Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros"

Transcrição

1 Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010

2 O que é a Análise Numérica? Ramo da Matemática dedicado ao estudo e desenvolvimento de métodos (métodos numéricos) para a resolução de problemas demasiado complicados ou impossíveis do ponto de vista anaĺıtico. Exemplo Todos sabemos imediatamente determinar as raízes da equação x 2 2x + 1 = 0. E da equação lnx + x + 1 = 0? 1 0 2xdx = 1 mas como determinar uma primitiva de e x2 dx?

3 Quando recorremos a uma calculadora ou a um computador para resolver numericamente um dado problema matemático, dois tipos de erro podem surgir: Erros de arredondamento: as máquinas, de capacidade limitada, não conseguem representar todos os números reais; Erros de truncatura: surgem sempre que se substitui um problema contínuo por um discreto, ou quando se substitui um processo de cálculo com um número infinito de operações, por outro com um número finito.

4 Representação de números inteiros Um inteiro N 0 com n + 1 dígitos é representado na base decimal, univocamente, por N = ± (d nd n 1... d 1 d 0 ) 10 = d n 10 n + d n 1 10 n d d , sendo d i um inteiro tal que 0 d i < 10, i = 0, 1,..., n, d n 0. Exemplo 483 = = (483) 10. Se um número inteiro, N 0 está representado numa outra base b, b 2 que não a decimal, então N = ± (d nd n 1... d 1 d 0 ) b = ±d n b n + d n 1 b n d 1 b 1 + d 0 b 0, com 0 d i < b, i = 0, 1,..., n, d n 0 e em que as operações no segundo membro são efectuadas na base 10.

5 Mudança de base Exemplo Mudança da base b para a base 10: É imediata. (10110) 2 = = 22.

6 Mudança de base Exemplo Mudança da base 10 para a base b: Sendo b 2, N b = ±dn bn 1 + d n 1 b n d 1 + d 0, } {{ } b }{{} Quociente Resto i.e., o digito de menor ordem, d 0 na representação de N na base b, é o resto da divisão de N por b. Dividindo o quociente da divisão de N por b, novamente por b, obtemos o dígito d 1 que será o resto daí resultante, e assim sucessivamente, até efectuarmos a n-ésima divisão cujo quociente é d n }{{} d 0 1 }{{} d }{{} 2 2 d 2 0 }{{} 1 }{{} d 3 d 4 (22) 10 = (10110) 2.

7 Representação de números reais A representação de um número x R na base 10 é dada por x = ± (d nd n 1... d 1 d 0.d 1 d 2... d k ) 10, e deve ser interpretada por x = ±d n 10 n + + d d d d k 10 k, onde 0 d i < 10, i = 0,..., n e 0 d j < 10, j = 1,..., k. Analogamente, a representação do real x na base b, b 2 é definida por x = ± (d nd n 1... d 1 d 0.d 1 d 2... d k ) b = ±d n b n + + d 1 b 1 + d 0 b 0 + d 1 b d k b k, onde 0 d i < b, i = 0,..., n e 0 d j < b, j = 1,..., k. Os dígitos d n d 1 d 0 constituem a parte inteira e os dígitos d 1... d k a parte fraccionária da representação de x na base b.

8 Mudança da base b para a base 10 Imediata de acordo com a igualdade anterior! Exemplo ( ) 2 = = Seja x um número real representado na base 10. Suponhamos que pretendemos representá-lo noutra base que não a decimal. Como a conversão da parte inteira, segue as mesmas regras da mudança de base de um número inteiro, vamos admitir que x é um número real com parte inteira igual a zero.

9 Mudança da base 10 para a base b Seja Como x = ± (.d 1 d 2... d k ) b = ±d 1 b d k b k. bx = ± d }{{} 1 + d 2 b d k b k+1, } {{ } parte inteira parte fraccionária donde d 1 é a parte inteira do resultado. Se multiplicarmos a parte fraccionária de bx por b, obtemos o dígito d 2 e assim sucessivamente.

10 Exemplo Representemos o número na base binária (base 2). Vimos anteriormente que 22 = (10110) 2. Representemos então na base 2. cálculo de d = cálculo de d = cálculo de d = cálculo de d = Como no último cálculo, a parte fraccionária é zero, a representação é finita. Assim, = (.1101) 2 e portanto = ( ) 2.

11 Notação científica ou de vírgula flutuante Nas aplicações científicas, há a necessidade de recorrer a números muito grandes e a números muito pequenos, cuja representação obriga a um grande número de dígitos, a maioria dos quais são zero. Em notação de vírgula flutuante, um número real x, na base b, com t dígitos, pode ser representado por: x = ±(.d 1 d 2... d t ) b b e, d i {0, 1,..., b 1}, onde b é a base, (.d 1 d 2... d t ) é a mantissa, o expoente, e, é um inteiro tal que L < e < U, com L e U valores inteiros. Esta representação diz-se normalizada quando d 1 0.

12 As representações binária e hexadecimal são as mais utilizadas para fins computacionais; Numa representação normalizada, a mantissa é um número que pertence ao intervalo [b 1, 1 b t ]; O sistema de representação de números reais em vírgula flutuante, é então caracterizado por quatro parâmetros 1 a base b; 2 o número t de dígitos na mantissa; 3 o domínio de variação do expoente, i.e., L e U; resumidamente F (b, t, L, U); O maior número em valor absoluto de F (b, t, L, U) é B = ( 1 5 t) b U. Reais não pertencentes ao intervalo [ B, B] não poderão ser exactamente representados no sistema de representação F (b, t, L, U); A gama de valores b, t, L e U possível de representar varia muito consoante a máquina em questão.

