Sistemas numéricos e a Representação Interna dos Dado no Computador

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1 Sistemas numéricos e a Representação Interna dos Dado no Computador Ricardo Azambuja Silveira INE-CTC-UFSC URL: Material elaborado pelo prof Roberto Willrich

2 Tipos de dados tratados pelo computador Dados e as instruções armazenados em memória são codificados sob a forma de sinais elétricos do tipo ligado e desligado representado pelos números 1 e 0 sistema binário cada unidade de informação é chamada de bit abreviação de Binary digit 2/32

3 Tipos de dados tratados pelo computador Unindo dois ou mais bits Um bit pode representar dois valores: 1 ou 0, ou então verdadeiro ou falso Pode-se unir dois ou mais bits para representar mais de dois valores quantidade de valores representáveis por uma seqüência de n bits é de 2 n Algumas strings de bits têm nomes próprio: uma seqüência de 8 bits são chamados de byte uma seqüência de 4 bits é chamada de nibble um grupo de 16 bits é chamado de word um grupo de 32 bits é chamado de double word um grupo de 64 bits é chamado de quad word 3/32

4 Tipos de dados tratados pelo computador K = 1024 Na vida cotidiana e na física, o "k" vale km = 1000 metros 1 kg = 1000 gramas 1 kv = 1000 volts Número 1024 foi o escolhido para representar o "k" da computação por razões de simplificação de hardware M = 1024 K "M" normalmente vale , na computação vale: 1 M = 1024 k = 1024x1024 = G = 1024 M "G" que normalmente vale 1 bilhão, na computação vale 1 G = 1024 M = 1024x1024x1024 = /32

5 Representação de Caracteres Um caractere normalmente é representado por um byte maioria dos códigos alfanuméricos representam caractere através de um byte código ASCII a letra 'A' é representada pelo byte uma seqüência de caracteres é expressa por uma cadeia de bytes sucessivos Nem todos os tipos de códigos utilizam os 8 bits de um byte para a representação de caracteres 5/32

6 Representação de Caracteres Código de 7 bits (ASCII) apareceu com as linguagens de alto nível 6/32

7 Representação de Caracteres ASCII Estendido caracteres extras representam caracteres de línguas mortas e caracteres especiais para desenhas figures 7/32

8 Representação de Números Inteiros Representação de números não sinalizados utiliza-se normalmente o valor do próprio número binário número 6 é representado por 0101 número 12 é representado por 1100 Representação de números sinalizados módulo e sinal (MS) complemento de 1 (C-1) complemento de 2 (C-2) excesso de 2 elevado a (N-1) 8/32

9 Módulo e Sinal (MS) Bit que está situado mais à esquerda representa o sinal valor será 0 para o sinal + e 1 para o sinal - Bits restantes (N-1) representam o módulo do número Exemplo supondo que exista a limitação de 8 bits (N=8) valor representa o número +42 valor representa o número -42 Amplitude (faixa) de representação para N bits -2-2 N-1 +1 X 2 N-1-1 N-1 +1 N-1-1 Para 8 bits (byte): -127 X 127 Para 16 bits (word): X Para 32 bits (double word): X /32

10 Módulo e Sinal (MS) Vantagem deste sistema possuir faixa simétrica Deficiências possui duas representações para o número 0 para 8 bits: (+0) e (-0) 10/32

11 Complemento de 1 (C-1) Utiliza o bit mais à esquerda para o sinal 0 ao sinal + e o 1 ao sinal - Números positivos N-1 bits da direita representam o módulo (como no MS) Números negativos obtidos pelo complemento de todos os seus dígitos (trocando 0 por 1 e vice-versa) incluindo o bit de sinal Exemplo supondo que exista a limitação de 8 bits (N=8) valor representa o número +42 valor representa o número /32

