Aritmética Computacional. Prof. Leonardo Barreto Campos 1

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1 Aritmética Computacional Prof. Leonardo Barreto Campos

2 Sumário Introdução; Representação de Números Inteiros; Aritmética de Números Inteiros; Representação de Números de Ponto Flutuante; Aritmética de Números de Ponto Flutuante; Bibliografia. Prof. Leonardo Barreto Campos 2/59

3 Introdução A CPU consiste de uma unidade de controle, dos registradores, da unidade lógica e aritmética, da unidade de execução de instruções e das interconexões entre esse componentes; Vejamos como funciona a unidade lógica e aritmética para implementar as operações aritméticas; Geralmente, os processadores implementam dois tipos de aritmética: de números inteiros ou ponto fixo e de ponto flutuante; Prof. Leonardo Barreto Campos 3/59

4 Introdução A ULA é a parte do computador que de fato executa as operações aritméticas e lógicas sobre os dados. Em suma, a ULA constitui a essência de um computador; A figura abaixo mostra, em termos gerais, como a ULA é conectada com o restante do processador: Prof. Leonardo Barreto Campos 4/59

5 Introdução Considerações: Os dados são fornecidos à ULA em registradores e os resultados de uma operação armazenados em registradores; A ULA pode ativar bits especiais (flags) para indicar o resultado de uma operação. Por exemplo, overflow. A unidade de controle fornece sinais para controlar a operação da ULA e a transferência de dados entre a ULA e os registradores; Prof. Leonardo Barreto Campos 5/59

6 Representação de Números Inteiros Existe diversas formas para representar um número inteiro no computador. Uma delas é através do sinalmagnitude; Em uma palavra de n bits, os n- bits mais à direita representam a magnitude do número inteiro + = - = Sinal Magnitude Prof. Leonardo Barreto Campos 6/59

7 Representação de Números Inteiros As desvantagens apresentadas pela representação de sinal-magnitude são: Duas representações para : + = - = Magnitude para operandos e operadores; Em conseqüência, o esquema mais utilizado é a representação em complemento de dois; Prof. Leonardo Barreto Campos 7/59

8 Representação de Números Inteiros Assim como a representação sinal-magnitude, a representação em complemento de dois usa o bit mais significativo como bit de sinal; Porém, os demais bits são interpretados de maneira diferente; Considere um inteiro A de n bits. Se A for positivo, então o bit de sinal, n a-, será igual a zero. O número zero é tratado como um número positivo; Faixa de números inteiros: a 2n- Prof. Leonardo Barreto Campos 8/59

9 Representação de Números Inteiros Se A é um número negativo (A < ), o bit de sinal, n a-, é. Vejamos a aplicação do complemento de 2 no inteiro positivo 4 ( 2 ), por exemplo: Inteiro original: (4 em decimal) Complemento de : (Inversão dos bits) + (Soma do bit ao Complemento de 2: complemento de ) Prof. Leonardo Barreto Campos 9/59

10 Representação de Números Inteiros A representação do complemento de dois pode ser visualizada geometricamente, vejamos: Prof. Leonardo Barreto Campos /59

11 Representação de Números Inteiros Vejamos a representação vetorial do complemento de dois: = = -2 Embora a representação em complemento de dois possa parecer pouco natural, ela torna mais simples a implementação das operações aritméticas mais importantes (adição e subtração); Prof. Leonardo Barreto Campos /59

12 Representação de Números Inteiros Vejamos a conversão entre representação de um número inteiro com n bits para sua representação com m bits, onde m > n; Notação sinal-magnitude: + = (8 bits) (6 bits) - = (8 bits) (6 bits) Notação complemento de dois: + = (8 bits) (6 bits) - = (8 bits) (6 bits) Prof. Leonardo Barreto Campos 2/59

13 Aritmética de Números Inteiros Vejamos a implementação das operações aritméticas mais comuns em números representados em complemento de dois: Negação Soma e Subtração Multiplicação Divisão Prof. Leonardo Barreto Campos 3/59

