Vírgula flutuante Aula 6
|
|
- Pedro Henrique Natal Fagundes
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Vírgula flutuante Aula 6 17 de Março de
2 Estrutura desta aula Números em vírgula flutuante Formatos dos números em vírgula fixa e em vírgula flutuante A norma IEEE 754 Normalizações, expoentes, zeros e infinitos, e valores especiais Denormals Operações fundamentais em vírgula flutuante Ref: Hennessy & Patterson, H.3 Ref: Patterson & Hennessy (bibliografia suplementar), de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
3 Números em vírgula flutuante Porque não usar inteiros maiores (com mais bits)? Porque não números com 128 bits? Ou 256 bits? Necessária demasiada memória (em número de bits) e hardware (em número de portas lógicas) para implementar as operações aritméticas, mesmo as mais simples como a adição Outros problemas Não conseguimos representar fracções: ½, ¼, 1/8, 45/78 Ou números reais aproximados: 0, Ou números muito grandes: 1,234 x Ou números muito próximos do 0: 1,234 x de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
4 Porque não mudar a vírgula? Podemos escrever fracções em vírgula fixa Nos exemplos acima movemos a vírgula para o meio do número Os números em vírgula fixa comportam-se como números inteiros A vírgula está sempre num lugar fixo Um inteiro é um número em vírgula fixa com fracção reduzida a 0 bits Porém algo passa a suceder na aritmética 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
5 Aritmética em vírgula fixa A aritmética em vírgula fixa é parecida (mas não igual) à aritmética inteira Primeiro coloca-se a vírgula no resultado, e em seguida arredonda-se o resultado. Deve caber em bits 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
6 Vírgula flutuante: o que é? (1) VF é exactamente o que o nome sugere: A vírgula não vem fixada na representação binária do número Aritmética finita para representar um número infinito de números reais? Suponhamos que temos números com 32 bits Temos mais de 4 mil milhões de padrões binários para codificar todos os números reais com que pretendemos trabalhar Quais os que números que vamos poder representar? E quais os que não vamos poder representar? Existem muitas opções 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
7 Vírgula flutuante: o que é? (2) 4 partes fundamentais num número em vírgula flutuante Semelhante à notação científica Sinal do número - 1,234 x O expoente da base. É com o expoente que conseguimos representar números muito grandes e muito pequenos Vários dígitos significativos. O número de dígitos correctos determina a precisão do número. Normalmente designada por fracção (ou mantissa) Base implícita, em geral 2. Implícita porque não guardamos o 2 em memória. 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
8 Vírgula flutuante: o que é? (3) 4 questões chave no formato de vírgula fixa Como representar o sinal do número? Como representar a fracção (mantissa)? Como representar o expoente? Quantos bits em cada uma das 4 partes? No início foi o caos Cada computador tinha o seu formato de VF, com problemas específicos Virtualmente impossível escrever código portável, ou garantir as propriedades numéricas de uma computação sensível e necessitada de um elevado número de cálculos em VF (previsão do tempo, explosão nuclear, ) 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
9 A norma IEEE 754 para a VF Desenvolvida ~ 1980 para padronizar a aritmética em VF, torná-la portável entre diversos processadores, e maximizar a qualidade numérica dos números e resultados de operações Numa SparcStation, por exemplo, um número em VF com 32 bits tem o seguinte aspecto Bit #: Sinal S Expoente e Fracção ou mantissa f e a interpretação numérica é (-1) S x (1,f) x 2 (e-127) 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
10 Formato básico (1) O sinal S É o sinal do número: 0 = pos, 1=neg. A fracção f É um número binário com a vírgula colocada imediatamente à esquerda do seu bit mais significativo A fracção NÃO está em complemento para 2 (ou em qualquer outra notação) É apenas um número fraccionário positivo 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
11 Formato básico (2) Exemplo de fracção Bit #: Fracção ou mantissa f f = 0, x2-1 +1x2-2 +0x2-3 +1x x x2-23 = 1/4 + 1/16 + 1/ = 0, de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
12 Formato básico (3) Sobre a fracção É uma fracção, logo MENOR do que 1 Não tem sinal, apenas um número binário com vírgula à esquerda Conceito novo: Normalização O número em VF que f cria é (-1) S x (1,f) x 2 (e - 127) (1,f) é uma forma abreviada de (1 + f) Porquê o 1 em (1,f)? Em todos os formatos de VF, a fracção é normalizada, o que quer dizer que o número vem modificado por forma a que cada número REAL tenha UMA e APENAS UMA representação em VF Precisamos de exemplos 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
13 Normalização (1) Consideremos um formato simplificado em VF (e mais manejável): fracção com 3 bits, para já o expoente é um inteiro e O format é: S f1 f2 f3 expoente e O número é (-1) S x 0,f1 f2 f3 x 2 (expoente e) Quero representar o número real +2 Por (-1) 0 x 0,1 0 0 x 2 (e = 2) = + 1/2 x 4 = + 2? Por (-1) 0 x 0,0 1 0 x 2 (e = 3) = + 1/4 x 8 = + 2? Por (-1) 0 x 0,0 0 1 x 2 (e = 4) = + 1/8 x 16 = + 2? Múltiplas representações do +2 não são aceitáveis 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