12 Complemento de 1 (C-1) Mesma faixa de representação para N dígitos do método MC -2-2 N-1 N-1 +1 Desvantagem +1 X 2 N-1-1 N-1-1 tem duas representações para o número (+0) e (-0) 12/32

13 Complemento de 2 (C-2) Utiliza o bit mais à esquerda para o sinal 0 ao sinal + e o 1 ao sinal - Números positivos N-1 dígitos da direita representam o módulo Números negativos executa-se o Complemento de 1: obtém-se o complemento de todos os bits do número positivo (trocando 0 por 1 e vice- versa) incluindo o bit do sinal Ao resultado obtido soma-se 1 (em binário), desprezando-se o último transporte (se existir) O mais utilizado para representar números negativos 13/32

14 Complemento de 2 (C-2) 14/32

15 Complemento de 2 (C-2) Faixa de representação é assimétrica (inconveniente) -2 N-1 X 2 N-1-1 Para 8 bits (byte): -128 X 127 Para 16 bits (word): X Para 32 bits (double word): X Vantagem uma única representação para o número 0 Para 8 bits, teremos: /32

16 Excesso de 2 elevado a (N-1) Não utiliza nenhum bit para o sinal todos os bits representam um módulo ou valor valor corresponde ao número representado mais um excesso, que para N bits é igual a 2 N-1 Exemplo (para 8 bits o excesso é 128 ( 2 7 = 128 )) número 10 é representado por = 138 ( ) número -10 é representado por = 118 ( ) Número 0 tem uma única representação, que para 8 bits corresponde a: = 128 ( ) Faixa de representação é assimétrica (inconveniente) -2 N-1 X 2 N-1-1 É interessante observar que todo o número representado em excesso tem representação igual aquela da representação em Complemento de 2, exceto que o bit de 16/32

17 Números Inteiros (Ponto Fixo ou Vírgula Fixa) Quatro maneiras de representar números com vírgula fixa binário puro, (como visto anteriormente) decimal, decimal não compactado, decimal compactado. 17/32

18 Vírgula fixa: Decimal não Compactado Número é armazenado com um byte para cada um de seus algarismos quarteto da esquerda contém quatro 1's (bits de zona) quarteto da direita contém o algarismo em BCD (Binary-Coded Display - codificado em binário) número entre 0 e 9 (denominados bits de dígito) quarteto da esquerda do último algarismo do número dado representa o sinal Exemplos 1100 (C) para o sinal (D) para o sinal - representação do número 1234 é representação do número é /32

19 Vírgula fixa: Decimal Compactado Cada dígito é representado num quarteto (sem bits de zona) exceto o segundo quarteto da direita que representa o sinal Exemplos 1100 (C) para o sinal (D) para o sinal - representação do número 1234 é representação do número é /32

20 Ponto Flutuante Números de ponto flutuante tem duas partes primeira parte contem a fração (mantissa) segunda parte define a posição do ponto decimal (expoente( expoente) Exemplo: número decimal +6132,789 Fração: Expoente: * Números decimais ponto flutuante são representados na forma Fx10 E apenas fração e expoente são representados em termos computacionais base 10 e o ponto decimal da fração são assumidos e não são mostrados explicitamente 20/32

21 Ponto Flutuante Número binário ponto flutuante representado de uma maneira similar exceto que ele usa a base 2 para o expoente Exemplo: número binário representado por uma fração de 8 bits ( ) e um expoente de 6 bits ( ) Número flutuante normalizado se o dígito mais significativo da fração não é zero exemplo: fração decimal é normalizada, mas não é números normalizados fornecem a melhor precisão para números ponto flutuante 21/32

22 Representação ponto flutuante: IEEE 754 Define três formas de representação de ponto flutuante: precisão simples (32 bits) precisão dupla (64 bits) precisão estendida (80 bits) destinado sobretudo para reduzir os erros de arredondamento em cálculos encontrados principalmente nas unidades de cálculo flutuante Processador Pentium III suporta estas três precisões 22/32

