Baseado nos slides de Anna Tostes SISTEMA NUMÉRICO

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1 Baseado nos slides de Anna Tostes SISTEMA NUMÉRICO 1

2 Sumário 1. Sistema Numérico 2. Notação Posicional Sistema Decimal Sistema Binário Sistema Octal Sistema Hexadecimal 3. Conversão entre Bases 4. Operações AritméHcas 5. Representação Numérica 6. Representação de Símbolos 7. Exercícios

3 SISTEMA NUMÉRICO

4 Sistema Numérico É um sistema em que um conjunto de números são representados por numerais de uma forma consistente! Exemplo: II pode ser entendido como: 11 è em decimal 2 è em romano 3 è em binário

5 Sistema Numérico Representar uma grande quanhdade de números úteis Exemplo: todos os números inteiros ou reais Dar a cada número representado uma única descrição Ou pelo menos uma representação padrão RefleHr as estruturas algébricas e aritméhcas dos números

6 NOTAÇÃO POSICIONAL

7 Notação Posicional O número da base não pode ser representado por um único algarismo É escrito mediante combinação de outros algarismos disponíveis nesta base A regra básica de formação permite escrever qualquer valor uhlizando- se dos algarismos e de suas posições relahvas às potências da base

8 Notação Posicional Parte inteira:! 1986 = 1 x x x x 10 0 Ou como: para a 3 = 1, a 2 = 9, a 1 = 8 e a 0 = 6

9 Notação Posicional Parte fracionária:! 0,1986 = 1 x x x x 10-4 Ou como: para a 1 = 1, a 2 = 9, a 3 = 8 e a 4 = 6

10 Notação Posicional! Generalização:! Número: N Algarismos do número: a Base: b Parte inteira: i Parte fracionária: j

11 SISTEMA DECIMAL

12 Sistema Decimal BASE: 10 Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 Símbolos indo- arábicos! Números inteiros: Cada número inteiro tem uma representação única como uma sequência finita de algarismos

13 Sistema Decimal Números racionais ou reais: Representação não padronizada, uhlizando a vírgula (ou ponto) Ou ainda como razão: ½ = 0.5! Operações aritméhcas: Adição, subtração, mulhplicação, divisão

14 SISTEMA BINÁRIO

15 Sistema Binário

16 Sistema Binário

17 Sistema Binário

18 Sistema Binário

19 Sistema Binário

20 Sistema Binário

21 Sistema Binário

22 Sistema Binário

23 Sistema Binário

24 Sistema Binário: RESOLVA

25 Sistema Binário :10

26 Sistema Binário : :22

27 Sistema Binário : : :28

28 Sistema Binário Base: 2 Algarismos: 0, 1! A parhr da regra básica de formação pode- se escrever qualquer valor, usando apenas os elementos desta base Qualquer número na base 10 pode ser representado por um equivalente na base 2

29 Sistema Decimal X Binário Os números abaixo representam valores diferentes:! 10 (10) = 10 (10)! 10 (2) = 2 (10)

30 Sistema Decimal X Binário Exemplos:!! 13 (10) = 1 x x x x 2 0 = 1101 (2) 0,625 (10) = 1 x x x 2-3 = 0,101 (2)

31 SISTEMA OCTAL

32 Sistema Octal Base: 8 Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7! A parhr da regra básica de formação pode- se escrever qualquer valor, usando apenas os elementos desta base

33 Sistema Octal Exemplos:!! 15 8 = 1 x x 8 0 = ,5 8 = 5 x 8-1 = 0,625 10

34 SISTEMA HEXADECIMAL

35 Sistema Hexadecimal Base: 16 Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(=10), B(=11), C(=12), D(=13), E(=14), F(=15)! A parhr da regra básica de formação pode- se escrever qualquer valor, usando apenas os elementos desta base

36 Sistema Hexadecimal Exemplos:! 7C2 (16) = 7 x C x x 16 0 = ! D,A 16 = D x A x 16-1 = 13,625 10

37 Sistema Hexadecimal

38 CONVERSÕES ENTRE BASES

39 Converter de Decimal para uma Base B (Parte Inteira) Basta dividir sucessivamente o número decimal por b, até obter o quociente 0, e retornar como resultado os restos da divisão na ordem contrária em que foram obhdos.