13 Todo o real x admite a forma normalizada x = ±0.a 1 a 2... a t a t+1... b e. A sua representação em F (b, t, L, U) faz-se por arredondamento, que pode ser efectuado por uma de duas maneiras: arredondamento por corte: x x = ±0.a 1 a 2... a t b e ; arredondamento simétrico: soma-se 1 2 be t a x e em seguida arredonda-se por corte, para t dígitos.

14 Exemplo No sistema de vírgula flutuante F (10, 7, 99, 99) 1 O número π não possui uma representação exacta, pois π = 3, = 0, Para o representarmos aproximadamente neste sistema de vírgula flutuante, obteríamos π 0, (arredondamento por corte); π 0, (arredondamento simétrico); 2 O número não pode ser representado pois o seu expoente 100 > 99 Overflow; 3 O número não pode ser representado pois o seu expoente 100 < 99 Underflow;

15 Valores aproximados e erros Os erros podem expressar-se em termos absolutos ou relativos. Seja x uma quantidade exacta e x um valor aproximado de x. A e x = x x chama-se erro (cometido na aproximação de x por x); x = e x = x x chama-se erro absoluto; a r x = e x x = x x chama-se erro relativo. 1 No caso em que e x > 0 x > x diz-se que a aproximação é por defeito; no caso em que e x < 0 x < x diz-se que a aproximação é por excesso; 2 Usualmente, na prática x é uma quantidade desconhecida e assim sendo, é comum fazer-se r x η x, onde x η x é um majorante do erro absoluto.

16 Exemplo 1 Seja x = e x = Então x = x x = = 0.005; r x = x = = 0.9%; x Sendo y = e ȳ = um valor aproximado de y, então ȳ = y ȳ = = 0.005; rȳ = ȳ = = 0.001%; y Tal como este exemplo ilustra, o erro relativo fornece mais informação acerca da aproximação cometida, pois como se pode ver, embora os erros absolutos sejam iguais, no segundo caso, o erro relativo é significativamente menor.

17 Casas decimais correctas e algarismos significativos Daqui em diante, salvo indicação em contrário, consideramos todas as quantidades representadas na base 10 na notação normalizada. Seja x uma quantidade exacta e x um valor aproximado de x. Dizemos que x tem k casas decimais correctas sse x = x x k ; Dizemos que x tem k algarismos significativos correctos sse r x k.

18 Exemplo A aproximação x = 3.14 para x = π tem 2 casas decimais correctas e 3 algarismos significativos correctos, pois x = x x = = < r x = = < ; Mostre que o valor aproximado para e 3 tem 4 casas decimais correctas e 3 algarismos significativos correctos.

19 Propagação de erros Experimente numa máquina de calcular, extrair 3 vezes a raíz quadrada de 40 e de seguida, elevar 3 vezes o resultado obtido ao quadrado. A grande maioria da calculadoras devolve um resultado diferente de 40!! Problema de propagação de erros: Se tivermos um valor x que aproxima x, ao calcularmos a imagem por uma função f, vamos obter uma valor aproximado f ( x) diferente de f (x). De que forma o erro é propagado ao efectuarmos o cálculo de uma função (ou operação) f num valor aproximado de x, x?

20 Seja x um valor aproximado de x. Pela fórmula de Taylor: f (x) = f ( x) + f (ξ)(x x), ξ I {x, x} ( intervalo aberto de extremos x e x) f (x) f ( x) } {{ } e f ( x) = f (ξ)(x x } {{ } e x ) f ( x) = f (ξ) x. E quando f (x) 0, temos para o erro relativo f ( x) f (x) = f (ξ) f (x) }{{} x r f ( x) = f (ξ) x f (x) r x xr x Supondo x e x muito próximos, é legítimo considerar f (ξ) f (x), obtendo f ( x) f (x) x r f ( x) xf (x) f (x) r x

21 Ao valor cond(f (x)) = xf (x) f (x), dá-se o nome de número de condição de f em x. Quando o número de condição de uma função f é muito elevado numa vizinhança de x, então o erro relativo de f ( x) será muito grande mesmo que o erro relativo de x seja pequeno.

22 Fórmulas de propagação do erro (absoluto e relativo) Seja f = f (x 1, x 2,..., x n ) e consideremos que x = ( x 1, x 2,..., x n ) é um valor aproximado de x = (x 1, x 2,..., x n ). Seguindo os mesmos passos, i.e, começando por utilizar a fórmula de Taylor (para funções de duas ou mais variáveis), obteríamos: f ( x) r f ( x) n f (x) x k x k n f x k x k (x) r f (x) xk } {{ } números de condição k=1 k=1 Nota: Na prática, usualmente, a quantidade x é desconhecida e por isso é comum nas fórmulas acima substituir x por x.

