3º Ano do Ensino Médio. Aula nº09 Prof. Paulo Henrique

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1 Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº09 Prof. Paulo Henrique Assunto: Funções do Segundo Grau 1. Conceitos básicos Definição: É uma função que segue a lei: onde, Tipos de funções quadráticas A função do segundo grau tem uma estrutura muito semelhante a uma equação do segundo grau, a grande diferença é que ela pode assumir valores que pertencem aos reais, e numa equação ( organizada ) o valor da igualdade é único, zero. Veja: Imagem: Os valores que a função assume, de acordo com o valor de x utilizado, é dito imagem da função. Representaremos isso por Im f Perceba que a função do exemplo anterior tem como Im =. 1

2 Domínio: O domínio de uma função é qualquer valor de x que podemos usar e a função existe (ou melhor, está definida). Nas funções quadráticas o domínio costuma ser. Representaremos o domínio das funções por D f Exemplo de uma função cujo domínio não é Raízes ou zeros de função: são os valores de x para os quais a função vale zero, isto é, 0. Para fazermos isso será importante lembrarmos da fórmula de Báskhara. Quando desejarmos obter os zeros de uma função, devemos encontrar as raízes da equação obtida ao igualarmos a função a zero. Báskhara: Δ = 4, = ±! Cálculo dos zeros da função: = 1 Como as funções do segundo grau tem sua raiz obtida através de uma equação do segundo grau, podemos concluir que toda função do segundo grau tem raízes? Há uma situação que a função do segundo grau tem uma única raiz, ou então, duas raízes idênticas. Nesta situação, o que ocorre com o discriminante (delta, ) desta equação?

3 . Gráfico da função de segundo grau A parábola As funções do segundo grau tem gráficos com formato de parábola. Veja na figura um exemplo (específico) de função do segundo grau representada no sistema de coordenadas cartesiano e alguns pontos importantes. Intercepto em y, equivale ao termo c da função do segundo grau. Você sabe por quê? Zeros da função Vértice, cujas coordenadas são: $,% $ De que formas a parábola (da função do segundo grau) pode estar disposta? 3

4 Vértice da função quadrática: O vértice da equação do segundo grau pode ser obtido com as seguintes fórmulas: & ' & = Δ 4 Existe y do vértice se < )? O que isso nos permite concluir? Agora que sabemos como calcular o vértice de uma função, como podemos indicar sua imagem? Isso depende da posição da parábola? 3. Exercícios de sala 1. Esboce o gráfico das seguintes funções explicitando seu intercepto no eixo das ordenadas, além disso, mostre os cálculos dos zeros da função, se houver. = 9 = 4 4 = 1 4. Interpretações e obtenção da função do segundo grau Podemos obter a função do segundo grau observando seu gráfico, uma forma de fazer isso por exemplo é montar um sistema de equações com todos os elementos conhecidos no gráfico. Fontes poderosíssimas de informação que diminuem o nosso trabalho são: As raízes da função, pois com elas em mãos podemos dizer que a função será, para as raízes +, - + : =. +, + A concavidade da função, se a concavidade for para cima teremos. 0. Se a concavidade for para baixo, teremos. 0. Lembre-se de qual é o papel do termo a na concavidade da função. Um ponto da função, pois substituindo na estrutura acima, será possível determinar qual o equacionamento dessa função do segundo grau. O ponto que facilita demasiado nosso trabalho é o intercepto no eixo y, mas isto não é uma regra 4

5 Não se esqueça que em certos problemas interpretativos (e que você deve obter a função do segundo grau) não necessariamente vai estar escrito a concavidade está para cima, ou então a concavidade está para baixo. Como vamos saber a concavidade da função? Exercícios de sala 1. Uma função do segundo grau tem raízes -3 e 4. É possível obter o valor do &? Escreva a expressão que descreve esta função com o. desconhecido. Se esta função passa pelo ponto (0, 4), qual é sua expressão?. Um posto de combustível vende litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, qual a expressão que relaciona V e x? 5

6 5. Máximos e mínimos da função quadrática As funções quadráticas com > 0 admitem valor de mínimo e as funções com < 0 admitem valor de máximo. Este valor de máximo ou mínimo é ' & Exercícios de sala 0 $ = % $ 1. A função = +5+ tem qual cara? Ela tem ponto de máximo ou de mínimo? Qual o valor de máximo ou de mínimo que essa função assume?. Sabe-se que - e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então: a) o seu valor máximo é 1,5 b) o seu valor mínimo é 1,5 c) o seu valor máximo é 0,5 d) o seu valor mínimo é 1,5 e) o seu valor máximo é 1,5 3. A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser: a) 1 b) 8 c) 4 d) -4 e) A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é: a) 1 b) 8 c) 4 d) -4 e) -1