23 Representação ponto flutuante: IEEE 754 Formatos de simples (a) e dupla precisão (b) utilizam o binário para codificar a fração e o expoente Formato começa com um bit de sinal da fração 0 para os números positivos 1 para os números negativos (a) sinal Expoente Fração (b) 23/32

24 Representação ponto flutuante: IEEE 754 Expoente codificado em excedente a 127 para a precisão simples e em excedente a 1023 para a precisão dupla Precisão simples: variam de a Precisão dupla: variam de a » números tendo como expoente valores mínimos ou máximos tem uma especificidade própria (a) sinal Expoente Fração (b) 24/32

25 Representação ponto flutuante: IEEE 754 Fração Fração codificada em binário de 23 ou 52 bits dita normalizada qdo primeiro bit que segue a vírgula vale 1 considerando que o primeiro bit da fração é sempre igual a 1 fração IEEE compreende um bit pressuposto a 1 (bit escondido), após 23 ou 52 bits de valor vírgula também é implícita (a) sinal Expoente Fração (b) 25/32

26 Representação ponto flutuante: IEEE 754 Fração valor numérico da fração para a precisão simples 1*2 0 + b 22 *2-1 + b 21 *2-2 + b 20 *2-3 + b 19 *2-4 + b 18 *2-5 + b 17 *2-6 + b 16 *2-7 + b 15 *2-8 + b 14 *2-9 + b 13 * b 12 * b 11 * b 10 * b 9 * b 8 * b 7 * b 6 * b 5 * b 4 * b 30 * b 2 * b 1 * b 0 *2-22 números reais em precisão simples tem como valor: (-1) S * 2 (E-127) * (1,F) (a) sinal Expoente Fração (b) 26/32

27 Dado o número p= escrito em formato IEEE 754, obter a sua representação decimal Equação binária: p = (-1)S * 2 (E-127) * (1,F) Inicia com 1 -> É negativo Expoente -> b é 130 d, assim expoente = =3 d Fração -> 1, b = d Portanto número é d * 2 3 = /32

28 Características dos números IEEE 754 Bits de sinal Bits do expoente Bits da fração Número total de bits Codificação do expoente Variação do expoente Menor número normalizado Maior número normalizado Escala de número decimais Precisão simples Excesso de a Aprox Aprox a Precisão dupla Excesso de a Aprox Aprox a Menor número não normalizado Aprox Aprox /32

29 Ponto flutuante IEEE 754: Underflow O que fazer quando o resultado de um cálculo é inferior ao menor número ponto flutuante normalizado que se pode representar? Existem duas soluções: dizer que o número vale zero (arredondamento), sem outra indicação gerar um desvio para causar uma ultrapassagem da borda inferior (underflow) Nenhuma das abordagens acima é satisfatória É por isso que o conceito de número não normalizado aparece no padrão IEEE Números não normalizados existem afim de permitir uma ultrapassagem gradual para baixo para as operações produzindo resultados inferiores ao menor número normalizado 29/32

30 Ponto flutuante IEEE 754: Overflow Ultrapassagens de borda a esquerda são difíceis de serem geradas e não há nenhuma combinação particular de bits para representá-los Uma representação específica é reservada ao valor do maior número possível que se possa representar diz-se que é infinito expoente deste número é composto de bits a 1, sua fração é composta de bits a zero ou 1 Este número particular pode ser visto como um operando sobre o qual se aplicam o conjunto de regras de cálculo sobre os grandes números soma de um número infinito com um número qualquer resulta em infinito divisão de um número finito pelo infinito resulta em zero divisão de um número finito por zero resulta infinito 30/32

31 Ponto flutuante IEEE 754: Overflow O que se pode dizer da divisão de um número infinito por um número infinito? resultado é indefinido uma representação particular foi definida para isto NaN (Not a Number) 0 ou Toda configuração menos todos a zero 31/32

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