23 Exemplo Sejam x e ȳ valores aproximados de x e y, respectivamente. Considere-se a diferença entre x e y: D = f (x, y) = x y, e suponhamos que determinamos uma aproximação de D calculada a partir dos valores aproximados x e ȳ. Determinemos um majorante do erro relativo associado a esta aproximação. Pela fórmula de propagação do erro relativo, temos r D xr x x ȳ + ȳr ȳ x ȳ x + ȳ x ȳ

24 Sempre que x e ȳ são números muito próximos, o valor x ȳ torna-se muito pequeno e consequentemente, o erro relativo vem demasiado grande (ou seja, a precisão do resultado é muito baixa). Ao efeito causado pela perda de algarismos significativos quando se subtraiem quantidades muito próximas, dá-se o nome de cancelamento subtractivo. Vejamos um exemplo:

25 Exemplo Dada a função: f (x) = cos x 1 x 2, sabe-se que para valores de x próximos de zero f (x) x2. Numa calculadora, 24 obteve-se f (10 16 ) = 0. Como se explica este resultado? Isto ocorre porque para valores de x próximos de zero, cos x é aproximadamente 1, pelo que cos x 1 é aproximadamente zero, o que resulta num erro relativo terrivelmente grande. Isto acontece sempre que se subtraem quantidades muito próximas para a precisão da máquina. Para evitar este tipo de problemas e neste caso em particular, podemos: 1 efectuar o desenvolvimento em série de Taylor da função cos x; 2 notar que f (x) = cos x 1 x 2 = cos2 x 1 x 2 (cos x + 1) = sin 2 x x 2 (cos x + 1). Se calcularmos, na mesma calculadora, f (10 16 ) usando esta última expressão obtemos f (10 16 ) = 0.5.

26 Seja x = ( x 1, x 2,..., x n) um valor aproximado de x = (x 1, x 2,..., x n). Suponhamos que queremos calcular um valor aproximado de f (x), através de f ( x). Qual a precisão a considerar para os valores aproximados de x 1, x 2,..., x n, por forma a que o valor de f ( x), seja obtido com um erro que em valor absoluto não exceda uma quantidade η > 0, previamente fixada. Pela fórmula de propagação do erro absoluto pretendemos que: f ( x 1, x 2,..., x n) f ( x 1, x 2,..., x n) x x f ( x 1, x 2,..., x n) 1 x xn η n O problema apresentado desta forma é indeterminado. Na prática, para o resolver, usa-se um dos dois princípios que se seguem: Princípio dos erros iguais: Utiliza-se quando todas as quantidades têm as mesmas unidades e quando os erros são da mesma natureza e ordem de grandeza 1, supondo: k = x 1 =... = x n. Princípio dos efeitos iguais: Supõe-se f ( x 1, x 2,..., x n) x x 1 =... = f ( x 1, x 2,..., x n) 1 x xn = k. n 1 Dois números não nulos y e z, dizem-se da mesma ordem de grandeza e escreve-se y z se 0.1 < y z 1.

27 Condicionamento e estabilidade A equação quadrática x x = 0 tem as raízes reais são x 1 = x 2 = 1/6. Se escrevermos esta mesma equação utilizando aritmética finita usando 6 c.d.c nas aproximações, obtemos a seguinte equação que não tem raízes reais. x = 0 Um problema tal como este, em que pequenas alterações nos dados produzem grandes variações no resultado final, diz-se um problema mal condicionado. Se tal não ocorre, o problema diz-se bem condicionado. No caso do cálculo de uma função, o mau condicionamento do problema corresponde ao facto de f ter um número de condição elevado. Ao usarmos um método numérico para a resolução de um problema mal condicionado, devemos ter em atenção as aproximações cometidas ao longo da sua execução. Tal está relacionado com a noção de estabilidade de um método numérico. Dizemos que um método numérico é estável se a acumulação de erros durante a sua execução não tem influência significativa no resultado. Quando tal não acontece, o método diz-se instável.

28 A explosão do Ariane 5 No dia 4 de Junho de 1996, 40 segundos após o seu lançamento, no centro espacial da Guiana Francesa, o foguetão Ariane 5 explodiu. Após o inquérito realizado, concluiu-se que a causa do fracasso era um erro de software no sistema de referência inercial. Concretamente, um número em vírgula flutuante com 64 bits (relativo à velocidade horizontal do foguetão em relação à plataforma de lançamento) foi convertido num inteiro de 16 bits. Esta conversão falhou, pois o número era superior a 32767, o maior inteiro representável num sistema de 16 bits.

Alguns apontamentos da história da Análise Numérica

Alguns apontamentos da história da Análise Numérica Análise Numérica 1 Âmbito da Análise Numérica Determinar boas soluções aproximadas num tempo computacional razoável? Slide 1 Porquê? Porque em muitos problemas matemáticos e respectivas aplicações práticas

Leia mais

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1998/99. Erros

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1998/99. Erros Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 1998/99 Erros Objectivos: Arredondar um número para n dígitos significativos. Determinar os erros máximos absoluto e relativo

Leia mais

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico

Leia mais

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97 ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se

Leia mais

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Aula 2 - Cálculo Numérico

Aula 2 - Cálculo Numérico Aula 2 - Cálculo Numérico Erros Prof. Phelipe Fabres Anhanguera Prof. Phelipe Fabres (Anhanguera) Aula 2 - Cálculo Numérico 1 / 41 Sumário Sumário 1 Sumário 2 Erros Modelagem Truncamento Representação

Leia mais

Representação de Dados

Representação de Dados Representação de Dados Introdução Todos sabemos que existem diferentes tipos de números: fraccionários, inteiros positivos e negativos, etc. Torna-se necessária a representação destes dados em sistema

Leia mais

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Introdução Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. A obtenção

Leia mais

Cálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante

Cálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Cálculo Numérico Aula : Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Computação Numérica - O que é Cálculo Numérico? Cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos

Leia mais

Capítulo 1 - Erros e Aritmética Computacional

Capítulo 1 - Erros e Aritmética Computacional Capítulo 1 - Erros e Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Electrotécnica e Mecânica Carlos Balsa Métodos Numéricos

Leia mais

Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos?

Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos? &DStWXOR±5HSUHVHQWDomRGH1~PHURVH(UURV,QWURGXomR Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos? 7LSRVGH(UURV Erros inerentes à matematização do fenómeno físico: os sistemas

Leia mais

Organização e Arquitetura de Computadores I

Organização e Arquitetura de Computadores I Organização e Arquitetura de Computadores I Aritmética Computacional Slide 1 Sumário Unidade Lógica e Aritmética Representação de Números Inteiros Aritmética de Números Inteiros Representação de Números

Leia mais

2. Representação Numérica

2. Representação Numérica 2. Representação Numérica 2.1 Introdução A fim se realizarmos de maneira prática qualquer operação com números, nós precisamos representa-los em uma determinada base numérica. O que isso significa? Vamos

Leia mais

1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos

1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos 1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos 1. Introdução O que é cálculo numérico? Corresponde a um conjunto

Leia mais

Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ

Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Instituída pela Lei 0.45, de 9/04/00 - D.O.U. de /04/00 Pró-Reitoria de Ensino de Graduação - PROEN Disciplina: Cálculo Numérico Ano: 03 Prof: Natã Goulart

Leia mais

Representação Binária de Números

Representação Binária de Números Departamento de Informática Notas de estudo Alberto José Proença 01-Mar-04 Dep. Informática, Universidade do Minho Parte A: Sistemas de numeração e representação de inteiros A.1 Sistemas de numeração

Leia mais

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS.0 Representação O sistema de numeração decimal é o mais usado pelo homem nos dias de hoje. O número 0 tem papel fundamental, é chamado de base do sistema. Os símbolos 0,,, 3, 4, 5,

Leia mais

Capítulo 1 Erros e representação numérica

Capítulo 1 Erros e representação numérica Capítulo 1 Erros e representação numérica Objetivos Esperamos que ao final desta aula, você seja capaz de: Pré-requisitos Identificar as fases de modelagem e os possíveis erros nelas cometidos; Compreender

Leia mais

Aritmética de Ponto Flutuante e Noções de Erro. Ana Paula

Aritmética de Ponto Flutuante e Noções de Erro. Ana Paula Aritmética de Ponto Flutuante e Noções de Erro Sumário 1 Introdução 2 Sistemas de Numeração 3 Representação de Números Inteiros no Computador 4 Representação de Números Reais no Computador 5 Operações

Leia mais

Sistemas de Numeração

Sistemas de Numeração Departamento de Informática Sistemas de Numeração Notas de estudo Alberto José Proença Luís Paulo Santos 18-Fev-05 1. Sistemas de numeração e representação de inteiros 1.1. Sistemas de numeração 1.2. Conversão

Leia mais

Índice de conteúdos. Índice de conteúdos. Capítulo 2. Representação de Números e Erros...1. 1.Representação de números em diferentes bases...

Índice de conteúdos. Índice de conteúdos. Capítulo 2. Representação de Números e Erros...1. 1.Representação de números em diferentes bases... Índice de conteúdos Índice de conteúdos Capítulo 2. Representação de Números e Erros...1 1.Representação de números em diferentes bases...1 1.1.Representação de números inteiros e conversões de base...1

Leia mais

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte III) Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte III) Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação Introdução à Computação A Informação e sua Representação (Parte III) Prof.a Joseana Macêdo Fechine Régis de Araújo joseana@computacao.ufcg.edu.br

Leia mais

Cálculo Numérico. ECA / 4 créditos / 60 h Introdução, Erros e Matlab. Ricardo Antonello. www.antonello.com.br

Cálculo Numérico. ECA / 4 créditos / 60 h Introdução, Erros e Matlab. Ricardo Antonello. www.antonello.com.br Cálculo Numérico ECA / 4 créditos / 60 h Introdução, Erros e Matlab Ricardo Antonello www.antonello.com.br Conteúdo Erros na fase de modelagem Erros na fase de resolução Erros de arredondamento Erros de

Leia mais

Sistema de Numeração e Conversão entre Sistemas. Prof. Rômulo Calado Pantaleão Camara. Carga Horária: 60h

Sistema de Numeração e Conversão entre Sistemas. Prof. Rômulo Calado Pantaleão Camara. Carga Horária: 60h Sistema de Numeração e Conversão entre Sistemas. Prof. Rômulo Calado Pantaleão Camara Carga Horária: 60h Representação de grandeza com sinal O bit mais significativo representa o sinal: 0 (indica um número

Leia mais

Eduardo Camponogara. DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação. Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina

Eduardo Camponogara. DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação. Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação 1/48 Sumário Arredondamentos Erros 2/48 Sumário Arredondamentos

Leia mais

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados

Leia mais

ARQUITETURA DE COMPUTADORES

ARQUITETURA DE COMPUTADORES ARQUITETURA DE COMPUTADORES Sistema de Numeração Prof Daves Martins Msc Computação de Alto Desempenho Email: daves.martins@ifsudestemg.edu.br Sistemas Numéricos Principais sistemas numéricos: Decimal 0,

Leia mais

Apontamentos de Matemática Computacional

Apontamentos de Matemática Computacional Apontamentos de Matemática Computacional Mário Meireles Graça e Pedro Trindade Lima Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Universidade de Lisboa Conteúdo 1 Elementos da teoria dos erros

Leia mais

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s Representação numérica Cálculo numérico Professor Walter Cunha Um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam

Leia mais

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos. Representação de números em computadores Mudança de base 14:05

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos. Representação de números em computadores Mudança de base 14:05 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Representação de números em computadores Mudança de base 14:05 Computadores são "binários" Por que 0 ou 1? 0 ou 1 - "fácil" de obter um sistema físico Transistores

Leia mais

Representação de números em máquinas

Representação de números em máquinas Capítulo 1 Representação de números em máquinas 1.1. Sistema de numeração Um sistema de numeração é formado por uma coleção de símbolos e regras para representar conjuntos de números de maneira consistente.