7 Exercícios de Casa 1. A função do segundo grau = +0 intercepta as abscissas em: a) -4 e 5 b) 7 e 9 c) -5 e 75 d) -7 e 4 e) e 8. A função do segundo grau = 3+4 tem como x do vértice: a) 4 b) c) 5 d) 3 e) 3. A função do segundo grau = 7+5=0 tem seu discriminante igual a: a) 9 b) 3 c) 9 d) 5 e) Uma função do segundo grau passa pelos pontos (0,), (1,-) e (3,8). Qual a lei de formação que define esta função? a) =3 7+ b) = 5+ c) = + d) não é possível determinar 5. A função real f, de variável real, dada por = +1+0, tem um valor: a) mínimo, igual a -1, para x = d) máximo, igual a 7, para x = 1 b) mínimo, igual a 1, para x = -1 e) máximo, igual a 40, para x = 0 c) máximo, igual a 5, para x =. Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o públicoalvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(p x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) b) 000 c) d) e) A partir do instante que foi identificado um vazamento em um tanque de água, os técnicos afirmaram que a quantidade total, em litros, de água no tanque, indicada por Q(t), após t horas de vazamento, seria dada pela função :;=; 4;+144. Dividindo-se o total de água no tanque, no instante em que o vazamento foi identificado, pelo total de horas que ele levou para esvaziar totalmente, pode-se concluir que o escoamento médio, nesse intervalo, em litros por hora, foi igual a: a) 1 b) 1,5 c) 13 d) 13,5 e) 14 7

8 Raciocínio Lógico Assunto: Potenciação e Racionalização de Frações 1. Potenciação Definição: A potenciação é a operação de elevar um número ou expressão a uma dada potência. Ex.: ³ = =8 é a base e 3, o expoente. Propriedades: Vamos recordar as principais propriedades já vistas: Produto de potência de mesma base:? A =?BA HIIIIIJ 3 = 3B =,K CDC?EFG Razão de mesma base: LM L N =?A, 0HIIIIIJ 3 = 3 = CDC?EFG Potência de potência? A =? A HIIIIIJ = = 5 CDC?EFG ATENÇÃO: Perceba que esta situação é diferente de quando temos uma potência somente no expoente, nesses casos, devemos apenas calcular o valor desta potência, veja: 3 3 Q,RSTU 3 =3 V -7WX7;S 3 Q =3 Y Potência de um produto:? =?? HIIIIIJ 5 =³ 5³ CDC?EFG A potência fracionária é uma raiz Lembre-se [ \ \ = ] Q. Exemplo: ^ Q=. Propriedade do inverso: A =, L L`A N=_,, 0HIIIIIJ =, CDC?EFG Q. Racionalização de denominadores de frações,k Definição: A presença de um número irracional (uma raiz) no denominador de frações torna difícil o seu tratamento e interpretação. Efetuamos a racionalização de denominadores para melhorar isso, baseado sempre na propriedade das frações equivalentes. Vejamos um exemplo: =5,K =5, ou seja, se multiplicarmos uma fração por uma razão unitária (no exemplo ), mantemos a igualdade (permanece igual a 5). O desafio está em achar a razão unitária apropriada. Os principais casos encontrados são: Há uma raiz quadrada no denominador: A razão unitária será formada pela própria raiz existente no denominador. Ou seja: L = L ] ] ] = L ] HIIIJ ] ] --arbs,, Há uma expressão de soma ou subtração no denominador: A razão unitária será composta por um produto notável que resulte no desaparecimento da(s) raiz(es). Lembre-se que: ' ' '. E com a diferença dos quadrados, fazemos desaparecer a raiz., e f, LB ] HIIIJ --arbs HIIIJ --arbs c c c c Bc Bc c d c d c, B B B d d B 3+ 8

9 Exercícios de casa 1. Racionalize as seguintes expressões: a) 4 b) c) 7 3 d) Racionalize e depois resolva as expressões: a) b) Resolva explicitando o cálculo e o uso das propriedades das potências a) 3. b) 4.5 c) d) _, 3` :_, 3` 4. Simplifique as seguintes expressões: a) b) DQ i d i j D^ D k i l D d 9