Organização e Arquitetura de Computadores. Aula 10 Ponto Flutuante Parte I Juliana F. Camapum Wanderley

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1 Organização e Arquitetura de Computadores Aula 10 Ponto Flutuante Parte I 2002 Juliana F. Camapum Wanderley OAC Ponto Flutuante Parte I - 1 Panorama Números em Ponto Flutuante Motivação: Notação Científica Decimal Notação Científica Binária Representação Ponto Flutuante no computador Maior Faixa, Precisão Conversão Decimal p/ Ponto Flutuante e vice versa Grande Idéia: Tipo não associado com dados Instruções MIPS p/ Ponto Flutuante, Registradores OAC Ponto Flutuante Parte I - 2

2 Revisão de Números Computadores são feitos para lidar com números O que nós podemos representar com N bits? Inteiros Sem sinal: 0 a 2 N - 1 Inteiros com Sinal (Complemento de Dois) -2 (N-1) a 2 (N-1) - 1 OAC Ponto Flutuante Parte I - 3 Outros Números E os outros números? Números muito grandes? OAC Ponto Flutuante Parte I (3, x 10 9 ) (segundos/século) Números muito pequenos? (diâmetro atômico) 0, (1,0 10 x 10-8 ) cm Racionais (padrão repetitivo) 2/3 (0, ) Irracionais 2 1/2 (1, ) Transcendentais e (2,718...), π (3,141...) Todos representados em notação científica

3 Revisão de Notação Científica mantissa 6,02 x ponto decimal expoente radical (base) Forma Normalizada: sem zeros à frente (exatamente um dígito à esquerda do ponto decimal) Alternativas para se representar 1/ Normalizada: 1,0 x 10-9 Não normalizada: 0,1 x 10-8 ou 10,0 x OAC Ponto Flutuante Parte I - 5 Notação Científica para Números Binário Mantissa 1,0 dois x 2-1 "ponto binário" expoente radical (base) A aritmética do computador que suporta isto é chamada de ponto flutuante, porque ela representa números onde o ponto binário não é fixo, como é o caso dos inteiros. Declaramos tais variáveis como float em C. OAC Ponto Flutuante Parte I - 6

4 Representação de Ponto Flutuante (1/2) Formato Normal: +1.xxxxxxxxxx dois * 2 yyyy dois Múltiplo do Tamanho da Palavra (32 bits) S Expoente Significando 1 bit 8 bits 23 bits 0 S representa Sinal Expoente representa y s Significando representa x s Representa números tão pequenos quanto 2,0 x até tão grande quanto 2,0 x OAC Ponto Flutuante Parte I - 7 Representação de Ponto Flutuante (2/2) E se o resultado for muito grande? (> 2,0x10 38 ) Overflow! Overflow => Expoente maior do que pode ser representado com os 8 bits do campo Expoente E se for muito pequeno? (< 2,0x10-38 ) Underflow! Underflow => Expoente negativo maior do que pode ser representado com os 8 bits do campo Expoente Como reduzir as chances de overflow ou underflow? OAC Ponto Flutuante Parte I - 8

5 Representação de PF de Precisão Dupla Próx. Múltiplo do Tamanho de Palavra (64 bits) S Expoente Precisão Dupla (vs. Precisão Simples) Variável C declarada como double Representa números quase tão pequenos quanto 2,0 x e quase tão grandes como 2,0 x Mas a vantagem principal é a maior precisão devido a um significando maior. OAC Ponto Flutuante Parte I - 9 Significando 1 bit 11 bits 20 bits Significando (cont d) 32 bits 0 Padrão IEEE 754 para Ponto Flutuante (1/4) Precisão Simples e Precisão Dupla Similares Bit Sinal: 1 significa negativo 0 significa positivo Significando: Para acomodar mais bits, o primeiro 1 é implícito para números normalizados bits simples, bits dupla sempre verdade: 0 < Significando < 1 (para números normalizados) OAC Ponto Flutuante Parte I - 10

6 Padrão IEEE 754 para Ponto Flutuante (2/4) Kahan: números PF deveriam ser utilizados mesmo se não houvesse um HW específico; p.ex, para ordenar registros com PF utilizando comparação de inteiros. Quebrar PF em 3 partes: comparar os sinais, então comparar os expoentes, então comparar os significandos. Deveria ser rápido; uma única comparação se possível, especialmente para números positivos Então deve-se ordenar: Bit de mais alta ordem é bit de sinal ( negativo < positive) A seguir, expoente, então maior expoente => número maior Por último, o significando: expoentes iguais => número maior OAC Ponto Flutuante Parte I /2 2 Padrão IEEE 754 para Ponto Flutuante (3/4) Expoente Negativo? Complemento de 2? 1,0 x 2-1 vs 1,0 x2 +1 (1/2 vs. 2) Esta notação utilizando inteiros: comparação de 1/2 vs. 2 faz 1/2 > 2! Se ao invés, usar a notação que é o maior negativo e é o maior positivo 1/2 2 1,0 x 2-1 vs. 1,0 x2 +1 (1/2 vs. 2) OAC Ponto Flutuante Parte I - 12