14 Normalização (2) Porque é que esta solução não é viável? Apenas existe um número finito de padrões binários para representar todos os reais, já que são limitadas as dimensões da fracção e do expoente Se deixarmos que um único valor (por exemplo, o número 2) seja representado de muitas formas diferentes, então apenas conseguimos representar um número bastante reduzido de números reais diferentes Como resolver o problema? Precisamos de uma representação canónica Solução possível: a fracção começa sempre com um 1 Não é a solução preconizada pela IEEE (ver à frente) 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
15 Normalização (3) Para o número real +2 (-1) 0 x 0,1 0 0 x 2 (e = 2) = + 1/2 x 4 OK, normalizada (-1) 0 x 0,0 1 0 x 2 (e = 3) = + 1/4 x 8 Not OK (-1) 0 x 0,0 0 1 x 2 (e = 4) = + 1/8 x 16 Not OK Consequência Admitir que os operandos necessários à execução de uma operação em VF já estão normalizados O hardware deve assegurar-se que o resultado da operação em VF também vem normalizado Aqui temos um problema; precisamos de hardware extra, e não é fácil de implementar 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
16 Normalização na IEEE 754 (1) Porque é que a norma IEEE afirma que o número é da forma (1+f)? Se normalizarmos uma fracção binária, 0,f1 f2 f3 f4 fn, estamos a insistir que temos sempre f1=1 (Bem, quase sempre. Se f == 0, então a fracção vem na forma Para já, apenas este caso é excepção) Ou seja, se normalizarmos um número, sabemos que ele é da forma 0,1 f2 f3 f4 fn 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
17 Normalização na IEEE 754 (2) Para quê representar esse 1 se já sabemos que é um 1? Em vez de usarmos 0,1 f2 f3 f4 fn para um número normalizado, usamos 1,f2 f3 f4 fn Não interessa para onde vai a vírgula. Pode estar na extremidade esquerda da representação, ou pode estar depois do primeiro bit. Mas tem que estar sempre no mesmo sítio No formato IEEE, o 1 é implícito (não é, na realidade, guardado na palavra) Como só se guardam os bits seguintes, temos mais um bit de precisão Em vez de 0,f1 f2 f3 fn fazemos 1,f2 f3 f4 fn, que tem mais um bit 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
18 Normalização na IEEE 754 (3) Terminologia especial Fracção f: 23 bits dos 32 bits de um número VF com precisão simples na IEEE Unpacking: processo pelo qual se retira f da representação do número, e se forma (1,f) Implícito: nome para o bit a 1 que se acrescenta à esquerda da vírgula Significanda: novo nome para o conjunto (1,f) Bit #: Implícito, não guardado A fracção f, com 23 bits, está unpacked para formar a SIGNIFICANDA com 24 bits 1,f1 f2 f3... f23 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
19 De volta ao formato básico OK, agora entendemos o bit S de sinal e os bits da fracção f Bit #: Bit de sinal (-1) S 1,f1 f2 f3... f23 Bit #: de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
20 Formato básico: expoentes Como funciona o expoente? Porquê a parte (e - 127)? Bit #: Sinal (-1) S Expoente e com 8 bits fica 2 (e-127) 1,f1 f2 f3... f23 Ao 127 dá-se a designação de bias (desvio) do expoente Podemos codificar expoentes negativos ou positivos com o bias O campo e é um inteiro de 8 bits (não é um número sem sinal, nem em compl. para 2, nem em compl. para 1, nem em sinal e módulo) É biased uma representação diferente, escolhida por uma razão específica 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
21 Expoentes (1) Outro exemplo simplificado: expoente com 3 bits e2 e1 e0 Se #bits = 3, então o desvio de que precisamos é 2(3-1) - 1 = 3. Assim sendo, o nosso número será (-1) S x (1,f) x 2 (e-3) Apenas existem 8 padrões binários para o expoente: e2 e1 e0 signif. expoente = = = = = = = = 4 Não é simétrico. Mais um positivo do que negativos Bits e2 e1 e0 ordenados da mesma forma que usaríamos para um expoente real com sinal 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
22 Expoentes (2) O ordenados da mesma forma é a razão porque usamos um expoente desviado ( biased ) Consideremos um formato simplificado, com 1 bit de sinal, 3 bits para f, 3 bits para e: [s0 e2 e1 e0 f1 f2 f3] Consideremos 2 números: [ ] = +0,110 x 2 (1-3) = +(1/2+1/4) x 2-2 = +0,1875 [ ] = +0,110 x 2 (5-3) = +(1/2+1/4) x 2 2 = +3 Se compararmos apenas os padrões binários [ ] e [ ] como se fossem inteiros sem sinal, podemos concluir sobre os valores relativos dos números Ex: < considerados como inteiros sem sinal. Mas também +0,1875 < +3 A comparação de dois números em VF vem simplificada 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
23 Porque não funciona com o compl. para 2 Exemplo Usando o formato simplificado, a interpretação dos expoentes se fosse em complemento para 2: +0,1875 = +(1/2 + 1/4) x 2-2 = [ ] +3 = +(1/2 + 1/4) x 2 2 = [ ] > mas +1,875 < de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
24 Formatos específicos da IEEE 754 O formato IEEE acrescenta algumas peculiariedades Reserva 2 padrões binários do expoente e usa-os para fins especiais e7 e6 e5 e4 e3 e2 e1 e0 (e-127) significado = Emin = Emin = Emax = Emax+1 Padrão especial: tudo a 0 s Padrões de expoente que podem ser utilizados para representar um número real. Emin=-126, Emax=+127 Padrão especial: tudo a 1 s 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
