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1 UNIPAC Araguari FACAE - Faculdade de Ciências Administrativas e Exatas SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

2 SAD Sistemas de Apoio à Decisão 2011/02 Aula Cinco

3 Modelos de decisão Sistemas de Apoio à Decisão 3

4 Modelos de decisão Um modelo é uma representação simplificada da realidade. A realidade é demasiado complexa para poder ser representada na sua totalidade. Parte dessa complexidade é irrevelante para a resolução do problema especifico. A maior característica de um SAD é a inclusão de modelos. Sistemas de Apoio à Decisão 4

5 Modelos de decisão Descreve Objectivo Porque é que o sistema existe? Explica Função Como é que funciona? Prevê Estado O que está a fazer? Forma Qual é o seu aspecto? Sistemas de Apoio à Decisão 5

6 Modelos de decisão Um modelo é um mecanismo para prever o resultado de saída de um sistema real, sob determinadas condições especificadas pelos dados de entrada do modelo, sem que se tenha que usar o próprio sistema real. A estrutura do modelo descreve a forma do sistema e o comportamento do modelo explica o seu funcionamento. Sistemas de Apoio à Decisão 6

7 Modelos de decisão De acordo com o seu grau de abstracção, os modelos podem ser classificados em 3 grupos diferentes: Abstracção Icónicos Analógicos Matemáticos ou quantitativos Sistemas de Apoio à Decisão 7

8 Modelos de decisão Icónicos - os menos abstractos - constituem uma réplica física do sistema, normalmente a uma escala diferente da original. Exemplos: 3D (um automóvel, uma maquete de um edifício) e 2D (fotografias). Analógicos - não se parecem com o sistema real, mas comportam-se da mesma forma. São mais abstractos e constituem representações simbólicas da realidade. Exemplos: gráficos de barras, organogramas, mapas. Matemáticos ou quantitativos - a complexidade das relações existentes entre as diversas componentes de um sistema não pode muitas vezes ser representadas através de imagens, sendo necessárias formas mais abstractas de representação matemática. A maior parte dos SADs usam modelos matemáticos. Sistemas de Apoio à Decisão 8

9 Vantagens do uso de modelos Permitem a compressão do tempo - actividades que em tempo real demorariam anos podem ser simuladas em alguns minutos. Os custos de uma análise do modelo são muito reduzidos em relação aos custos de uma experiência similar conduzida no sistema real. Os custos dos erros produzidos durante as experiências são mais reduzidos quando se usam modelos, evitando as mudanças irreversiveis. Permitem uma manipulação mais fácil e segura do sistema. Permitem o cálculo do risco, devido à incerteza, envolvido em certas acções. Permitem a análise de um número quase infinito de possíveis soluções. Favorecem a aprendizagem. Sistemas de Apoio à Decisão 9

10 Componentes básicas: Modelos quantitativos Variáveis de decisão, Parâmetros, Resultados ou variáveis de saída. As variáveis de decisão descrevem as possíveis alternativas. Os parâmetros representam factores que influenciam os resultados, mas que estão fora do controlo do decisor, pois são determinados por factores externos ao sistema. Exemplo: manufactura - Custo total ou lucro, Quanto produzir?, capacidade da máquinas e preço das matérias primas. Sistemas de Apoio à Decisão 10

11 Modelos quantitativos Os componentes dos modelos quantitativos estão relacionados por relações matemáticas expressas por equações ou inequações. Exemplos: Modelo financeiro Lucro = Ganhos Custos Modelos de programação linear... Sistemas de Apoio à Decisão 11

12 Modelos quantitativos Componentes básicas dos modelos de investigação operacional: Variáveis de decisão cujos valores, que descrevem as possíveis alternativas, se pretende determinar. Função objectivo que corresponde a uma função matemática das variáveis de decisão e que mede a performance de cada alternativa. Restrições funções matemáticas que restringem os valores que cada variável de decisão pode tomar. Parâmetros correspondem às contantes existentes nas expressões matemáticas das restrições ou da função objectivo e representam factores que influenciam os resultados, mas que podem estar fora do controlo do decisor, pois são determinados por factores externos ao sistema. Sistemas de Apoio à Decisão 12

13 Modelos quantitativos Ao utilizar um modelo matemático de investigação operacional na resolução de um problema, este resume-se a escolher um conjunto de valores para as variáveis de decisão que maximize (minimize) o valor da função objectivo, respeitando as restrições impostas. Sistemas de Apoio à Decisão 13

