Seqüências. George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE

Transcrição

1 Seqüências George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE

2 Introdução Uma seqüência é uma estrutura discreta usada para representar listas ordenadas. Definição 1 Uma seqüência é uma função de um subconjunto do conjunto dos inteiros (usualmente {0, 1, 2, 3,...} ou {1, 2, 3,...}) em um conjunto S. Usa-se a notação a n para denotar a imagem do inteiro n. Chama-se a n um termo da seqüência.

3 Considere a seqüência {a n }, sabendo que a n = 1/n A lista dos termos dessa seqüência, começando com a 1, são rotulados como a 1, a 2, a 3, a 4,... E possui os seguintes termos 1, ½, 1/3, ¼,...

4 s Algumas seqüência a n = 6n a n = 2n + 1 a n = 10n a n = 5 Seqüência 1, 5, 25, 125, 625,... Seqüência 1, -1, 1, -1, 1, -1,...

5 Progressão aritmética Definição Uma progressão aritmética é uma seqüência da seguinte forma a, a+d, a+2d, a+3d,..., a+nd Sabendo que o termo inicial a e a diferença d são números reais

6 As seqüências {s n } com s n = 1+4n {t n } com t n = 7 3n São ambas progressões aritméticas com a= 1 e d=4 a=7 e d= 3 Assim, a lista de termos das seqüências são 1, 3, 7, 11,... 7, 4, 1, 2,...

7 Progressão Geométrica Definição Uma progressão geométrica é uma seqüência da seguinte forma a, ar, ar 2, ar 3,..., ar n Sabendo que o termo inicial a e a razão r são números reais A progressão geométrica é uma estrutura discreta. Função exponencial f(x) = ar x.

8 As seqüências {b n } com b n = ( 1) n {c n } com c n = 2 5 n {d n } com d n = 6 (1/3) n São ambas progressões geométricas com a= 1 e r= 1 a=10 e r=5 a=2 e r=1/3 Assim, a lista de termos das seqüências são 1, 1, 1, 1,... 10, 50, 250, 1250,... 2,2/3, 2/9, 2/27,...

9 Seqüências finitas a 1, a 2,..., a n são freqüentemente usadas em computação As cadeias (strings) são seqüências finitas também denotadas por a 1 a 2 a 3...a n. Exemplo: cadeias de bits. O seu tamanho, ou o número de termos da seqüência, ou da cadeia, é n. A cadeia vazia não possui termos, seu tamanho e igual a zero.

10 Seqüências especiais (Inteiros) Como definir uma fórmula ou regra geral para construir os termos de uma seqüência? Algumas perguntas úteis: Os termos são obtidos de termos anteriores pela soma de algum valor? Os termos são obtidos de termos anteriores pela multiplicação de algum valor? Os termos são obtidos pela combinação de termos anteriores de uma forma particular?

11 Seqüências especiais (Inteiros)

12 Dada as seqüências abaixo, quais são suas fórmulas a) 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 b) 1,3,5,7,9 c) 1,-1,1,-1,1 Respostas a) Os denominadores são potência de 2 a n = 1/2 n-1 (a=1 e r=1/2) b) Uma possível resposta é an = 2n-1 c) an = (-1) n+1

13 Suponha uma seqüência cujos 10 primeiros termos são 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 O inteiro n aparece exatamente n vezes na seqüência

14 Suponha uma seqüência cujos 10 primeiros termos são 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59 a n = 5+6(n-1) = 6n-1 Essa progressão aritmética tem a=5 e d=6.

15 Suponha uma seqüência cujos 10 primeiros termos sejam 1, 7, 25, 79, 241, 727, 2185, 6559, 19681, Resposta a n = 3 n -2

16 n a j = m j Somatório Uma forma de expressar a soma da seqüência {a n } a m, a m+1,..., a n Representa a m + a m a n n n a = a = a j= m j i= m i k= m n k

17 Expresse a soma dos 100 primeiros termos da seqüência {a n }, tal que a n = 1/n para n=1,2,3, j= 1 1 j

18 5 j= 1 2 Qual é o valor do j? 5 j= 1 j 2 = = = 55

19 5 j= 1 j 2 Mudar os índices de 1 a 5 para 0 a 4. k = j 1 j = k j = ( k + 1) 4 j= 1 k= 0 = = 55 2

20 Séries Geométricas Teorema Se a e r são números reais e r 0, então

21 Séries Geométricas (prova)

22 Somatórios duplos 4 3 i = 1 j= 1 ij

23 100 2 k =? k= k = k + k k= 1 k= 1 k= k = k k k= 50 k= 1 k= k = 6 6 k= = =

24 Alguns somatórios

25 Cardinalidade Definição Os conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade se e somente se existe uma bijeção (one-to-one correspondence) de A para B

26 Conjunto enumerável Definição Conjunto enumerável (ou contável) Um conjunto que é finito ou que possui a mesma cardinalidade dos números naturais e chamado de enumerável (ou contável). Caso contrário ele é dito não enumerável.

27 Mostrar que o conjunto dos inteiros ímpares é um conjunto contável. É necessário encontrar uma função bijetora. Considerando a função: f(n) = 2n-1 Injetora Supondo que f(n) = f(m). Assim, 2n-1=2m-1, então n=m. Sobrejetora Supondo que t é um inteiro ímpar Então t é igual a 1 menos um inteiro par 2k (k é um número natural). Assim, t = 2k-1 = f(k)

28 Bijeção entre os inteiros positivos e o conjunto de inteiros ímpares positivos

29 Mostrar que o conjunto dos racionais positivos é um conjunto contável. Todo número racional é da forma p/q (dois inteiros) É possível organizar os números racional listando todos os que tem quociente igual a 1 na primeira linha listando todos os que tem quociente igual a 2 na segunda linha E assim por diante A chave é listar a seqüência de forma que p+q=2 p+q=3 E assim por diante Eliminando repetições

30 Os números racionais positivos formam um conjunto contável.

31 Mostrar que o conjunto dos números reais é um conjunto não enumerável. Argumento de diagonalização de Cantor Será analisado um subconjunto dos números reais [0,1]. Prova por contradição: Assume-se que o intervalo [0,1] é infinito enumerável. Então é possível enumerar todos os números deste intervalo como uma seqüência ( r1, r2, r3,... ) Sabe-se que cada um desses números pode ser representado como uma expansão decimal

32 r1 = 0, r2 = 0, r3 = 0, r4 = 0, r5 = 0, r6 = 0, r7 = 0, r1 = 0, r2 = 0, r3 = 0, r4 = 0, r5 = 0, r6 = 0, r7 = 0, x = 0,

33 O número x é um número real dentro do intervalo [0,1] Por isso, r n = x para algum n No entanto, por causa da maneira como foi escolhido os dígitos 4 e 5, x difere na n-ésima posição de r n, então x não está na seqüência (r 1, r 2, r 3,... ) Essa seqüência portanto não é uma enumeração do conjunto de todos os reais no intervalor [0,1]. Isto é uma contradição Logo, a hipótese de que o intervalo [0,1] é contável deve ser falsa