40 Converter de Decimal para uma Base B (Parte Inteira) Exemplo: Converter para binário o número 13 10

41 Converter de Decimal para uma Base B (Parte Fracionária) Para converter um número fracionário finito na base 10 para a base b, basta mulhplicar sucessivamente o número por b, tomando as partes inteiras como resposta, até que se obtenha 0 para a parte fracionária. Se não obhver 0, tem- se uma dizima, que deve ser idenhficada.

42 Converter de Decimal para uma Base B (Parte Fracionária)

43 Converter de uma Base B para Decimal (Parte Inteira) Basta mulhplicar cada dígito d de cada posição n pela base elevada a n- ésima potência e somar todos os valores obhdos

44 Converter de uma Base B para Decimal (Parte Inteira)

45 Converter de uma Base B para Decimal (Parte Inteira) Converter para decimal o número

46 Converter de uma Base B para Decimal (Parte Fracionária) Basta mulhplicar cada dígito d de cada posição n pela base elevada a n- ésima potência e somar todos os valores obhdos. Lembre- se que as posições fracionárias são negahvas!

47 Converter de uma Base B para Decimal (Parte Fracionária)

48 Converter de uma Base B para uma Base B N Parte inteira: Agrupar os dígitos do número na base (b) em grupos de (n) dígitos, a parhr da direita, completando com zeros, à esquerda, os dígitos que faltarem Converter cada um dos grupos para o algarismo correspondente na outra base

49 Converter de uma Base B para uma Base B N Parte inteira: Exemplo: converter o número (2) para a base 4 (= 2 2 ):!!!! Portanto: (2) = (4)

50 Converter de uma Base B para uma Base B N Parte fracionária: Agrupar os dígitos do número na base (b) em grupos de (n) dígitos, a parhr da vírgula, completando com zeros, à direita, os dígitos que faltarem Converter cada um dos grupos para o algarismo correspondente na outra base

51 Converter de uma Base B para uma Base B N Parte fracionária: Exemplo: converter o número 0, (2) para a base 8 (=2 3 )!!! Portanto: 0, (2) = 0,1454 (8)

52 Converter de uma Base B para uma Base B N Parte inteira e fracionária: Agrupar os dígitos do número na base (b) em grupos de (n) dígitos, completando com zeros os dígitos que faltarem Converter cada um dos grupos para o algarismo correspondente na outra base

53 Converter de uma Base B para uma Base B N Parte inteira e fracionária: Converter o número , (2) para a base 16 (=2 4 ):!!! Portanto: , (2) = 7C1,32C (16)

54 Converter de uma Base B N para uma Base B Cada elemento da base B N deve ser representado na base B uhlizando- se N bits. Exemplo: Converter (AC71) 16 para base 2: Como 16 = 2 4, temos: (A) 16 = (1010) 2 (C) 16 = (1100) 2 (7) 16 = (0111) 2 (1) 16 = (0001) 2 Resultado: (AC71) 16 = ( ) 2

55 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS

56 Operações AritméHcas em Binário Adição Subtração MulHplicação Divisão

57 Adição

58 Adição

59 Adição

60 Adição

61 Adição

62 Adição

63 Adição

64 Adição Vai um:

65 Adição Vai um:

66 Adição Vai um:

67 Adição Vai um:

68 Adição Vai um:

69 Adição Vai um:

70 Adição Vai um:

71 Adição Vai um:

72 Adição Vai um:

73 Subtração

74 Subtração

75 Subtração

76 Subtração

77 Subtração

78 Subtração

79 Subtração

80 MulHplicação x 1 0 1

81 MulHplicação x

82 MulHplicação x

83 MulHplicação x

84 MulHplicação x

85 MulHplicação x

86 Divisão !

87 Divisão !

88 Divisão !

89 Divisão !

90 Divisão !

91 Divisão !

92 Divisão !

93 Divisão !

94 Divisão !

95 Divisão!

96 Divisão!

97 Divisão!

98 Divisão!

99 Divisão Se for divisão entre números fracionários: Iguale a quanhdade de casas decimais Faça a divisão desconsiderando a vírgula O resultado obhdo já é o correto ,1!

100 Divisão Se for divisão entre números fracionários: Iguale a quanhdade de casas decimais Faça a divisão desconsiderando a vírgula O resultado obhdo já é o correto ,0 10,1!