Leia mais

Universidade do Minho Departamento de Electrónica Industrial. Sistemas Digitais. Exercícios de Apoio - I. Sistemas de Numeração

Universidade do Minho Departamento de Electrónica Industrial. Sistemas Digitais. Exercícios de Apoio - I. Sistemas de Numeração Universidade do Minho Departamento de Electrónica Industrial Sistemas Digitais Exercícios de Apoio - I Sistemas de Numeração CONVERSÃO ENTRE SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Conversão Decimal - Binário Números Inteiros

Leia mais

Matemática Computacional

Matemática Computacional Matemática Computacional Maria Isabel Reis dos Santos Departamento de Matemática 2011/2012 Conteúdo 1 Cálculo em precisão finita 11 1.1 Números binários...................................... 12 1.1.1

Leia mais

Sistemas de Numeração. Engenharia da Computação 3 Período Alex Vidigal Bastos

Sistemas de Numeração. Engenharia da Computação 3 Período Alex Vidigal Bastos UNIPAC Sistemas Digitais Sistemas de Numeração Engenharia da Computação 3 Período Alex Vidigal Bastos 1 Agenda Objetivos Introdução Sistema Binário Sistema Octal Sistema Hexadecimal Aritméticas no Sistema

Leia mais

Computadores e Programação

Computadores e Programação Computadores e Programação 2007 2008 Orlando Oliveira, Helmut Wolters adaptado a partir duma apresentação de Fernando Nogueira, José António Paixão, António José Silva orlando@teor.fis.uc.pt, helmut@coimbra.lip.pt

Leia mais

Sistemas Numéricos e a Representação Interna dos Dados no Computador

Sistemas Numéricos e a Representação Interna dos Dados no Computador Capítulo 2 Sistemas Numéricos e a Representação Interna dos Dados no Computador 2.0 Índice 2.0 Índice... 1 2.1 Sistemas Numéricos... 2 2.1.1 Sistema Binário... 2 2.1.2 Sistema Octal... 3 2.1.3 Sistema

Leia mais

Sistema de ponto flutuante

Sistema de ponto flutuante Exemplo: FP(,4,,A) e FP(,4,,T) Sistema de ponto flutuante FP( b, p, q,_) = FP(, 4,, _ ) base 4 dígitos na mantissa dígitos no expoente A=Arredondamento T=Truncatura x ± =± m b t x =± d 1d d d 4 dígitos

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) I Representação dos números, aritmética de ponto flutuante e erros em máquinas

Leia mais

ULA- Unidade Lógica Aritmética. Prof. Rômulo Calado Pantaleão Camara. Carga Horária: 60h

ULA- Unidade Lógica Aritmética. Prof. Rômulo Calado Pantaleão Camara. Carga Horária: 60h ULA- Unidade Lógica Aritmética. Prof. Rômulo Calado Pantaleão Camara Carga Horária: 60h Sumário Unidade Lógica Aritmetrica Registradores Unidade Lógica Operações da ULA Unidade de Ponto Flutuante Representação

Leia mais

Aula 6 Aritmética Computacional

Aula 6 Aritmética Computacional Aula 6 Aritmética Computacional Introdução à Computação ADS - IFBA Representação de Números Inteiros Vírgula fixa (Fixed Point) Ponto Flutuante Para todos, a quantidade de valores possíveis depende do

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 Para determinarmos um valor aproximado das raízes de uma equação não linear, convém notar inicialmente

Leia mais

ARQUITETURA DE COMPUTADORES. Sistemas de Numeração. 1 Arquitetura de Computadores

ARQUITETURA DE COMPUTADORES. Sistemas de Numeração. 1 Arquitetura de Computadores ARQUITETURA DE COMPUTADORES Sistemas de Numeração 1 Sistemas de Numeração e Conversão de Base Sistema Decimal É o nosso sistema natural. Dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Números superiores a 9; convencionamos

Leia mais

Aula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante.

Aula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante. Aula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante. MS211 - Cálculo Numérico Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Leia mais

Aproximações e Erros de Arredondamento. introdução. exactidão e precisão. Aula 2 Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia

Aproximações e Erros de Arredondamento. introdução. exactidão e precisão. Aula 2 Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Aproximações e Erros de Arredondamento Aula 2 Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia 23/02/07 João Noronha 1 introdução Em muitos problemas de engenharia não é possível a obtenção de soluções analíticas.

Leia mais

CAPÍTULO 9. PROCESSAMENTO DOS DADOS 9.5. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS. =0.01 gcm 3 3.36 Logo o resultado experimental é: = 5.82 g 0.