7 Padrão IEEE 754 para Ponto Flutuante (4/4) Chamada Notação Desviada, onde o desvio é um número subtraído para se ter o número real IEEE 754 usa desvio de 127 para precisão simples. Subtrair 127 do campo Expoente para se ter o valor real do expoente é o desvio para precisão dupla Sumário (precisão simples): S Expoente OAC Ponto Flutuante Parte I - 13 Significando 1 bit 8 bits 23 bits (-1) S x (1 + Significando) x 2 (Expoente -127) Precisão dupla idêntico, exceto que o desvio do expoente é Entendendo o Significando (1/2) Método 1 (Frações): Em decimal: 0, => / => / Em binário: 0,110 2 => / = 6 10 /8 10 => 11 2 /100 2 = 3 10 /4 10 Vantagem: menos puramente numérica, mais orientada ao pensamento; este método usualmente ajuda as pessoas a entenderem melhor o significado do significando OAC Ponto Flutuante Parte I - 14

8 Entendendo o Significando (2/2) Método 2 (Valor da posição): Converter da notação científica Em decimal: 1,6732 = (1x10 0 ) + (6x10-1 ) + (7x10-2 ) + (3x10-3 ) + (2x10-4 ) Em binário: 1,1001 = (1x2 0 ) + (1x2-1 ) + (0x2-2 ) + (0x2-3 ) + (1x2-4 ) A interpretação do valor em cada posição estende-se além do ponto decimal/binário. Vantagem: bom para rapidamente se calcular o valor do significando; use este método para traduzir número PF. OAC Ponto Flutuante Parte I - 15 Exemplo: Convertendo PF Binário para Decimal Sinal: 0 => positivo Expoente: dois = 104 dez Ajuste do desvio: = -23 Significando: 1 + 1x x x x x = = 1,0 + 0, Representa: 1, dez * 2-23 ~ 1,986 * 10-7 (cerca de 2/ ) OAC Ponto Flutuante Parte I - 16

9 Continuando o Exemplo: Binário para??? Converter Binário Complemento de 2 para Inteiro: = dez Converter Binário para Instrução: ori $s5, $v0, Converter Binário para ASCII: U C B OAC Ponto Flutuante Parte I - 17 Grande Idéia: Tipo não associado ao Dado O que este padrão de bit significa: 1,986 * 10-7? ? 4UCB? ori $s5, $v0, 17218? Dados podem ser qualquer coisa; a operação da instrução que acessa o operando determina o seu tipo! Conseqüência do conceito de programa armazenado: instruções armazenadas como números OAC Ponto Flutuante Parte I - 18

10 Convertendo Decimal para PF (1/3) Caso simples: Se o denominador é uma potência de 2 (2, 4, 8, 16, etc.), então é fácil. Mostrar representação MIPS de 0,75-0,75 = -3/4-11 dois /100 dois = -0,11 dois Normalizado para 1,1 dois x 2-1 (-1) S x (1 + Significando) x 2 (Expoente -127) (-1) 1 x (1 +, ) x 2 ( ) OAC Ponto Flutuante Parte I - 19 Convertendo Decimal para PF (2/3) Caso não tão simples: Se o denominador não é uma potência de 2. Então nós não podemos representar o número precisamente; mas é por isso que nós temos tantos bits no significando: para precisão. Uma vez que temos o significando, normalizar um número para se ter o expoente é fácil. Então, como achamos o significando de um número sem fim? OAC Ponto Flutuante Parte I - 20

11 Convertendo Decimal para PF (3/3) Fato: Todos os números racionais tem um padrão repetitivo quando escritos na forma decimal. Fato: Isto se aplica também a binários. Para finalizar a conversão: Escrever o número binário com o padrão repetitivo. Cortá-lo após número correto de bits (diferente para precisão simples e dupla). Deduzir os campos Sinal, Expoente e Significando. OAC Ponto Flutuante Parte I - 21 Exemplo (1/2) Como representar 1/3 em MIPS? 1/3 = 0, = 0,25 + 0, , , , = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/ / = = 0, * 2 0 = 1, * 2-2 OAC Ponto Flutuante Parte I - 22