101 Divisão Se for divisão entre números fracionários: Iguale a quanhdade de casas decimais Faça a divisão desconsiderando a vírgula O resultado obhdo já é o correto !

102 Divisão Se for divisão entre números fracionários: Iguale a quanhdade de casas decimais Faça a divisão desconsiderando a vírgula O resultado obhdo já é o correto!

103 Divisão Se for divisão entre números fracionários: Iguale a quanhdade de casas decimais Faça a divisão desconsiderando a vírgula O resultado obhdo já é o correto!

104 Divisão Se for divisão entre números fracionários: Iguale a quanhdade de casas decimais Faça a divisão desconsiderando a vírgula O resultado obhdo já é o correto 90 2,5 0 36! ,

105 REPRESENTAÇÃO DE SÍMBOLOS

106 Representação de Símbolos A representação de qualquer símbolo em um computador digital é feita através de uma sequência de dígitos (0 ou 1) Esta representação é ambígua Pois serve tanto para números, como para letras, ou outros sinais O tamanho desta sequência é bem limitado

107 Tratamento de sinal Representação de Número em Ponto Fixo Não há uma forma padrão que indique o sinal, pois outro símbolo não pode ser empregado Existem vários métodos desenvolvidos

108 Representação de Número em Ponto Fixo Cada um deles toma por princípio que o número tenha uma representação com ponto fixo O ponto (ou vírgula) decimal tem uma posição bem definida As operações levam isso em consideração Números mais a direita são quanhdades inteiras, posihvas ou negahvas

109 Representação em Sinal e Amplitude O dígito mais à esquerda indica o sinal do número, segundo a convenção abaixo: 0 : posihvo 1 : negahvo

110 Representação em Sinal e Amplitude Exemplo: representar os binários equivalentes aos valores (+5) e (- 5) com 6 dígitos e tamanho fixo

111 Representação em Sinal e Amplitude O zero tem duas representações:

112 Notação de Complemento Complemento de um número em relação a outro é a diferença entre os dois! É úhl para aplicação em computadores Pois a subtração pode ser realizada como uma adição

113 Notação de Complemento Exemplo: o complemento de 10 de 2 é: C 2 10 = 10-2 = 8 A noção de complemento é aplicável à subtração:!!! Como foi adicionado 10 à conta inicial (9-2), deve- se subtrair 10 ao final do processo (17-10) para se obter o resultado correto.

114 Complemento de 1 Primeiro bit: sinal (0:posiHvo ; 1:negaHvo) Bits remanescentes: PosiHvo: normal NegaHvo: inverter bits, onde for 0 será 1 (vice- versa) Uma representação com m bits permite: Números posihvos: [ 0, +2 m- 1-1] Números negahvos: [- 2 m , - 1]

115 Complemento de 1 O valor zero terá duas representações: Para converter um número binário para a seu simétrico, em complemento de 1, basta trocar zeros por uns e uns por zeros

116 Complemento de 1 Fazer o complemento de 1 de 5 10 (= ) com 6 bits:! = = (+5)! = (trocando 1s por 0s) (- 5)

117 Complemento de 1 Representar os binários equivalentes a (+5) e (- 5) com 6 dígitos e tamanho fixo

118 Complemento de 2 Primeiro bit: sinal (0:posiHvo ; 1:negaHvo) Bits remanescentes: PosiHvo: interpretar como binário normal NegaHvo: fazer complemento de 1 (inverter bits) e somar 1 unidade em binário (000001) Uma representação em complemento de 2 com m bits permite: Números posihvos: [ 0, +2 m- 1-1] Números negahvos: [- 2 m- 1, - 1]

119 Complemento de 2 O zero tem representação única: ! No entanto, não existe simetria: - 2 m- 1 tem representação, mas 2 m- 1 não tem representação porque não está no intervalo representável

120 Complemento de 2 Fazer o complemento de 2 de 5 (10) = = (+5)!!! (trocando 1s por 0s) C 2 (000101) = = (- 5) Somando 1 unidade

121 Complemento de 2 Representar os binários equivalentes a (+5) e (- 5) com 6 dígitos e tamanho fixo

122 Subtração em Complemento de 2 Soma- se o primeiro operando com o complemento do segundo operando, desprezando- se o vai um na posição mais significahva, quando houver.