CAPÍTULO 9. PROCESSAMENTO DOS DADOS 9.5. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS. =0.01 gcm 3 3.36 Logo o resultado experimental é: = 5.82 g 0. CAPÍTULO 9. PROCESSAMENTO DOS DADOS 9.5. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Logo o resultado experimental é: =(1.732 ± 0.001) gcm 3 O erro relativo do volume (0.1%) é uma ordem de grandeza maior que o erro relativo

Leia mais

Exemplo de Subtração Binária

Exemplo de Subtração Binária Exemplo de Subtração Binária Exercícios Converta para binário e efetue as seguintes operações: a) 37 10 30 10 b) 83 10 82 10 c) 63 8 34 8 d) 77 8 11 8 e) BB 16 AA 16 f) C43 16 195 16 3.5.3 Divisão binária:

Leia mais

Notas de Cálculo Numérico

Notas de Cálculo Numérico Notas de Cálculo Numérico Túlio Carvalho 6 de novembro de 2002 2 Cálculo Numérico Capítulo 1 Elementos sobre erros numéricos Neste primeiro capítulo, vamos falar de uma limitação importante do cálculo

Leia mais

Capítulo I : Noções Gerais

Capítulo I : Noções Gerais Capítulo I : Noções Gerais 1 Capítulo I : Noções Gerais Informática (Teoria da Informação): Ciência do tratamento e transmissão da informação. Computador: Sistema que permite armazenar grandes quantidades

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

Unidade 3: Sistemas de Numeração Conversões Entre Quaisquer Bases e Aritmética em Bases Alternativas Prof. Daniel Caetano

Unidade 3: Sistemas de Numeração Conversões Entre Quaisquer Bases e Aritmética em Bases Alternativas Prof. Daniel Caetano Arquitetura e Organização de Computadores 1 Unidade 3: Sistemas de Numeração Conversões Entre Quaisquer Bases e Aritmética em Bases Alternativas Prof. Daniel Caetano Objetivo: Apresentar métodos genéricos

Leia mais

Prof. Luís Caldas Sistemas de Numeração e Transformação de Base NUMERAÇÃO, BASE NUMÉRICA E TRANSFORMAÇÃO DE UMA BASE

Prof. Luís Caldas Sistemas de Numeração e Transformação de Base NUMERAÇÃO, BASE NUMÉRICA E TRANSFORMAÇÃO DE UMA BASE NUMERAÇÃO, BASE NUMÉRICA E TRANSFORMAÇÃO DE UMA BASE Os números são na verdade coeficientes de uma determinada base numérica e podem ser representados como números assinalados, não assinalados, em complemento

Leia mais

Trabalho compilado da Internet Prof. Claudio Passos. Sistemas Numéricos

Trabalho compilado da Internet Prof. Claudio Passos. Sistemas Numéricos Trabalho compilado da Internet Prof. Claudio Passos Sistemas Numéricos A Informação e sua Representação O computador, sendo um equipamento eletrônico, armazena e movimenta as informações internamente sob

Leia mais

Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante

Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante 7.1 Números em ponto fixo Observação inicial: os termos ponto fixo e ponto flutuante são traduções diretas dos termos ingleses fixed point e floating

Leia mais

A FÓRMULA DE CONVERSÃO ENTRE AS UNIDADES É: F = 1.8 C + 32.0

A FÓRMULA DE CONVERSÃO ENTRE AS UNIDADES É: F = 1.8 C + 32.0 UTILIZANDO NOSSA MÁQUINA HIPOTÉTICA VAMOS CONSTRUIR UM PROGRAMA PARA CONVERTER VALORES DE UMA UNIDADE PARA OUTRA. O NOSSO PROGRAMA RECEBE UM VALOR NUMÉRICO QUE CORRESPONDE A UMA TEMPERATURA EM GRAUS CELSIUS

Leia mais

Deste modo, por razões tecnológicas e conceituais, os números binários e a álgebra boole-ana formam a base de operação dos computadores atuais.

Deste modo, por razões tecnológicas e conceituais, os números binários e a álgebra boole-ana formam a base de operação dos computadores atuais. 25BCapítulo 2: Números e Aritmética Binária Os computadores armazenam e manipulam a informação na forma de números. Instruções de programas, dados numéricos, caracteres alfanuméricos, são todos representados

Leia mais

Noções Básicas de Erros

Noções Básicas de Erros Noções Básicas de Erros PROF. ALIRIO SANTOS DE SÁ ALIRIOSA@UFBA.BR MATERIAL ADAPTADA DOS SLIDES DA DISCIPLINA DE CÁLCULO NUMÉRICO DOS PROFESSORES BRUNO QUEIROZ, JOSÉ QUEIROZ E MARCELO BARROS (UFCG). DISPONÍVEL

Leia mais

Matemática Computacional - Exercícios

Matemática Computacional - Exercícios Matemática Computacional - Exercícios 1 o semestre de 2009/2010 - LEMat e MEQ Teoria de erros e Representação de números no computador Nos exercícios deste capítulo os números são representados em base

Leia mais

Métodos Numéricos. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.

Métodos Numéricos. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho. Métodos Numéricos A. Ismael F. Vaz Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Ano lectivo 2007/2008 A.

Leia mais

2. Sistemas de Numeração, Operações e Códigos. 2. Sistemas de Numeração, Operações e Códigos 1. Números Decimais. Objetivos.

2. Sistemas de Numeração, Operações e Códigos. 2. Sistemas de Numeração, Operações e Códigos 1. Números Decimais. Objetivos. Objetivos 2. Sistemas de Numeração, Operações e Códigos Revisar o sistema de numeração decimal Contar no sistema de numeração binário Converter de decimal para binário e vice-versa Aplicar operações aritméticas

Leia mais

Unidade de Controlo. Unidade Aritmética e Lógica

Unidade de Controlo. Unidade Aritmética e Lógica Métodos de Programação I Departamento de Matemática, FCTUC 8 Modelo de Organização de um Computador Digital - Modelo de Von Neumann Neste modelo esquemático de organização de um computador digital tradicional

Leia mais

Aula 9. Introdução à Computação. ADS IFBA www.ifba.edu.br/professores/antoniocarlos

Aula 9. Introdução à Computação. ADS IFBA www.ifba.edu.br/professores/antoniocarlos Aula 9 Introdução à Computação Ponto Flutuante Ponto Flutuante Precisamos de uma maneira para representar Números com frações, por exemplo, 3,1416 Números muito pequenos, por exemplo, 0,00000001 Números

Leia mais

Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1

Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1 Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA Números e Funções Reais Avaliação - GABARITO 3 de abril de 203. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras

Leia mais

1 Modelo de computador

1 Modelo de computador Capítulo 1: Introdução à Programação Waldemar Celes e Roberto Ierusalimschy 29 de Fevereiro de 2012 1 Modelo de computador O computador é uma máquina capaz de manipular informações processando seqüências

Leia mais

Arquitetura de Computadores

Arquitetura de Computadores Arquitetura de Computadores Prof. Fábio M. Costa Instituto de Informática UFG 1S/2004 Representação de Dados e Aritimética Computacional Roteiro Números inteiros sinalizados e nãosinalizados Operações

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

Capítulo 1. Introdução. 1.1 Sistemas numéricos

Capítulo 1. Introdução. 1.1 Sistemas numéricos EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Capítulo 1 Introdução O objetivo desta disciplina é discutir e aplicar técnicas e métodos numéricos para a resolução de problemas

Leia mais

Apontamentos de Análise Numérica

Apontamentos de Análise Numérica Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Apontamentos de Análise Numérica Aníbal Castilho Coimbra de Matos Setembro de 2005 Nota introdutória

Leia mais

Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro. Curso Profissional de Nível Secundário. Componente Técnica. Disciplina de

Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro. Curso Profissional de Nível Secundário. Componente Técnica. Disciplina de Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro Curso Profissional de Nível Secundário Componente Técnica Disciplina de Sistemas Digitais e Arquitectura de Computadores 29/21 Módulo 1: Sistemas de Numeração

Leia mais

CAPÍTULO II COLETANDO DADOS EXPERIMENTAIS

CAPÍTULO II COLETANDO DADOS EXPERIMENTAIS CAPÍTULO II COLETANDO DADOS EXPERIMENTAIS II.1 A Comunicação em Ciência e Tecnologia A comunicação torna-se ainda mais perfeita, mais objetiva, se a questão envolver a definição da igualdade ou não de

Leia mais

Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza. josineys@inf.ufpr.br

Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza. josineys@inf.ufpr.br Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 3 (10/08/15) Aritmética de ponto flutuante Representação de ponto flutuante Normalização Binária Decimal Situações

Leia mais

Medidas e Incertezas

Medidas e Incertezas Medidas e Incertezas O que é medição? É o processo empírico e objetivo de designação de números a propriedades de objetos ou eventos do mundo real de forma a descreve-los. Outra forma de explicar este

Leia mais

Sistemas de Numeração. Introdução ao Computador 2010/1 Renan Manola

Sistemas de Numeração. Introdução ao Computador 2010/1 Renan Manola Sistemas de Numeração Introdução ao Computador 2010/1 Renan Manola Introdução Em sistemas digitais o sistema de numeração binário é o mais importante, já fora do mundo digital o sistema decimal é o mais

Leia mais

ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES MÓDULO 13

ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES MÓDULO 13 ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES MÓDULO 13 Índice 1. Circuitos Digitais - Continuação...3 1.1. Por que Binário?... 3 1.2. Conversão entre Bases... 3 2 1. CIRCUITOS DIGITAIS - CONTINUAÇÃO 1.1. POR QUE BINÁRIO?

Leia mais

Sistemas de Numerações.

Sistemas de Numerações. Matemática Profº: Carlos Roberto da Silva; Lourival Pereira Martins. Sistema de numeração: Binário, Octal, Decimal, Hexadecimal; Sistema de numeração: Conversões; Sistemas de Numerações. Nosso sistema

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Representação de Dados e Sistemas de Numeração

Representação de Dados e Sistemas de Numeração 1 Representação de Dados e Sistemas de Numeração Sistema de numeração decimal e números decimais (base 10) Sistema de numeração binário e números binários (base 2) Conversão entre binário e decimal Sistema

Leia mais

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Engenharia Disciplina de Lógica Computacional Aplicada. Prof. Dr.

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Engenharia Disciplina de Lógica Computacional Aplicada. Prof. Dr. Índice 1. SISTEMAS NUMÉRICOS 1.1 Caracterização dos Sistemas Numéricos 1.2 Sistemas Numéricos em uma Base B Qualquer 1.2.1 Sistema de Numeração Decimal 1.2.2. Sistema de Numeração Binário 1.2.3 Sistema

Leia mais

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte II) Universidade Federal de Campina Grande. Unidade Acadêmica de Sistemas e Computação

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte II) Universidade Federal de Campina Grande. Unidade Acadêmica de Sistemas e Computação Universidade Federal de Campina Grande Unidade Acadêmica de Sistemas e Computação Introdução à Computação A Informação e sua Representação (Parte II) Prof. a Joseana Macêdo Fechine Régis de Araújo joseana@computacao.ufcg.edu.br

Leia mais

Tópico 2. Conversão de Unidades e Notação Científica

Tópico 2. Conversão de Unidades e Notação Científica Tópico 2. Conversão de Unidades e Notação Científica Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é,

Leia mais

x As IyUPXODVGHGLIHUHQFLDomRQXPpULFD podem ser obtidas por: x

x As IyUPXODVGHGLIHUHQFLDomRQXPpULFD podem ser obtidas por: x &DStWXOR±'LIHUHQFLDomRH,QWHJUDomR1XPpULFDV > 'LIHUHQFLDomR 1XPpULFD Por vezes é necessário obterydoruhvgdvghulydgdvde uma função VHP UHFRUUHUjUHVSHFWLYDH[SUHVVmRDQDOtWLFD, por esta não ser conhecida ou

Leia mais

Erros. Cálculo Numérico

Erros. Cálculo Numérico Cálculo Numérico Erros Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br MATIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/ Erros - Roteiro Eistência Tipos

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum

Leia mais

4 Operações aritméticas em sistema de vírgula flutuante

4 Operações aritméticas em sistema de vírgula flutuante 77 4 Operações aritméticas em sistema de vírgula lutuante 4. Introdução É imediato reconhecer que, dados dois números, F, o resultado de qualquer das operações aritméticas +, -,, com esses números pode

Leia mais

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Computabilidade 2012/2013 Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Capítulo 1 Computabilidade 1.1 A noção de computabilidade Um processo de computação

Leia mais

Teoria dos Conjuntos. Prof Elizeu Junior

Teoria dos Conjuntos. Prof Elizeu Junior Teoria dos Conjuntos Prof Elizeu Junior Introdução A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA E CALCULADORA

MATEMÁTICA BÁSICA E CALCULADORA DISCIPLINA MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSOR SILTON JOSÉ DZIADZIO APOSTILA 01 MATEMÁTICA BÁSICA E CALCULADORA A matemática Financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do

Leia mais

Séries de Potências de x

Séries de Potências de x Séries de Potências de x As séries de potências de x são uma generalização da noção de polinómio. Definição: Chama-se série de potências de x com coeficientes a 0, a 1,, a n,, a qualquer série da forma

Leia mais

Organização e Arquitetura de Computadores. Aula 10 Ponto Flutuante Parte I. 2002 Juliana F. Camapum Wanderley

Organização e Arquitetura de Computadores. Aula 10 Ponto Flutuante Parte I. 2002 Juliana F. Camapum Wanderley Organização e Arquitetura de Computadores Aula 10 Ponto Flutuante Parte I 2002 Juliana F. Camapum Wanderley http://www.cic.unb.br/docentes/juliana/cursos/oac OAC Ponto Flutuante Parte I - 1 Panorama Números

Leia mais

Fração como porcentagem. Sexto Ano do Ensino Fundamental. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M.

Fração como porcentagem. Sexto Ano do Ensino Fundamental. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Material Teórico - Módulo de FRAÇÕES COMO PORCENTAGEM E PROBABILIDADE Fração como porcentagem Sexto Ano do Ensino Fundamental Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto

Leia mais

13 Números Reais - Tipo float

13 Números Reais - Tipo float 13 Números Reais - Tipo float Ronaldo F. Hashimoto e Carlos H. Morimoto Até omomentonoslimitamosaouso do tipo inteiro para variáveis e expressões aritméticas. Vamos introduzir agora o tipo real. Ao final

Leia mais

Sistemas Numéricos e a Representação Interna dos Dados no Computador

Sistemas Numéricos e a Representação Interna dos Dados no Computador Capítulo 2 Sistemas Numéricos e a Representação Interna dos Dados no Computador 2.0 Índice 2.1 Sistemas Numéricos 2 2.1.1 Sistema Binário 2 2.1.2 Sistema Octal 3 2.1.3 Sistema Hexadecimal 3 2.2 Operações

Leia mais

Introdução à Engenharia de

Introdução à Engenharia de Introdução à Engenharia de Computação Tópico: Sistemas de Numeração José Gonçalves - LPRM/DI/UFES Introdução à Engenharia de Computação Introdução O número é um conceito abstrato que representa a idéia

Leia mais

Matemática. Disciplina: CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS. Varginha Minas Gerais

Matemática. Disciplina: CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS. Varginha Minas Gerais CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Curso Pró-Técnico Disciplina: Matemática Texto Experimental 1 a Edição Antonio José Bento Bottion e Paulo Henrique Cruz Pereira Varginha Minas Gerais

Leia mais

Em um sistema de numeração de base b qualquer, um número positivo é representado pelo polinômio:

Em um sistema de numeração de base b qualquer, um número positivo é representado pelo polinômio: ELETRÔNICA DIGITAl I 1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO INTRODUÇÃO A base dos sistemas digitais são os circuitos de chaveamento (switching) nos quais o componente principal é o transistor que, sob o ponto de vista

Leia mais

Vamos exemplificar o conceito de sistema posicional. Seja o número 1303, representado na base 10, escrito da seguinte forma:

Vamos exemplificar o conceito de sistema posicional. Seja o número 1303, representado na base 10, escrito da seguinte forma: Nova bibliografia: Título: Organização e projeto de computadores a interface Hardware/Software. Autor: David A. Patterson & John L. Hennessy. Tradução: Nery Machado Filho. Editora: Morgan Kaufmmann Editora

Leia mais