14 Aritmética de Números Inteiros Negação: Basta aplicar o complemento de 2 ao inteiro original; Inteiro original: (-4 em decimal) Complemento de : (Inversão dos bits) + (Soma do bit ao Complemento de 2: complemento de ) Prof. Leonardo Barreto Campos 4/59

15 Aritmética de Números Inteiros Casos especiais da negação: Overflow: Inteiro original: ( em decimal) Complemento de : (Inversão dos bits) Complemento de 2: (carry-in igual a - valor final = ) Ignorado + Prof. Leonardo Barreto Campos 5/59

16 Aritmética de Números Inteiros Casos especiais da negação: -28: Inteiro original: (-28 em decimal) Complemento de : (Inversão dos bits) Complemento de 2: ( -28 em decimal) + Anomalia que não pode ser evitada. Prof. Leonardo Barreto Campos 6/59

17 Aritmética de Números Inteiros Adição: Basta somar e quando ocorrer um vai-um para fora do bit mais significativo da palavra, que é ignorado. (-7) (-4) + (+5) + (+4) (-2) ( ) Overflow: Overflow sinalizado pela ULA para que o resultado não seja usado (+5) (-7) + (+4) + (-6) (Overflow) (Overflow) Prof. Leonardo Barreto Campos 7/59

18 Aritmética de Números Inteiros Subtração: para subtrair S M, pegue o complemento de dois de M e acrescente esse valor a S (S + (-M)). (+2) (+2) - (+7) + (-7) (-5) Overflow: Overflow sinalizado pela ULA para que o resultado não seja usado (-6) (-6) - (+4) + (-4) (Overflow) Prof. Leonardo Barreto Campos 8/59

19 Aritmética de Números Inteiros Vejamos os caminhos de dados e elementos de hardware necessários para efetuar a adição e a subtração: Prof. Leonardo Barreto Campos 9/59

20 Aritmética de Números Inteiros Considerações: Somador Binário (Meio-Somador): Elemento central que recebe dois números e produz a soma e uma indicação de overflow; Operandos: tratados como números inteiros sem sinal; Registradores: responsáveis por armazenar os operandos; Complemento de dois: usado para calcular o complemento de 2 sobre números negativos; Prof. Leonardo Barreto Campos 2/59

21 Aritmética de Números Inteiros Para a multiplicação, um grande número de algoritmos tem sido adotados em diversos computadores. Analisemos um problema mais simples de multiplicar, dois números inteiros sem sinal (não negativos); Multiplicando (4) X Multiplicador () Produtos Parciais Produto (4) Prof. Leonardo Barreto Campos 2/59

22 Aritmética de Números Inteiros A multiplicação pode ser feita direta e simples, mas pode ser melhorada nos seguintes aspectos: Armazenamento dos produtos parciais em um único registrador; Na multiplicação pelo bit, é necessário, apenas realizar uma operação de soma e um deslocamento; Na multiplicação pelo bit, é necessário, apenas o deslocamento. Vejamos uma solução que emprega a idéia acima. Multiplicação de números inteiros binários sem sinal; Prof. Leonardo Barreto Campos 22/59

23 Aritmética de Números Inteiros Registrador auxiliar (A), inicializado com Multiplicador e multiplicando são carregados em dois registradores (Q e M) Registrador C, de bit, inicializado com, que contém bit vai-um Prof. Leonardo Barreto Campos 23/59

24 Aritmética de Números Inteiros A lógica de controle lê os bits do multiplicador, um de cada vez. Se Q for : o multiplicador será adicionado ao registrador A e o resultado, armazenado nesse registrador; Prof. Leonardo Barreto Campos 24/59

25 Aritmética de Números Inteiros Então, todos os bits dos registradores C, A e Q são deslocados um bit para a direita (A n- = C; Q n- = A e Q eliminado) Se Q for : Nenhuma adição é efetuada, sendo feito apenas o deslocamento dos bits; Prof. Leonardo Barreto Campos 25/59

26 Aritmética de Números Inteiros Vejamos a aplicação da solução na multiplicação de 3 (Registrador Q) x (Registrador M) : Prof. Leonardo Barreto Campos 26/59