123 Subtração em Complemento de = (+6) - (+5) = (+6) + (- 5) = (+1)!!!! (+5) è (- 5 em complemento de 2) Como inicia com 0, interpretamos o número como binário simples.

124 Subtração com Complemento de = (+5) - (+6) = (+5) + (- 6) = (- 1)!!! Como 1111 inicia com 1, para obtermos o binário, subtraímos 1 e invertemos os bits (operação inversa do complemento de 2):

125 Representação de Número em Ponto Flutuante A representação em ponto flutuante permite representar valores que dificilmente caberiam em notação de ponto fixo, devido ao tamanho limitado da palavra do computador Tem um número limitado de bits significahvos Existem normas, como ANSI/IEEE 754/854 (1985/1987), que estabelecem o formato desta representação

126 Representação de Número em Ponto Flutuante Usaremos uma forma simplificada (com 1+e+m bits): Converter 2 e- 1 para binário antes de subtrair! ManHssa deve estar em complemento de 2!

127 Representação de Número em Ponto Flutuante Exemplo: dado o número ( ), com e = 4 e m = 7, determinar o valor representado.! N = (- 1) 0 x 2 p x 0,M = (+ 2 ( ) x 0, ) 2 = ( x 0,75) 10 = 3,0 10 (p) 2 = (E) 2 - (2 e- 1 ) 10 (p) 2 = (1010) 2 - (2 4-1 ) 10 (p) 2 = (1010) 2 - (8) 10 (p) 2 = ( ) 2

128 Representação de Decimal para Ponto Flutuante 1. Converter o valor absoluto do número para binário (parte inteira e parte fracionária) 2. Adicione (x 2 0 ) ao final do número binário 3. Normalize o número: o primeiro dígito significahvo da manhssa deve estar o mais próximo possível do ponto, do seu lado direito, ou seja, na forma 0.1XXXXXXXXX

129 Representação de Decimal para Ponto Flutuante 3. (cont.) Ajuste o (x 2 0 ) acrescentando ao zero o número de casas que moveu a vírgula para não alterar o número Direita: - 1 Esquerda: +1 ManHssa: parte fracionária 4. Para obter o expoente armazenável (E), adicione ao expoente de dois (p) o valor 2 e- 1 Como p = E 2 e- 1, então E = p + 2 e Altere o bit de sinal: (0:posiHvo ; 1:negaHvo) e coloque a manhssa em complemento de 2.

130 Representação de Decimal para Ponto Flutuante 1. Converter para binário em p.f., sendo s = 1, e = 3 e m = = = = = = 1 Então: = Número: x Normalização: x 2 0 = ManHssa é: 1101 p = - 1

131 Representação de Decimal para Ponto Flutuante 4. Calcular: 2 e- 1 = = 4 Expoente: E = p + 2 e- 1 = = 3 Passar para binário: 3 = Bit de sinal é 0, então a manhssa é colocada diretamente como o número binário simples. Resultado: =

132 Erros em Representação Intervalo Arredondamento e truncamento Precisão Transbordamento Acumulação

133 Erros em Representação Overflow: sempre que uma operação aritméhca produz um número com expoente superior ao expoente máximo Underflow: operações que resultem em expoente inferior ao expoente mínimo

134 Erros em Representação Supondo representação com e variando {- 1 : 3} Overflow: se o expoente for maior que 3 Underflow: se o expoente for menor que - 1

135 Representação de Letras e Símbolos UHlizam- se tabelas, onde cada letra, ou símbolo, corresponde a um código numérico Há vários Hpos: BCD (Binary Coded Decimal) EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) ASCII (American Standard Code for InformaHon Interchange) UNICODE

136 ASC II

137 Nesse padrão tem- se: ASC II

138 ASC II Observação importante: Repare que os símbolos que representam os algarismos têm código ASCII com valores diferentes de seus equivalentes binários! Exemplo: ASC(1) = (2)

139 EXERCÍCIOS

140 Exercícios Escrever em notação posicional e o valor decimal: a) (2) b) 0,01101 (2) c) 110,101 (2) d) 010,010 (2) e) 111,001 (2)