25 Interpret. de um número na IEEE Nem todos os padrões geram números reais 3 casos para o expoente e, baseados em Emin= -126, Emax=+127 e = Emin-1 significa e = -127 Emin<=e<=Emax, ou seja, e no intervalo [-126, +127] e = Emax+1 significa e = casos para a fracção f: f = 0 (todos os 23 bits a 0) f!= 0 O bit de sinal não tem função nenhuma em particular, apenas designa o sinal do número em VF Vamos construir uma matriz com todos os casos No início parece complexo, mas faz sentido 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
26 Matriz de interpretação (1) 3 para o expoente, 2 para a fracção = 6 possibilidades f= f!= =xxxx... xx e= E=Emin-1= =-127 e=xxxxxxxx no intervalo [-126,+127] Sinal S=0 + 0 Sinal S=1-0 Ordinary num (-1) S x (1,f) x 2 (e-127) Denormalized numbers e= E=Emax+1= =+128 Sinal S=0 + Sinal S=1 - Not a Number NAN 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
27 Matriz de interpretação (2) Se expoente diferente de ou , então é um número ordinário em VF f!= f= =xxxx... xx e= E=Emin-1= =-127 e=xxxxxxxx no intervalo [-126,+127] Sinal S=0 + 0 Sinal S=1-0 Ordinary num (-1) S x (1,f) x 2 (e-127) Denormalized numbers e= E=Emax+1= =+128 Sinal S=0 + Sinal S=1 - Not a Number NAN 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
28 Zeros e infinitos e = 0, f = 0 significa número = 0. São permitidos +0, -0 e= , f=0 significa núm =. São permit. +, - f= f!= =xxxx... xx e= E=Emin-1= =-127 e=xxxxxxxx no intervalo [-126,+127] Sinal S=0 + 0 Sinal S=1-0 Ordinary num (-1) S x (1,f) x 2 (e-127) Denormalized numbers e= E=Emax+1= =+128 Sinal S=0 + Sinal S=1 - Not a Number NAN 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
29 Infinitos (1) Porquê os padrões especiais? Num sistema de numeração com um número de bits finito, podemos ter números com módulos demasiado grandes para os conseguirmos representar com o número de bits disponível Exemplo: com uma fracção f com 3 bits e um expoente e com 3 bits, o maior módulo (finito) é: (1,111) x 2 (6-3) = (1,875) x 2 3 = 15 Lembrar que o expoente e=111 é especial, reservado para os INFINITOS; é por isso que o expoente do número acima é e= de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
30 Infinitos (2) O que acontece se somarmos 1 ao número com o maior módulo? Já não temos padrões binários para representar o resultado! Faltam bits! Provocamos OVERFLOW na operação de adição em VF, porque o número que queremos é demasiado grande Porém, na aritmética da norma IEEE coloca-se o resultado em + ou - e continua-se! + = (1.000) x 2 (7-3) = (1.000) x 2 4 = 16 (!) 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
31 Zeros Um padrão todo com 0s significa o número +0 Mas o que realmente significa é (-1) 0 x (1.0) x 2 (0-127)! Bom para testar o 0 f!= f= =xxxx... xx e= E=Emin-1= =-127 e=xxxxxxxx no intervalo [-126,+127] Sinal S=0 + 0 Sinal S=1-0 Ordinary num (-1) S x (1,f) x 2 (e-127) Denormalized numbers e= E=Emax+1= =+128 Sinal S=0 + Sinal S=1 - Not a Number NAN 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
32 NaN: Not a Number (1) Alguns resultados de operações não fazem sentido (não são reais) Estes resultados não são um número, são NaN Exemplo: /0, ( - ), (-1) 1/2 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
33 NaN: Not a Number (2) f= f!= =xxxx... xx e= E=Emin-1= =-127 e=xxxxxxxx no intervalo [-126,+127] Sinal S=0 + 0 Sinal S=1-0 Ordinary num (-1) S x (1,f) x 2 (e-127) Denormalized numbers e= E=Emax+1= =+128 Sinal S=0 + Sinal S=1 - Not a Number NAN 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
34 NaN: Not a Number (3) NaN A regra básica é simples: se um dos operandos numa operação fundamental (add, sub, mult, div) é um NaN, então o resultado também é um NaN Notas Note-se que o padrão com os 32 bits todos a 1 é um NaN. Fácil de lembrar Note-se que o padrão com os 32 bits todos a 0 é um ZERO. Também é fácil de lembrar Os INFINITOS são mais complicados: e= tudo 1s, f= tudo 0s, o bit de sinal importa 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
35 Denormals (1) Uma outra categoria de números (a última): os denormals ou denormalized numbers Não são normalizados como todos os outros números Permitem a representação de números mais pequenos com precisão menor 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
36 Denormals (2) f= f!= =xxxx... xx e= E=Emin-1= =-127 e=xxxxxxxx no intervalo [-126,+127] Sinal S=0 + 0 Sinal S=1-0 Ordinary num (-1) S x (1,f) x 2 (e-127) Denormalized numbers e= E=Emax+1= =+128 Sinal S=0 + Sinal S=1 - Not a Number NAN 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
37 Denormals (3) Qual é o número em VF na norma IEEE 754 com o menor módulo? Bit #: O menor expoente legal é que é igual a O menor valor legal para f é f= Significanda unpacked é 1,0 2 (1-127) = 2 (-126) Logo, o menor número normalizado e legal é 1,0 x 2 (-126) 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
38 Próxima aula Principais características dos processadores RISC Estrutura de um processador (MIPS) sem pipeline, de ciclo único O datapath ou circuito de dados A unidade de controlo 17 de Março de 2005 Arquitectura de Computadores 2004/ Aula 6
Representações de caracteres