27 Aritmética de Números Inteiros Infelizmente, o esquema anterior não funciona para multiplicação com sinal, vejamos uma analogia: Multiplicando (4) X Multiplicador () Produto (4) Multiplicando (-2) X Multiplicador (-6) Produto (-6) Existem diversas soluções possíveis para esse e outros dilemas gerados na multiplicação com sinal. Um dos algoritmos mais usados é o de Booth; Prof. Leonardo Barreto Campos 27/59

28 Aritmética de Números Inteiros Como antes, multiplicador e multiplicando são armazenados nos registradores Q e M, respectivamente. O registrador de bit é posicionado logicamente à direita do bit menos significativo (Q ) do registrador Q e designado como Q - ; Prof. Leonardo Barreto Campos 28/59

29 Aritmética de Números Inteiros A e Q - são inicializados com zero. Ao analisar cada bit do multiplicador, o bit à sua direita Q - também é analisado; Se esse dois bits forem iguais (- ou -) Então todos os bits dos registradores A, Q e Q - são deslocados bit para a direita; Prof. Leonardo Barreto Campos 29/59

30 Aritmética de Números Inteiros Se esse dois bits forem diferentes: O multiplicando será somado () do registrador A; ou subtraído () do registrador A; Em seguida, ocorre o deslocamento de um bit para a direita, porém: O bit mais a esquerda de A (A n- ), é deslocado para A n-2 mas também permanece em A n- ; Prof. Leonardo Barreto Campos 3/59

31 Aritmética de Números Inteiros Vejamos do algoritmo de Booth na multiplicação de 3 (Registrador Q) x 7 (Registrador M) : Resultado armazenado nos registradores A e Q Prof. Leonardo Barreto Campos 3/59

32 Aritmética de Números Inteiros A divisão é um pouco mais complicada que a multiplicação, vejamos um simples exemplo de números binários sem sinal: Prof. Leonardo Barreto Campos 32/59

33 Aritmética de Números Inteiros Bits analisados, da esquerda para a direita, até o número de bits seja igual ou maior que o divisor. Quando esse número é encontrado é colocado no quociente. Caso contrário, coloca no quociente Divisor é subtraído do resto parcial até que todos os bits do dividendo seja tenham sido analisados. Prof. Leonardo Barreto Campos 33/59

34 Aritmética de Números Inteiros Vejamos um algoritmo de máquina para o processo de divisão usando o complemento de 2: Passo : Divisor, no registrador M; Dividendo, nos registradores A e Q; O dividendo dever ser expresso como um número em complemento de dois com 2n bits. Ex:, como ; Prof. Leonardo Barreto Campos 34/59

35 Aritmética de Números Inteiros Passo 2: Deslocar o conteúdo dos registradores A e Q, juntos, um bit para a esquerda; Passo 3: Se M e A têm o mesmo sinal, fazer A = A M; caso contrário, A = A + M; Passo 4: Se o sinal de A for o mesmo, antes e depois da operação, então, operação bem sucedida; Prof. Leonardo Barreto Campos 35/59

36 Aritmética de Números Inteiros Passo 4.a: Se a operação for bem-sucedida ou se (A = e Q = ), então faça Q = ; Passo 4.b: Se a operação não for bem sucedida e se (A = ou Q = ), então faça Q = e restaure o valor antigo de A (somando M a A) Passo 5: Repetir os passos 2 e 4 enquanto houver bits a examinar em Q; Prof. Leonardo Barreto Campos 36/59

37 Aritmética de Números Inteiros Passo 6: Ao final, o resto estará em A. Se o divisor e o dividendo tiverem o mesmo sinal, o quociente estará em Q; Caso contrário, o quociente correto é o complemente de dois no número armazenado em Q; Prof. Leonardo Barreto Campos 37/59

38 Aritmética de Números Inteiros Vejamos a aplicação do algoritmo em um exemplo: (7) (3) A Q M= Valor incial Deslocar Subtrair Restaurar Deslocar Subtrair Restaurar Deslocar Subtrair Fazer Q = Deslocar Subtrair Restaurar Prof. Leonardo Barreto Campos 38/59

