Matemática Computacional. Edgard Jamhour

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1 Matemática Computacional Edgard Jamhour

2 Definição A matemática computacional é uma área da matemática e da computação que trata do desenvolvimento de modelos matemáticos, para o tratamento de problemas complexos, e desenvolvimento de métodos numéricos de obtenção de soluções. Matemática computacional geralmente utiliza técnicas para solução numérica (aproximada) de problemas.

3 Solução Analíticas vs Numéricas Soluções analíticas são soluções exatas obtidas através de manipulações algébricas e provas matemáticas; Exemplo: Em quais pontos as equações se interceptam: y=a*x + b x 2 +y 2 =r 2 y = 0.5*x + 5 x 2 +y 2 =25

4 Problemas sem solução analítica A) Diversas integrais como: e x2 dx B) Equações diferenciais como: y y 2 t 2 C) equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.

5 Exemplo: Integração Numérica retângulo trapézio simpson

6 Influência dos Erros nas Soluções Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 Guerra do Golfo míssil Patriot) Limitação na representação numérica (24 bits) Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento 6

7 Influência dos Erros nas Soluções Exemplo 3: Falha no lançamento do foguete francês Ariane 501 (04/06/1996 Guiana Francesa) Erro na conversão de um número de ponto flutuante de 64bits para inteiro de 16 bits Erro de trajetória 36,7 segundos após o lançamento Prejuízo de U$ 7,5 bilhões 7

8 Modelagem e Resolução No caso geral, a utilização da matemática computacional para resolução e problemas envolve as seguintes etapas; 1) Definir o problema que será resolvido 2) Construir um modelo matemático para o problema 3) Resolver o problema usando um método numérico/computacional 4) Verificar a solução confrontando os resultados previstos com aqueles medições feitas em experimentos. 8

9 Fontes de erros Problema: como determinar a altura de um edifício usando uma bola de metal e um cronômetro? h = gt2 2 h= altura (m) t = tempo medido (m) g = gravidade (9.8 m/s 2 ) Se a bola levar 2 segundos para cair do topo do prédio, podemos afirmar que a altura do prédio é 19.6 metros? Quais são as fontes de erro que podem afetar essa resposta? erros no modelo matemático erros de resolução erros de truncamento

10 Fontes de erros Problema: como determinar a altura de um edifício usando uma bola de metal e um cronômetro? h = gt2 2 h= altura (m) t = tempo medido (m) g = gravidade (9.8 m/s 2 ) Se a bola levar 2 segundos para cair do topo do prédio, podemos afirmar que a altura do prédio é 19.6 metros? Quais são as fontes de erro que podem afetar essa resposta? erros no modelo matemático erros de resolução (precisão dos dados de entrada) erros de truncamento

11 Representação Numérica Qual a distância que uma roda de raio R = 10 metros percorre em uma volta? C = 2 R Como representar o número? a) π =3,14 b) π =3,1416 c) π =3, O valor exato não pode ser obtido através de métodos numéricos. A representação de um número depende da BASE escolhida e do número de dígitos usados na sua representação.

12 Representação de Número Inteiro Onde: é a base fixa - d é um dígito da base Exemplos:

13 Representação de Número Real Representação de um número real x x = ± xi, xf xi: parte inteira i n i n 1 i n 2 i 1 i 0 xf: parte fracionária f 1 f 2 f m 1 f m x f = f 1 β 1 f 2 β 2 f m 1 β m 1 f m 1 β m 2 n+1 algarismos na parte inteira e m na parte fracionária Exemplos:

14 Conversão Decimal para Binária Método das divisões sucessivas (parte inteira do número) a. Divide-se o número (inteiro) por 2; b. Divide-se por 2, o quociente da divisão anterior; c. Repete-se o processo até o último quociente ser igual a 1. Método das multiplicações sucessivas (parte fracionária do número) a. Multiplica-se o número (fracionário) por 2; b. Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base binária e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2; c. O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual a zero

15 Exemplos

16 Erro de arredondamento Nem todo número real na base decimal possui uma representação finita na base binária. Exemplo: representação do número 0,1 em binário: = = = = Operações com números reais são uma das principais fontes de erro introduzidos por algoritmos numéricos.

17 Resolva os seguintes exercícios usando o Wolfram Alpha a) (100110) 2 = para base 10 b) ( ) 2 = para base 10 c) (40,28) 10 = para base 2 d) (110,01) 2 = para base 10 e) (3,8) 10 = para base 2

18 Ponto Flutuante Formato de representação digital de números reais usada nos computadores. A representação vista anteriormente: [ PARTE INTEIRA, PARTE FRACIONÁRIA ] é muito cara em termos de armazenamento e processamento Um número em ponto flutuante tem o seguinte formato: Expoente I e S Mantissa = 0,d 1 d 2...d t (número menor que 1) t: número de dígitos significativos Base (número inteiro) = 2 sistemas binários

19 Exemplos Notação de ponto flutuante em base 10: 0.35 = 0.35* = * = 0.123* = * = 0.3*10-3 Mesmo exemplo, com t=3 e -2 e 2: 0.35 = 0.350* = * = 0.123* = 0.539*10 *** 4>2 **** = erro de overflow = 0.300*10 *** -4 <-2 **** = erro de underflow

20 Representação no MATLAB MATLAB representa números em ponto flutuante com precisão simples ou dupla (default), de acordo como o padrão IEEE 754. SIMPLES (32 bits): bit 31: sinal (0 positivo, 1 negativo) 30 até 23: expoente 22 até 0: mantissa DUPLA (64 bits): bit 63: sinal (0 positivo, 1 negativo) 62 até 52: expoente 51 até 0: mantissa

21 Erros Absoluto, Relativo e Percentual Erro absoluto: E a = x x x = valor exato x = valor aproximado obtido por procedimento numérico Exemplo: Se x = 10 e E a < 0.01 então 0.99 < x < Erro relativo: E r = E a x Erro percentual: E p = E r = x x x Exercício: Você testou dois métodos numéricos A e B. O método A obteve o valor x= , sabendo que o valor real é O método B obteve o valor , sando que o valor real é Qual desses métodos é melhor?

22 Erro por Arredondamento e Truncamento Suponha que se computador opere com números em ponto flutuante com 3 dígitos significativos, e expoente -4<e<4. Erros cometidos por arredondamento são menores que os de truncamento, mas requerem um tempo menor de execução. Por isso, o truncamento é mais usado em computadores.

23 Propagação de Erros Suponha que um computador que opere com 4 dígitos significativos realize as seguintes operações, equivalentes: