos dígitos significativos apresentam os resultados? 29. Supondo que as operações abaixo são processadas numa máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se: X 1 = x 10 4 X 2 = x 10 0 determinar os resultados das seguintes expressões: a) (X 2 + X 1 ) X 1 b) X 2 + (X 1 X 1 ) c) Compare e comente os resultados obtidos. 30. Considere um sistema de ponto flutuante com b = 10 e n = 3 e uma representação por arredondamento simétrico, verifique que: a) ( ) ( ) b) (0.123 / 7.97) x 84.9 (0.123 x 84.9) / 7.97 c) 15.9 x ( ) (15.9 x 4.99) + (15.9 x 0.02) 31. Considere o sistema F(10, 3, -2, 3). Represente nesse sistema, os seguintes números de modo que eles estejam normalizados: a) 0.35 c) b) d) Calcule os erros absolutos (EA) e relativos (ER) das seguintes aproximações: a) X = e fl(x) = c) X = e fl(x) = b) X = e fl(x) = d) X = e fl(x) = Arredonde cada um dos seguintes números a cinco dígitos significativos: a) b) c) Represente os seguintes números, por arredondamento simétrico e por defeito (corte), no sistema F(10, 4, -98, 99): a) c) b) d) Carlos Barrico

5 Computação Científica Folha Prática - Representação de Números e Erros 35. Represente os seguintes números, por arredondamento simétrico e por defeito (corte), no sistema F(6, 4, -2, 3): a) b) c) d) e) Dada a quantidade X = ( ) + 3 3, realize os seguintes cálculos 20 a) Determine o valor exato de X com cinco dígitos significativos b) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos fazendo arredondamento por defeito (corte do número) c) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos com arredondamento simétrico d) Calcule os erros absoluto, relativo e relativo percentual nas aproximações obtidas nas alíneas b) e c). 37. Seja m = (1/2)b 1-n é a unidade de erro de arredondamento de um sistema de ponto flutuante F(b, p, e min, e max ). a) Qual é o valor em F de 1 + m? b) Qual o menor número positivo e, de F, tal que 1 + e > 1? 38. Calcular um limite superior para o erro de truncatura quando se usa 1 (x 2 /2) para aproximar cos(x) para x [0.0, 0.1]. 39. Considere o seguinte integral: x 2 dx a) Calcule aproximações para o integral anterior, usando a regra b a n 1 f( x)dx = h f(x i ) + R, com R = (h/2)(b a)f '( ), [a,b ]. i=0 Selecione h = 1/n (n = 1, 2, 4, 8,, 1024). b) Conhecido o valor exato do integral determine o erro em cada aproximação. c) Obtenha um limite superior para o erro de truncatura em cada passo. d) Obtenha estimativas para o erro devido a arredondamentos (calculando a diferença entre os resultados dos cálculos efetuados em precisão simples e em precisão dupla). Comente sobre a dominância de cada erro quando n cresce. 40. Escreva aproximações com seis dígitos significativos para os números a) 1/11 b) (2) c) e 3 Carlos Barrico 5

6 Folha Prática - Representação de Números e Erros Computação Científica 41. Obtenha os erros absolutos, erros relativos e percentagem de erros das aproximações a) (3) 1.73 b) c) π A Agência Nacional do Petróleo efetuou verificações em bombas de postos de gasolina, obtendo como resultado a tabela apresentada abaixo. Qual dos postos está a enganar o consumidor em maior proporção? Posto Quantidade de gasolina efetivamente dispensada Quantidade de gasolina medida pela bomba Shill 9,90 10,00 Bri 19,90 20,00 Texis 29,80 30,00 Ipiris 29,95 30, Se A = 3.56 ± 0.05 e B =3.25 ± 0.04, em que intervalo se encontra o resultado de A + B 44. A fórmula para calcular a tensão normal em uma barra longitudinal é dada por = F/AE, onde F = força normal aplicada, A = área da barra e E = módulo de Young. Se F = 50 ± 0.5N, A = 0.2 ± m 2 e E = 210 x 10 9 ± Pa, qual é o maior erro na medida da tensão? 45. Caso se queira especificar um número m para o mínimo de dígitos significativos corretos de um determinado resultado, então o valor do erro aproximado relativo deve ser a 0.5 x 10 2 m %. Por outro lado, dado o valor para a, o número mínimo de dígitos corretos é dado por m 2 log( a /0.5). Responda: a) O erro aproximado relativo no cálculo da raiz de uma equação é 0,004%. Qual o número mínimo de dígitos corretos da solução? b) Qual o menor erro aproximado relativo para obtermos uma solução com 6 dígitos corretos? 46. No cálculo do volume de um cubo com lado de 5cm, a incerteza na medição de cada lado é de 10%. Qual o erro relativo máximo na medida do volume do cubo? 47. Considere o cálculo de f'(2) para a função f(x) = x 2 utilizando f'(x) = (f(x + h) f(x)) / h. Responda: a) Qual o erro se utilizarmos h = 0.2? b) Qual o valor de h para que tenhamos pelo menos 3 dígitos corretos na solução? 6 Carlos Barrico

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