Representações de caracteres Sistemas de Numeração A necessidade de contar é algo que acompanha o ser humano desde tempos imemoriais. Sistemas de Numeração Usando o polegar para indicar em cada dedo a
Leia maisAritmética Computacional. Prof. Leonardo Barreto Campos 1
Aritmética Computacional Prof. Leonardo Barreto Campos Sumário Introdução; Representação de Números Inteiros; Aritmética de Números Inteiros; Representação de Números de Ponto Flutuante; Aritmética de
Leia mais12 de Março de 2007 1. Aula 5
12 de Março de 2007 1 Multiplicação e divisão inteiras Aula 5 Estrutura desta aula Multiplicação básica Multiplicações melhoradas Multiplicação em complemento para 2 Algoritmo de Booth Divisão básica Ref:
Leia maisUNIMINAS. 101.. Só é necessário o armazenamento de: Sinal da mantissa: - (menos). Valor da mantissa: 00110101. Sinal do expoente: -(na realidade, háh
Representação em Ponto Flutuante Utiliza-se a representação científica normalizada: 2500 = 2,5 x 10 3 0,00009 = 9,0 x 10-5. Mantissa: 1 =< M < 2. Na realidade, trabalha-se na base 2: -1,00110101 x 2-1012
Leia maisArquitetura de Computadores I
Arquitetura de Computadores I Aritmética Computacional - Ponto Flutuante - Edson Moreno edson.moreno@pucrs.br http://www.inf.pucrs.br/~emoreno Slides baseados nas lâminas dos profs Ney Calazans e Fernando
Leia maisSistemas de Vírgula Flutuante
Luiz C. G. Lopes Departamento de Matemática e Engenharias Universidade da Madeira MAT 2 05 2007/08 Definição. Diz-se que um número real x R\{0} é um número de vírgula flutuante normalizado se forem verificadas
Leia maisflutuante 11. Aritmética de vírgula Operações em números fraccionários
11. Aritmética de vírgula flutuante Vamos falar de aritmética não-inteira (i.e., fraccionária, ou de vírgula flutuante ). Este capítulo pode ser adiado pois precisas de conceitos teóricos importantes sobre
Leia maisCircuitos Aritméticos
Circuitos Aritméticos Semi-Somador Quando queremos proceder à realização de uma soma em binário, utilizamos várias somas de dois bits para poderemos chegar ao resultado final da operação. Podemos, então,
Leia maisnúmeros decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo
A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos
Leia maisEA960 Aritmética e Representação Numérica
EA960 Aritmética e Representação Numérica Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (FEEC) Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) Prof. Levy Boccato Introdução Até o momento, nos preocupamos
Leia maisnúmeros decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo
A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos
Leia maisMódulos Combinatórios
Arquitectura de Computadores I Engenharia Informática (11537) Tecnologias e Sistemas de Informação (6616) Módulos Combinatórios Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 1 Somadores
Leia maisCapítulo 6. Aritmética Computacional. 6.1 Números com Sinal e Números sem Sinal
61 Capítulo 6 Aritmética Computacional As palavras de um computador são compostas por bits e podem representar números armazenados na memória. Estes números podem ter diferentes significados, como inteiros
Leia mais1 Teoria de conjuntos e lógica
1 Teoria de conjuntos e lógica Estes breves apontamentos dizem respeito à parte do programa dedicada à teoria de conjuntos e à lógica matemática. Embora concebidos sem grandes formalismos e com poucas
Leia maisNúmeros escritos em notação científica
Notação Científica Números escritos em notação científica Escrever um número em notação científica tem muitas vantagens: Para números muito grandes ou muito pequenos poderem ser escritos de forma abreviada.
Leia maisRevisão de conceitos. Grandezas Algarismos significativos Unidades de medida
Revisão de conceitos Grandezas Algarismos significativos Unidades de medida Grandezas Físicas Define-se grandeza como tudo aquilo que pode ser comparado com um padrão por meio de uma medição. Exemplo:
Leia maisArquitetura de Computadores II MIPS64. Prof. Gabriel P. Silva
Arquitetura de Computadores II MIPS64 Prof. Gabriel P. Silva C:=A+B: Tipos de Arquitetura MIPS64 Arquitetura do tipo Load/Store 32 registradores de uso geral de 64 bits. 32 registradores de ponto flutuante
Leia maisCapítulo VI Circuitos Aritméticos
Capítulo VI Circuitos Aritméticos Introdução No capítulo anterior estudamos a soma e subtração de números binários. Neste capítulo estudaremos como as operações aritméticas de soma e subtração entre números
Leia maisOBSERVAÇÕES: EXERCÍCIOS
OBSERVAÇÕES: 1. Esta lista de exercícios poderá ser resolvida individualmente ou em grupos de 2 pessoas. 2. A lista possui 25 exercícios, destes você deve responder os 5 primeiros exercícios e os outros
Leia maisCAPÍTULO 2 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E CÓDIGOS
CAPÍTULO 2 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E CÓDIGOS Código BCD; Comparação entre BCD e Binário; Circuitos Digitais para BCD; Código Gray; Código ASCII; Detecção de erros pelo método de Paridade O que é um Código?
Leia maisSistemas Numéricos. Tiago Alves de Oliveira
Sistemas Numéricos Tiago Alves de Oliveira Sumário Sistemas Numéricos Binário Octal Hexadecimal Operações aritméticas binária e hexadecimal Operações lógicas binárias e decimais Representação Interna de
Leia maisSOLUÇÕES N2 2015. item a) O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2.
Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2015 Nível 1 1 SOLUÇÕES N2 2015 N2Q1 Solução O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2. Com um
Leia maisCircuitos Lógicos Aula 3
Circuitos Lógicos Aula 3 Aula passada Apresentação Logística Sistemas digitais Aula de hoje Sistemas analógicos e digitais Representação binária Sinais digitais Circuito Representação Numérica Como medir
Leia maisLinguagens de Programação:
Capítulo I : Noções Gerais 11 Linguagens de Programação: Como comunicar com o computador? Linguagem Máquina: Conjunto básico de instruções, em código binário, características de cada computador, correspondentes
Leia mais=...= 1,0 = 1,00 = 1,000...
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS EXATOS Os números decimais exatos correspondem a frações decimais. Por exemplo, o número 1,27 corresponde à fração127/100. 127 = 1,27 100 onde 1 representa a parte inteira
Leia maisCircuitos Lógicos Capítulo 2 Sistema de Numeração e Códigos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL REI Circuitos Lógicos Capítulo 2 Sistema de Numeração e Códigos Prof. Davidson Lafitte Firmo http://www.ppgel.net.br/davidson davidson@ufsj.edu.br São João Del Rei,
Leia maisAritmética Computacional (Ponto Flutuante) Capítulo 4
Aritmética Computacional (Ponto Flutuante) Capítulo 4 Ch4 1 Ponto Flutuante Objetivos: representação de números não inteiros aumentar a capacidade de representação (maiores ou menores) Formato padronizado
Leia maisMatrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina.
e Aula Zero - Álgebra Linear Professor: Juliano de Bem Francisco Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina agosto de 2011 Outline e e Part I - Definição: e Consideremos o conjunto
Leia maisArquitetura TCP/IP. Apresentado por: Ricardo Quintão
Arquitetura TCP/IP Apresentado por: Ricardo Quintão Roteiro Conexões Inter-redes Serviço Universal Rede Virtual (inter-rede ou internet) Protocolos para ligação inter-redes (TCP/IP) Divisão em camadas
Leia maisUNIPAC Araguari FACAE - Faculdade de Ciências Administrativas e Exatas SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
UNIPAC Araguari FACAE - Faculdade de Ciências Administrativas e Exatas SISTEMAS DE INFORMAÇÃO SAD Sistemas de Apoio à Decisão 2011/02 Aula Cinco crishamawaki@yahoo.com.br Modelos de decisão Sistemas de
Leia maisAula 01 Introdução Custo de um algoritmo, Funções de complexidad e Recursão
MC3305 Algoritmos e Estruturas de Dados II Aula 01 Introdução Custo de um algoritmo, Funções de complexidad e Recursão Prof. Jesús P. Mena-Chalco jesus.mena@ufabc.edu.br 2Q-2015 1 Custo de um algoritmo
Leia maisConstrução de uma via de dados, abordagem monociclo, multiciclo e pipeline
INSTITUTO FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DIRETORIA ACADÊMICA DE GESTÃO E TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM REDES DE COMPUTADORES DISCIPLINA: ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES Construção
Leia maisSeqüências. George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE
Seqüências George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE Introdução Uma seqüência é uma estrutura discreta usada para representar listas ordenadas. Definição 1 Uma seqüência é uma função de um subconjunto
Leia mais. (A verificação é imediata.)
1 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado novembro/2010 Instabilidade em Sistemas de Equações Lineares Marisa Ortegoza
Leia maisDetecção de erros de comunicação de dados CRC
FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Detecção de erros de comunicação de dados CRC Rui Barbosa 12/04/2011 Í NDI CE 1. Introdução... 4 2. Cyclic Redundancy Check... 5 2.1. Fundamentos Teóricos...
Leia maishttp://www.ic.uff.br/~boeres/fac.html! Conteúdos: Debora, Edcarllos, livros! slides disponíveis!
http://www.ic.uff.br/~boeres/fac.html! 1 Conteúdos: Debora, Edcarllos, livros! slides disponíveis! Unidade central de Processamento realiza operações básicas codificadas em 0s e 1s instrução contém código
Leia maisSistemas Digitais II. Interface com o mundo analógico. Prof. Marlon Henrique Teixeira Abril/2014
Sistemas Digitais II Interface com o mundo analógico Prof. Marlon Henrique Teixeira Abril/2014 Objetivos Compreender a teoria de funcionamento e as limitações dos circuitos de diversos tipos de conversores
Leia mais1.2. Grandezas Fundamentais e Sistemas de Unidades
CAPÍTULO 1 Grandezas, Unidades e Dimensões 1.1. Medidas Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo, ou particularidade de um fenómeno, susceptível de ser medida, i.e. à qual se pode atribuir um
Leia maisLista de Exercícios Critérios de Divisibilidade
Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 10 - Critérios de - (parte 1 de 2) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=1f1qlke27me Gabaritos nas últimas
Leia maisFundamentos de Arquitetura e Organização de Computadores
Fundamentos de Arquitetura e Organização de Computadores Dois conceitos fundamentais no estudo dos sistemas de computação são o de Arquitetura e Organização de computadores. O termo arquitetura refere-se
Leia maisDeterminantes. Matemática Prof. Mauricio José
Determinantes Matemática Prof. Mauricio José Determinantes Definição e Conceito Matriz de ordem 1 Dizemos que um determinante é um resultado (numérico) de operações que são realizadas em uma matriz quadrada.
