Cálculo Numérico - Mat 215. Prof. Dirceu Melo. Prof. Dirceu Melo - MAT215

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1 Cálculo Numérico - Mat 215 Prof. Dirceu Melo Prof. Dirceu Melo - MAT215 1

2 1ª AULA Introdução Sistemas Decimal e Binário Conversão de Sistemas de base Sistema Aritmético de Ponto Flutuante

3 INTRODUÇÃO 3

4 O QUE É CÁLCULO NUMÉRICO? É o desenvolvimento dos métodos operacionais construtivos para a resolução aproximada de problemas que podem ser representados por um modelo matemático. 4

5 QUAL O OBJETIVO DO CÁLCULO NUMÉRICO? Estudar processos numéricos (algoritmos) para solução de problemas complexos, usando apenas operações simples da aritmética (+, -, *, / ). 5

6

7 ETAPAS PARA A RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA Problema real Levantamento de dados Construção do modelo matemático Escolha do método numérico adequado Implementação computacional deste método Análise dos resultados obtidos Se necessário reformular o modelo matemático e/ou escolher novo método numérico Fonte: RUGGIERO, M. A. G. e LOPES, V. L.R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. São Paulo: McGraw-Hill. 7

8 O QUE É UM ALGORITMO? É um procedimento passo-a-passo para resolver um problema. 8

9 ARITMÉTICA REAL X ARITMÉTICA DE MÁQUINA Aritmética Real: trabalha com infinitos dígitos para representar um número. Aritmética de Máquina: trabalha com recursos finitos para representar um número. 9

10 SISTEMAS DECIMAL E BINÁRIO 10

11 SISTEMA DECIMAL NA FORMA POLINOMIAL O número a n a n 1 a n 2 a m na base dez pode ser escrito como: Exemplo: m i=n a i 10 i (201,43) 10 = 2x x x x x

12 SISTEMA BINÁRIO NA FORMA POLINOMIAL O número a n a n 1 a n 2 a m na base dois pode ser escrito como: Exemplo: m i=n a i 2 i (1101,01) 10 = 1x x x x x x2 2 12

13 CONVERSÃO DE SISTEMAS DE BASE Decimal Binário Prof. Dirceu Melo - MAT215 13

14 SISTEMA BINÁRIO NA FORMA POLINOMIAL O número a n a n 1 a n 2 a m na base dois pode ser escrito como: Exemplo: m i=n a i 2 i (1101,01) 10 = 1x x x x x x2 2 Prof. Dirceu Melo - MAT215 14

15 SISTEMA DECIMAL NA FORMA POLINOMIAL O número a n a n 1 a n 2 a m na base dez pode ser escrito como: Exemplo: m i=n a i 10 i (201,43) 10 = 2x x x x x10 2 Prof. Dirceu Melo - MAT215 15

16 CONVERSÃO BINÁRIO DECIMAL (a n a n 1 a n 2 a 2 a 1 a 0 ) 2 = (b 0 ) 10 Exemplo: (100,011) 2 = Prof. Dirceu Melo - MAT215 16

17 CONVERSÃO BINÁRIO DECIMAL (a n a n 1 a n 2 a 2 a 1 a 0 ) 2 = (b 0 ) 10 Exemplo: (100,011) 2 = = 4 + 0,25 + 0,125 = 4,375 Prof. Dirceu Melo - MAT215 17

18 CONVERSÃO DECIMAL BINÁRIO Prof. Dirceu Melo - MAT215 18

19 CONVERSÃO DECIMAL BINÁRIO Exercicio: (23,1875) 10 = (? ) 2 Prof. Dirceu Melo - MAT215 19

20 EXERCÍCIO 1) Transforme de binário para decimal: a)11101 b)10,011 c)101,101 2) Transforme de decimal para binário: a)9,1875 b)23,125 c)0,1 Prof. Dirceu Melo - MAT215 20

21 RESPOSTAS 1)a)29 b)2.375 c) ) a) b) c) = Prof. Dirceu Melo - MAT215 21

22 SISTEMA ARITMÉTICO DE PONTO FLUTUANTE 22

23 SISTEMA ARITMÉTICO DE PONTO FLUTUANTE O sistema aritmético de ponto flutuante ou aritmética de ponto flutuante é o conjunto de todos os números Existentes num computador ou calculadora. Prof. Dirceu Melo - MAT215 23

24 SISTEMA ARITMÉTICO DE PONTO FLUTUANTE Formato geral de um número em aritmética de ponto flutuante: mantissa e Onde: é a base em que a máquina opera; e é o expoente (ou característica). Prof. Dirceu Melo - MAT215 24

25 SISTEMA ARITMÉTICO DE PONTO FLUTUANTE Prof. Dirceu Melo - MAT215 25

26 SISTEMA ARITMÉTICO DE PONTO FLUTUANTE Prof. Dirceu Melo - MAT215 26

27 EXERCÍCIO 1 Representar os números abaixo em um sistema de aritmética de ponto flutuante F(10, 5, 5, 5). Utilize em cada caso a aproximação por arredondamento e por truncamento. a) 1.38 b) c) d) e) f) Prof. Dirceu Melo - MAT215 27

28 RESPOSTAS a) 1.38 = x10 1 (arredondamento=truncamento) b) = x 10 2 (arredondamento) x 10 2 (truncamento) c) = x 10 3 (arredondamento) x 10 3 (truncamento) d) = x10 1 (arredondamento) x10 1 (truncamento) e) = x 10 6 (e<-5) underflow f) = x 10 8 (e>5) overflow Prof. Dirceu Melo - MAT215 28

29 UNDERFLOW e OVERFLOW FONTE: Prof. Dirceu Melo - MAT215 29

30 EXERCÍCIO 2 Seja o número real x representado em Ponto Flutuante: Vamos considerar uma máquina operando no sistema F(2, 3, 1, 3). Determine todos os seus elementos, a cardinalidade, a gama representável, e a região de overflow (e>m) e underflow (e<-m). Prof. Dirceu Melo - MAT215 30

31 RESPOSTA Elementos de F: { e ; e ; e ; e, onde e = 1,0,1,2,3} Cardinalidade: #F=41 elementos Prof. Dirceu Melo - MAT215 31

32 Parâmetros utilizados em alguns computadores FONTE: Prof. Dirceu Melo - MAT215 32

33 EXERCÍCIO 3 Representar o número decimal na forma binária em um sistema de aritmética de ponto flutuante. Prof. Dirceu Melo - MAT215 33

34 RESPOSTA Como (13) 10 = (1101) 2 e (0.75) 10 = (11) 2, então (13.75) 10 = ( ) 2 Em aritmética de ponto flutuante ( ) 2 é igual a: x Ou ainda: Sinal da mantissa (0 é + e 1 é -) Valor da mantissa Sinal do expoente (0 é + e 1 é -) Valor do expoente Prof. Dirceu Melo - MAT215 34

35 PADRÃO IEE PARA REPRESENTAÇÃO DO PONTO FLUTUANTE EM 32 E 64 BITS. Precisão Simples Precisão Dupla Fonte: Prof. Dirceu Melo - MAT215 35

36 PONTO FLUTUANTE EM 32 BITS Fonte: Prof. Dirceu Melo - MAT215 36

37 Algumas empresas financiadoras do Grupo do Institute for Electrical and Electronics Engineers (IEEE), conhecido como IEEEp754.

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