141 Exercícios Converter para os binários equivalentes: a) 1234 b) 0,35 c) 12,7 d) 25,25 e) 103,412

142 Exercícios Converter para os decimais equivalentes: a) (2) b) 0,01101 (2) c) 110,111 (2) d) 110,01011 (2) e) 11,0011 (2)

143 Exercícios Fazer as conversões de base: a) (4) ç para a base 8 b) (2) ç para a base 16 c) (4) ç para a base 16 d) AB50,F97C (16) ç para a base 8 Recomendação: Base 4 para base 8: passe primeiro para binário e depois para octal

144 AritméHca em Ponto Flutuante SOMA E SUBTRAÇÃO EM PONTO FLUTUANTE Alguns computadores não tem suporte de hardware para fazer operações aritméhcas em ponto flutuante! Alguns dispõem de processadores especializados que podem ser adquiridos como opcionais! Outros não tem esse recurso nem como opcional e nesse caso, as operações aritméhcas em ponto flutuante são resolvidas através de sohware

145 AritméHca em Ponto Flutuante Algoritmo: SE uma das manhssas a operar é zero, ENTÃO SE for uma soma e uma das parcelas for zero, ENTÃO Resultado é igual à outra parcela FIM_SE SE for uma subtração e o subtraendo for zero, ENTÃO Resultado é igual ao minuendo FIM_SE SE for uma subtração e o minuendo for zero Resultado é igual ao subtraendo, c/ o sinal inverhdo FIM_SE

146 AritméHca em Ponto Flutuante Algoritmo: SENÃO SE não houver zeros, ENTÃO Reduzir ao mesmo expoente (o maior); Somar / subtrair as manhssas; Normalizar o resultado. (m 1 x b e1 ) + (m 2 x b e2 ) = (m 1 x b e1 ) + (m 3 x b e1 ) = (m 1 + m 3 ) x b e1 (m 1 x b e1 ) - (m 2 x b e2 ) = (m 1 x b e1 ) - (m 3 x b e1 ) = (m 1 - m 3 ) x b e1 FIM_SE FIM_SE

147 AritméHca em Ponto Flutuante MULTIPLICAÇÃO EM PONTO FLUTUANTE Algoritmo: SE uma das manhssas a operar é zero, ENTÃO SENÃO Resultado é zero SE não houver zeros, ENTÃO Somar os expoentes; MulHplicar as manhssas; Normalizar o resultado. (m 1 x b e1 ) x (m 2 x b e2 ) = (m 1 x m 2 ) b (e1+e2) FIM_SE FIM_SE

148 AritméHca em Ponto Flutuante Obs.: Ao fazer a soma dos expoentes, verificar qual a representação do expoente Se o expoente eshver representado em Sinal e Magnitude, usar o algoritmo de soma em S/M; Se o expoente eshver representado em excesso de N (caracteríshca), ao somar as caracteríshcas estaremos somando N duas vezes; como caracteríshca é o expoente mais excesso de N, é necessário subtrair N da soma: (e 1 + N) + (e 2 + N) = (e 1 + e N). Logo é preciso subtrair N do resultado.

149 AritméHca em Ponto Flutuante DIVISÃO EM PONTO FLUTUANTE Algoritmo: SE uma das manhssas a operar é zero, ENTÃO SE o divisor é zero, ENTÃO É impossível e dá erro por divisão de zero FIM_SE SE o dividendo é zero, ENTÃO Resultado é igual a zero. FIM_SE

150 AritméHca em Ponto Flutuante DIVISÃO EM PONTO FLUTUANTE Algoritmo: SE não houver zeros, ENTÃO Subtrair os expoentes; Dividir as manhssas; Normalizar o resultado. (m 1 x b e1 ) / (m 2 x b e2 ) = (m 1 / m 2 ) b (e1- e2) FIM_SE

151 AritméHca em Ponto Flutuante Obs.: Ao fazer a subtração dos expoentes, verificar qual a representação do expoente. Se o expoente eshver representado em Sinal e Magnitude Usar o algoritmo de subtração em S/M; Se o expoente eshver representado em excesso de N (caracteríshca), ao subtrair as caracteríshcas estaremos eliminando N; como caracteríshca é o expoente mais excesso de N, é necessário somar N ao resultado: (e 1 + N) - (e 2 + N) = (e 1 - e 2 ) + (N N). Logo, é preciso somar N ao resultado.