Leia maisErros e Incertezas. Rafael Alves Batista Instituto de Física Gleb Wataghin Universidade Estadual de Campinas (Dated: 10 de Julho de 2011.
Rafael Alves Batista Instituto de Física Gleb Wataghin Universidade Estadual de Campinas (Dated: 10 de Julho de 2011.) I. INTRODUÇÃO Quando se faz um experimento, deseja-se comparar o resultado obtido
Leia maisProgramação Linear - Parte 4
Mestrado em Modelagem e Otimização - CAC/UFG Programação Linear - Parte 4 Profs. Thiago Alves de Queiroz Muris Lage Júnior 1/2014 Thiago Queiroz (DM) Parte 4 1/2014 1 / 18 Solução Inicial O método simplex
Leia maisÁrvores de Decisão Matemática Discreta
Bruno Duarte Eduardo Germano Isolino Ferreira Vagner Gon Árvores de Decisão Matemática Discreta 28/04/2011 Serra IFES Definição de Árvores de Decisão: Arvore de Decisão é uma árvore em que seus nós internos
Leia maisUsando potências de 10
Usando potências de 10 A UUL AL A Nesta aula, vamos ver que todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10. Por exemplo, vamos aprender que o número 15 pode ser escrito como 10 1,176.
Leia maisPOTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO E LOGARITMAÇÂO NOS NÚMEROS REAIS. Potenciação 1
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO E LOGARITMAÇÂO NOS NÚMEROS REAIS Potenciação 1 Neste texto, ao classificarmos diferentes casos de potenciação, vamos sempre supor que a base e o expoente sejam não nulos, pois já
Leia maisOrientação a Objetos
Orientação a Objetos 1. Manipulando Atributos Podemos alterar ou acessar os valores guardados nos atributos de um objeto se tivermos a referência a esse objeto. Os atributos são acessados pelo nome. No
Leia maisCapítulo 2. Representação de números em vírgula flutuante
Capítulo 2 Representação de números em vírgula flutuante Adaptado dos transparentes das autoras do livro The Essentials of Computer Organization and Architecture Números inteiros Os computadores foram
Leia maisNúmeros inteiros Z ± 7º Ano / 2013
Números inteiros Z ± 7º Ano / 2013 Sobre a origem dos sinais A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número.
Leia maisAlgoritmos e Programação : Conceitos e estruturas básicas. Hudson Victoria Diniz
Algoritmos e Programação : Conceitos e estruturas básicas Hudson Victoria Diniz Relembrando... Um algoritmo é formalmente uma seqüência finita de passos que levam a execução de uma tarefa. Podemos pensar
Leia mais3 Modelos de Simulação
43 3 Modelos de Simulação 3.1 Simulação de Monte Carlo O método de Monte Carlo foi concebido com este nome nos anos 40 por John Von Neumann, Stanislaw Ulam e Nicholas Metropolis durante o projeto de pesquisa
Leia maisAlguns Apontamentos Sobre Cálculo Combinatório
Alguns Apontamentos Sobre Cálculo Combinatório 1 O objectivo do Cálculo Combinatório é resolver problemas do tipo: quantas matriculas de carro é possível fazer em Portugal ; quantos números de telefone
Leia maisEstruturas de Repetição
Estruturas de Repetição Lista de Exercícios - 04 Algoritmos e Linguagens de Programação Professor: Edwar Saliba Júnior Estruturas de Repetição O que são e para que servem? São comandos que são utilizados
Leia maisCaminho de Dados e Controle. Prof. Leonardo Barreto Campos 1
Caminho de Dados e Controle Prof. Leonardo Barreto Campos 1 Sumário Introdução; Convenções Lógicas de Projeto; Construindo um Caminho de Dados; O Controle da ULA; Projeto da Unidade de Controle Principal;
Leia maisSemana 7 Resolução de Sistemas Lineares
1 CÁLCULO NUMÉRICO Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1 2 INTRODUÇÃO Considere o problema de determinar as componentes horizontais e verticais das forças que atuam
Leia maisMatemática Básica Intervalos
Matemática Básica Intervalos 03 1. Intervalos Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Geometricamente correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, dados dois números
Leia maisÁLGEBRA BOOLEANA- LÓGICA DIGITAL
ÁLGEBRA BOOLEANA- LÓGICA DIGITAL LÓGICA DIGITAL Álgebra Booleana Fundamentação matemática para a lógica digital Portas Lógicas Bloco fundamental de construção de circuitos lógicos digitais Circuitos Combinatórios
Leia maisResolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss
Resolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss Marina Andretta ICMC-USP 21 de março de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R L Burden e J D Faires Marina Andretta (ICMC-USP)
Leia mais- Campus Salto. Disciplina: Sistemas de Arquivos Docente: Fernando Santorsula E-mail: fernandohs@ifsp.edu.br
Disciplina: Sistemas de Arquivos Docente: Fernando Santorsula E-mail: fernandohs@ifsp.edu.br Sistemas de Arquivos- Parte 2 Pontos importantes de um sistema de arquivos Vários problemas importantes devem
Leia maisEstouro e Representação em Ponto Flutuante
Estouro e Representação em Ponto Flutuante Cristina Boeres Insituto de Computação (UFF) Fundamentos de Arquiteturas de Computadores Material baseado nos slides de Fernanda Passos Cristina Boeres (IC/UFF)
Leia maisProjecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 TEORIA DOS NÚMEROS
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 A Teoria dos Números tem como objecto de estudo o conjunto Z dos números inteiros (a letra Z vem da palavra alemã Zahl que significa número). 1. DIVISIBILIDADE
Leia maisAula 9: Estouro e Representação em Ponto Flutuante
Aula 9: Estouro e Representação em Ponto Flutuante Fernanda Passos Universidade Federal Fluminense Fundamentos de Arquiteturas de Computadores Material baseado nos slides do prof. Diego Passos Fernanda
Leia maisUnidade 10 Análise combinatória. Introdução Princípio Fundamental da contagem Fatorial
Unidade 10 Análise combinatória Introdução Princípio Fundamental da contagem Fatorial Introdução A escolha do presente que você deseja ganhar em seu aniversário, a decisão de uma grande empresa quando
Leia maisDefinição de determinantes de primeira e segunda ordens. Seja A uma matriz quadrada. Representa-se o determinante de A por det(a) ou A.