39 Representação de Números de Ponto Flutuante A notação de ponto fixo não possibilita representar números muito grandes nem frações muito pequenas. Além disso, em uma divisão de dois úmeros muito grandes, a parte fracionárias do quociente pode ser perdida; Essas limitações são superadas com a representação de ponto flutuante; Prof. Leonardo Barreto Campos 39/59

40 Representação de Números de Ponto Flutuante Um número pode ser representado da seguinte forma: ±M x B ±E Onde: Sinal: mais ou menos Mantissa: M Expoente: E Base: B (Implícita e não precisa ser armazenada porque é a mesma para todos os número) Prof. Leonardo Barreto Campos 4/59

41 Representação de Números de Ponto Flutuante A figura abaixo mostra a representação de números binários de ponto flutuante: Expoente Polarizado. Um valor fixo é subtraído ao valor desse campo de 8 bits para se obter o verdadeiro valor do expoente 8 bits Mantissa. Armazena o número normalizado, ou seja, ±, bbb...b x 2 ±E 23 bits Sinal da Mantissa ( = Positivo; = Negativo) Prof. Leonardo Barreto Campos 4/59

42 Representação de Números de Ponto Flutuante Vejamos os exemplos a seguir:, x 2 = -, x 2 =, x 2 - = -, x 2 - = O sinal é armazenado no primeiro bit da palavra; O primeiro bit da mantissa é sempre q (após normalização); O valor 27 é adicionado ao expoente verdadeiro e armazenado no campo do expoente; A base é 2. Prof. Leonardo Barreto Campos 42/59

43 Representação de Números de Ponto Flutuante Na notação em complemento de dois, podem ser representados todos os números inteiros de -23 a 23- (total de 232 números distintos); No formato de ponto flutuante, números nas seguintes faixas podem ser representados: Número negativos entre ( 2-24 ) x 2 28 e -,5 x 2-27 Número positivos entre,5 x 2-27 e ( 2-24 ) x 2 28 Prof. Leonardo Barreto Campos 43/59

44 Representação de Números de Ponto Flutuante Vejamos a representação dos limites de representação na figura abaixo: Prof. Leonardo Barreto Campos 44/59

45 Representação de Números de Ponto Flutuante Cinco regiões na reta de números não estão incluídas nessas faixas: Overflow em número negativos: números negativos menores que ( 2-24 ) x 2 28 Underflow em números negativos: números negativos maiores que -,5 x 2-27 ; Zero. Underflow em números positivos: números positivos menores que -,5 x 2-27 ; Overflow em números positivos: números positivos maiores que ( 2-24 ) x 2 28 ; Prof. Leonardo Barreto Campos 45/59

46 Representação de Números de Ponto Flutuante A representação de ponto flutuante terá que prever um código especial para o (zero); Ocorre overflow quando a magnitude do resultado é maior que o maior valor que pode ser expresso com expoente igual a 28 (por exemplo, 2 2 x 2 = 2 22 ); Ocorre underflow quando a magnitude é muito pequena (por exemplo, 2-2 x 2 - = 2-22 ); Prof. Leonardo Barreto Campos 46/59

47 Representação de Números de Ponto Flutuante Analisemos também que os números não são distribuídos igualmente ao longo da reta de números: Maior quantidade de valores representáveis próximo à origem; Quantidade diminui com a distância à origem; Se aumentarmos o número de bits do expoente, expandimos a faixa de valores representáveis. Porém teremos uma menor precisão; Os cálculos em ponto flutuante, tendem a serem arredondados para os valores mais próximos que a notação possibilitar; Prof. Leonardo Barreto Campos 47/59

48 Padrão IEEE para representação de números binários de ponto flutuante A mais importante representação de ponto flutuante é definida no padrão IEE 754 de 985; Sinal O padrão define um formato simples de 32 bits e um formato duplo de 64 bits com expoentes de 8 e bits respectivamente; Expoente Polarizado. Mantissa. bits 52 bits Diminui overflow em operações intermediárias; Diminui erros por arredondamento; Prof. Leonardo Barreto Campos 48/59

49 Padrão IEEE para representação de números binários de ponto flutuante Alguns bits e combinações de bits são interpretado s de forma especial no formato IEEE, vejamos a tabela: Prof. Leonardo Barreto Campos 49/59

50 Padrão IEEE para representação de números binários de ponto flutuante Considerações: O expoente junto com uma fração representa ; Expoente totalmente preenchido com uns junto com uma fração igual a zero representa infinito, positivo ou negativo, (dependo do bit de sinal). Expoente junto com uma fração diferente de representa um número não-normalizado; Um expoente totalmente com uns junto com uma fração diferente de zero representa o valor NaN (Not a Number). Prof. Leonardo Barreto Campos 5/59

51 Aritmética de Números de Ponto Flutuante Na aritmética de ponto flutuante, a adição e a subtração são operações mais complexas que a multiplicação e a divisão; Isso ocorre devido à necessidade de alinhar os operandos, tornando-os iguais. O algoritmo tem as seguintes fases: Verificar se algum operando é zero; Alinhas as mantissas; Adicionar ou subtrair as mantissas; Normalizar o resultado. Prof. Leonardo Barreto Campos 5/59

52 Aritmética de Números de Ponto Flutuante (987 x ) + (654 x -2 ) = (987 x ) + (6,54 x ) = 6454,98x Em caso de subtração, mudar o sinal do subtraendo; Iguala os expoentes e desloca os bits para efetuar a soma (alinhamento dos números, por exemplo: 6+7); Soma as duas mantissas Normaliza o resultado. A normalização consiste em deslocar os dígitos da mantissa para a esquerda, até que o dígito mais significativo seja diferente de ; Resultado ainda pode ser arredondado; Prof. Leonardo Barreto Campos 52/59

53 Aritmética de Números de Ponto Flutuante Prof. Leonardo Barreto Campos 53/59

54 Aritmética de Números de Ponto Flutuante A multiplicação é mais simples do que a adição e a subtração: Considerações: Caso um dos operadores é, o resultados será. Soma-se os expoentes. Se eles forem armazenados na forma polarizada, a soma dobrará a polarização; Portanto, o valor da polarização deve ser subtraído da soma dos expoentes; Se o expoente do produto estiver dentro da faixa de números representáveis, as mantissas devem ser multiplicadas (mesma forma dos números inteiros), levando em conta seus sinais; Prof. Leonardo Barreto Campos 54/59

55 Aritmética de Números de Ponto Flutuante Vejamos o fluxograma da multiplicação de números de ponto flutuante: z = x. y Prof. Leonardo Barreto Campos 55/59

56 Aritmética de Números de Ponto Flutuante Vejamos os passos para efetuarmos uma divisão bem sucedida com ponto flutuante: Caso o divisor seja, erro ou representação de infinito; Dividendo, resultado ; Caso não ocorra nenhum desses casos, o expoente do divisor será subtraído do expoente do dividendo; Em seguida, são efetuados testes de overflow e underflow no expoente; O passo seguinte é dividir as mantissas; Por fim a normalização e o arredondamento; Prof. Leonardo Barreto Campos 56/59

57 Aritmética de Números de Ponto Flutuante Diversas técnicas para arredondamento foram exploradas, De fato, o padrão IEEE relaciona quatro abordagens alternativas: Arredondamento para o mais próximo: arredondado para o número representável mais próximo; Arredondamento para cima (+ ): arredondado na direção do infinito positivo; Arredondamento para baixo (- ): arredondado na direção do infinito negativo; Arredondamento para : arredondado na direção de zero; Prof. Leonardo Barreto Campos 57/59

58 Aritmética de Números de Ponto Flutuante O padrão IEEE traz também procedimentos específicos para que a aritmética de pnto produza resultados uniformes, previsíveis e independente de plataformas: Infinito: 5 + (+ ) = + 5 (- ) = - 5. (- ) = - NaN silencioso e NaN sinalizador: se propaga sem gerar exceção e gera exceção de operação inválida, respectivamente Números não-normalizados: trata casos de underflow de expoente; Prof. Leonardo Barreto Campos 58/59

59 Bibliografia Stallings, W. Arquitetura e Organização de Computadores, Pearson Hall, 5 ed. SP: 22. Prof. Leonardo Barreto Campos 59/59