12 Exemplo (2/2) Sinal: 0 Expoente = = = Significando = OAC Ponto Flutuante Parte I - 23 Representação para +/- Infinito Em PF, divisão por zero deveria produzir +/- infinito, não overflow. Por quê? OK para se fazer cálculos avançados com infinito; p.ex., X/0 > Y pode ser uma comparação válida Pergunte aos experts de matemática IEEE 754 representa +/- infinito Maior expoente positivo reservado para infinito. Significando todo zero. OAC Ponto Flutuante Parte I - 24

13 Representação 0 Representar 0? expoente todo zero significando todo zero E o sinal? +0: : Por que dois zeros? Ajuda em algumas comparações de limite. Pergunte aos experts em matemática. OAC Ponto Flutuante Parte I - 25 Números Especiais O que nós definimos até agora? (Single Precision) Expoente Significando Objeto não zero??? qq coisa +/- num. PF /- infinito 255 não zero??? OAC Ponto Flutuante Parte I - 26

14 Adição em PF Muito mais difícil do que com inteiros. Não pode simplesmente somar os significandos Como se faz? De-normalizar para igualar expoentes Soma significandos para ter um resultante. Manter o mesmo expoente Normaliza (possivelmente mudando expoentes) Nota: Se os sinais diferem, realiza-se uma subtração ao invés da adição. OAC Ponto Flutuante Parte I - 27 Subtração PF Similar à adição Como nós fazemos? De-normalizar para igualar expoentes Subtrair significandos Manter o mesmo expoente Normalizar (possivelmente mudando expoente) OAC Ponto Flutuante Parte I - 28

15 Adição/Subtração PF Problemas na implementação de add/sub PF: Se os sinais diferem para add (ou mesmo para sub), qual será o sinal do resultado? Questão: Como nós integramos isto na unidade de aritmética inteira? Resposta: Nós não integramos! OAC Ponto Flutuante Parte I - 29 Arquitetura MIPS para Ponto Flutuante (1/4) Instruções separadas para ponto flutuante: Precisão Simples: add.s, sub.s, mul.s, div.s Precisão Dupla: add.d, sub.d, mul.d, div.d Estas instruções são muito mas complicadas do que suas contrapartidas inteiras, de modo que devem demorar muito mais. OAC Ponto Flutuante Parte I - 30

16 Arquitetura MIPS para Ponto Flutuante (2/4) Problemas: É ineficiente ter instruções diferentes que levam quantidades de tempo tão vastamente diferente. Geralmente, uma parte específica de dados não mudará de PF para int, ou vice versa, dentro de um programa. Assim, somente um tipo de instrução será utilizado nela. Alguns programas não fazem nenhum cálculo em ponto flutuante. Precisa-se de muito hardware relativamente a inteiros para se fazer Ponto Flutuante rápido. OAC Ponto Flutuante Parte I - 31 Arquitetura MIPS para Ponto Flutuante (3/4) Solução de 1990: Fazer um chip completamente separado que trata somente de PF. Coprocessador 1: chip PF contém 32 registradores de 32-bit: $f0, $f1,... maior parte dos registradores especificados nas instruções.s e.d se referem a este conjunto. Load e Store separados: lwc1 e swc1 ( load word coprocessor 1, store... ) Precisão Dupla: por convenção, pares par/ímpar contém PF PD: $f0/$f1, $f2/$f3,..., $f30/$f31 OAC Ponto Flutuante Parte I - 32

17 Arquitetura MIPS para Ponto Flutuante (4/4) Computador de 1990 realmente contém múltiplos chips separados: Processador: todas as coisas normais; Coprocessador 1: PF e somente PF; mais coprocessadores? Sim, mais tarde Hoje, chips baratos pode deixar de fora HW de PF Instruções para mover dados entre o processador principal e os coprocessadores: mfc0, mtc0, mfc1, mtc1, etc. OAC Ponto Flutuante Parte I - 33 Coisas para se Lembrar Números PF aproximam valores que queremos utilizar. Padrão IEEE 754 para PF é uma tentativa quase que universalmente aceita para se padronizar a interpretação de tais números Novos registradores MIPS ($f0-$f31), instruções: Precisão Simples (32 bits, 2x x10 38 ): add.s, sub.s, mul.s, div.s Precisão Dupla (64 bits, 2x x ): add.d, sub.d, mul.d, div.d Tipo não é associado com dados, bits não tem significado exceto em dado contexto. OAC Ponto Flutuante Parte I - 34

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