Determinantes A cada matriz quadrada de números reais, pode associar-se um número real, que se designa por determinante da matriz Definição de determinantes de primeira e segunda ordens Seja A uma matriz
Leia maisArquitetura e Organização de Computadores
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Arquitetura e Organização de Computadores Aritmética Computacional Prof. Helcio Wagner
Leia maisÁlgebra Linear Computacional
Álgebra Linear Computacional Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco. PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia http://www.matmidia.mat.puc-rio.br Sistemas de Equações Lineares Espaços
Leia maisArquitetura e Organização de Computadores
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Arquitetura e Organização de Computadores Aritmética Computacional Prof. Sílvio Fernandes
Leia maisPREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 3
PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 3 Números, Progressões e Lógica Prof. Ronaldo Busse Números Uma questão presente nos exames de seleção até aqui foi a comparação entre grandezas numéricas. O procedimento indicado
Leia mais(1, 6) é também uma solução da equação, pois 3 1 + 2 6 = 15, isto é, 15 = 15. ( 23,
Sistemas de equações lineares generalidades e notação matricial Definição Designa-se por equação linear sobre R a uma expressão do tipo com a 1, a 2,... a n, b R. a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b (1)
Leia maisFigura 1 - Somador para dois números de 4 bits com extensores lógicos (EL) e Aritméticos(EA).
Projeto de uma Unidade Lógico-Aritmética (ULA) Uma unidade lógico-aritmética (ULA) é responsável pelas operações lógicas e aritméticas básicas num processador. As operações aritméticas tipicamente realizadas
Leia maisPrática. Exercícios didáticos ( I)
1 Prática Exercício para início de conversa Localize na reta numérica abaixo os pontos P correspondentes aos segmentos de reta OP cujas medidas são os números reais representados por: Exercícios didáticos
Leia maisAnálise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados
Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados 9.1 INTRODUÇÃO* (Capítulo 11 do Ogata) Um sistema moderno complexo pode ter muitas entradas e muitas saídas e elas podem ser interrelacionadas de maneira
Leia maisInformática Aplicada
Informática Aplicada Aula 1 Introdução Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Departamento de Ciências Exatas e Naturais Universidade Federal Rural do Semi-Árido Introdução Informática informação aplicada; Pressupõe
Leia mais4. Álgebra Booleana e Simplificação Lógica. 4. Álgebra Booleana e Simplificação Lógica 1. Operações e Expressões Booleanas. Objetivos.
Objetivos 4. Álgebra Booleana e Simplificação Lógica Aplicar as leis e regras básicas da álgebra Booleana Aplicar os teoremas de DeMorgan em expressões Booleanas Descrever circuitos de portas lógicas com
Leia maisOrganização de Computadores I
Organização de Computadores I Aula 6 Material: Diego Passos http://www.ic.uff.br/~debora/orgcomp/pdf/parte6.html Organização de Computadores I Aula 6 1/17 Tópicos Representação de números não-inteiros.
Leia maisArquitetura e Organização de Computadores
Arquitetura e Organização de Computadores Interconexão do Computador Givanaldo Rocha de Souza http://docente.ifrn.edu.br/givanaldorocha givanaldo.rocha@ifrn.edu.br Material do prof. Sílvio Fernandes -
Leia maisApostila de Arquitetura dos Computadores
Apostila de Arquitetura dos Computadores Versão Preliminar Setembro de 2005 1 1.1 INTRODUÇÃO: Capítulo 1 Evolução Histórica dos Computadores 1.1.1 Conceituação: Mário A. Monteiro (Introdução à Organização
Leia maisProgressão aritmética ( PA )
Progressão aritmética ( PA ) Definição Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:
Leia maisa) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Recordando operações básicas 01. Calcule as expressões abaixo: a) 2254 + 1258 = b) 300+590 = c) 210+460= d) 104+23 = e) 239 54 = f) 655-340 = g) 216-56= h) 35 x 15 = i) 50 x 210 = j) 366 x 23 = k) 355
Leia maisEscola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro. Curso Profissional de Nível Secundário. Componente Técnica. Disciplina de
Escola Secundária c/3º CE José Macedo Fragateiro Curso Profissional de Nível Secundário Componente Técnica Disciplina de Sistemas Digitais e Arquitectura de Computadores 2009/2010 Módulo 2: Álgebra e Lógica
Leia maisBC-0504 Natureza da Informação
BC-0504 Natureza da Informação Aulas 4 Sistemas de numeração. Operações em binário e algebra booleana. Equipe de professores de Natureza da Informação Santo André Julho de 2010 Parte 0 Realizar 6 problemas
Leia maisAula 5: determinação e simplificação de expressões lógicas
Aula 5: determinação e simplificação de expressões lógicas Circuitos Digitais Rodrigo Hausen CMCC UFABC 4 e 6 de Fev. de 2013 http://compscinet.org/circuitos Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 5: determinação
Leia maisProfessor: André Rabelo Curso: Engenharia da Computação Disciplina: Lógica Digital Período: 3º Data Entrega: 21/03/2012 Valor: 15 pts Objetivos:
Professor: André Rabelo Curso: Engenharia da Computação Disciplina: Lógica Digital Período: 3º Data Entrega: 21/03/2012 Valor: 15 pts Objetivos: Pesquisar e aprofundar os conhecimentos em Lógica Digital
Leia maisSistemas numéricos e a Representação Interna dos Dado no Computador
Sistemas numéricos e a Representação Interna dos Dado no Computador Ricardo Azambuja Silveira INE-CTC-UFSC E-Mail: silveira@inf.ufsc.br URL: http://www.inf.ufsc.br~silveira Material elaborado pelo prof
Leia maisARQUITETURA DE COMPUTADORES
Representação de Dados Professor: Airton Ribeiro de Sousa E-mail: airton.ribeiros@gmail.com 1 REPRESENTAÇÃO DE DADOS: SÍMBOLO: Marca visual ou gráfica que representa um objeto que desejamos identificar
Leia maisProjetando um Computador
Objetivo Projetando um Computador Parte II (2) Projetando um Computador Parte II Arquitetura do Processador BIP Apresentar as noções do funcionamento de um computador através da descrição da arquitetura
Leia maisOrganização e Arquitetura de Computadores I
Organização e Arquitetura de Computadores I Evolução e Desempenho dos Computadores Slide 1 Conceitos Arquitetura do Computador Refere-se aos atributos que são visíveis para o programador. Ex: conjunto
Leia maisIntrodução a Tecnologia da Informação
Introdução a Tecnologia da Informação Sistema de Numeração Prof. Jeime Nunes Sistema de Numeração p Um sistema de numeração é formado por um conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades
Leia mais3.3 Qual o menor caminho até a Escola? 28 CAPÍTULO 3. CICLOS E CAMINHOS
2 CAPÍTULO. CICLOS E CAMINHOS solução para um problema tem se modificado. Em vez de procurarmos um número, uma resposta (o que em muitos casos é necessário), procuramos um algoritmo, isto é, uma série
Leia mais3º Ano do Ensino Médio. Aula nº09 Prof. Paulo Henrique
Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº09 Prof. Paulo Henrique Assunto: Funções do Segundo Grau 1. Conceitos básicos Definição: É uma função que segue a lei: onde, Tipos
Leia maisArquitetura e Organização de Computadores. Profa. Débora Matos
Arquitetura e Organização de Computadores aula 1 Profa. Débora Matos Apresentação da disciplina CARGA HORÁRIA: 72H/A ANO/SEMESTRE: 2011/2 TURNO: NOITE PROFESSORA RESPONSÁVEL: DÉBORA MATOS COMPETÊNCIAS
Leia maisMódulo IV Programação Visual Basic. Programação
Módulo IV Visual Basic 1 Vamos considerar os seguintes elementos e estruturas fundamentais que são habitualmente usados em programação: Tipos de Dados Operadores Atribuições Entrada e Saída de Dados Estruturas
Leia mais7. Funções de Lógica Combinacional. 7. Funções de Lógica Combinacional 1. Somadores Básicos. Objetivos. Objetivos. Circuitos Digitais 03/11/2014
Objetivos 7. Funções de Lógica Combinacional Fazer distinção entre meio-somadores e somadores-completos Usar somadores-completos para implementar somadores binários em paralelo Explicar as diferenças entre
Leia maisEscalas ESCALAS COTAGEM
Escalas Antes de representar objectos, modelos, peças, etc. Deve-se estudar o seu tamanho real. Tamanho real é a grandeza que as coisas têm na realidade. Existem coisas que podem ser representadas no papel
Leia mais5. O Mapa de Karnaugh
Objetivos 5. O Mapa de Karnaugh Usar um mapa de Karnaugh para simplificar expressões Booleanas Usar um mapa de Karnaugh para simplificar funções de tabela-verdade Utilizar condições don t care para simplificar
Leia maisAula 1 Conjuntos Numéricos
1 Tecnólogo em Construção de Edifícios Aula 1 Conjuntos Numéricos Professor Luciano Nóbrega 2 SONDAGEM Inicialmente, façamos uma revisão: 1 Calcule o valor das expressões abaixo. Dê as respostas de todas
Leia maisMedidas de Tendência Central. Introdução Média Aritmética Moda Mediana
Medidas de Tendência Central Introdução Média Aritmética Moda Mediana Introdução A maioria dos dados apresenta uma tendência de se concentrar em torno de um ponto central Portanto, é possível selecionar
Leia maisMicrocontroladores e Microprocessadores. Conversão de Bases Prof. Samuel Cavalcante
Microcontroladores e Microprocessadores Conversão de Bases Prof. Samuel Cavalcante Conteúdo Conversão de Qualquer base para Decimal Decimal para Binário Hexadecimal para binário Componentes básicos de
Leia maisUsando números muito pequenos e números muito grandes
Usando números muito pequenos e números muito grandes Leia o seguinte texto, em voz alta, e em menos de 30 segundos: "...como, por exemplo, o nosso Sistema Solar que tem um diâmetro aproximado de 100000000000
Leia mais