14 Programação linear A programação linear é uma técnica matemática que permite resolver problemas de alocação de recursos escassos entre actividades em competição por esses mesmos recursos. O problema consiste em encontrar o valor das variáveis de decisão que garantem a maximização (ou minimização) do resultado, estando sujeitas a algumas restrições (expressões lineares) que dependem de determinados parâmetros. As relações matemáticas entre estas variáveis são todas funções lineares. A palavra programação, neste contexto, significa planeamento. Processo de resolução: Método simplex (George Dantzig, 1947). Sistemas de Apoio à Decisão 14

15 Exemplo: Programação linear Uma fábrica pretende produzir dois produtos, o produto 1 e o produto 2. Ambos os produtos passam por três fases de desenvolvimento durante o processo de manufactura, cada uma das quais se realiza num departamento diferente. No próximo mês, cada um dos departamentos tem um determinado números disponível de horas por máquina, para ser utilizado na concepção destes dois produtos. Por sua vez, cada um dos produtos requer, por unidade, um dado tempo de utilização de cada máquina. Departamentos Tempo disponível (h) Tempo requerido por unidade (h) Produto 1 Produto Para manter o problema simples, vamos assumir que os custos de produção de cada produto são constantes, independentemente da quantidade produzida. Supondo que o lucros, por unidade, de cada produto são de 3 para o produto 1 e 5 para o produto 2, queremos determinar qual o número de unidades de cada um dos produtos que a fábrica deve produzir, no próximo mês, de modo a obter o maior lucro possível. Sistemas de Apoio à Decisão 15

16 Programação linear Formulação matemática do problema: Variáveis de decisão: x 1 e x 2 representam o número de unidades dos produtos 1 e 2 respectivamente, a serem produzidas. Função objectivo: Maximizar Z = 3x 1 + 5x 2 Restrições: x 1 <= 4 2x 2 <= 12 3x 1 + 2x 2 <= 18 x 1, x 2 >= 0 Sistemas de Apoio à Decisão 16

17 Programação linear Representação gráfica do problema x 2 8 3x 1 + 2x 2 = 18 x 1 = 4 6 2x 2 = x 1 Sistemas de Apoio à Decisão 17

18 Programação linear Representação gráfica do problema x 2 Z = 36 = 3x 1 + 5x (2, 6) Z = 20 = 3x 1 + 5x 2 4 Z = 10 = 3x 1 + 5x x 1 Sistemas de Apoio à Decisão 18

19 Método simplex Programação linear Estrutura algorítmica Inicialização Iteração Teste de optimização Fim Processo algébrico em que cada iteração envolve a resolução de um sistema de equações de modo a obter uma nova solução que será testada através do teste de optimização. Sistemas de Apoio à Decisão 19

20 Programação linear Representação gráfica do problema (0, 9) x (0, 0) (0, 6) (2, 6) 2 4 (4, 0) (4, 6) (4, 3) (6, 0) 6 8 Soluções admissíveis correspondentes a um vértice da região de soluções admissíveis: (0, 0), (0, 6), (2, 6), (4, 3) e (4, 0) Soluções não admissíveis correspondentes a um vértice fora da região de soluções admissíveis : (0, 9), (4, 6) e (6, 0) As soluções admissíveis correspondentes a um vértice da região de soluções admissíveis dizem-se adjacentes quando se podem ligar através de um único segmento de recta. x 1 Sistemas de Apoio à Decisão 20

21 Programação linear Propriedades das soluções admissíveis correspondentes a vértices da região de soluções admissíveis: 1. Se houver uma solução óptima ela corresponde a um vértice da região de soluções admissíveis. 2. Se houver múltiplas soluções óptimas, então pelo menos duas correspondem a vértices adjacentes da região de soluções admissíveis. 3. Há apenas um número finito de vértices da região de soluções admissíveis (e, portanto das correspondentes soluções admissíveis). 4. Considerando um vértice da região de soluções admissíveis e a correspondente solução admissível, se a nenhum dos vértices a ele adjacentes corresponder uma solução melhor (medida através de Z), então não existe nenhuma solução melhor e, portanto esta é uma solução óptima. Sistemas de Apoio à Decisão 21

22 Programação linear Propriedade 1 e 2 A busca da solução óptima resume-se à análise de apenas as soluções admissíveis correspondentes a vértices da região de soluções admissíveis. Propriedade 3 Portanto apenas existe um número finito de soluções a considerar. Propriedade 4 Fornece um conveniente teste de optimização. Sistemas de Apoio à Decisão 22

23 Programação linear Método simplex Examina apenas um número relativamente pequeno de soluções admissíveis e pára assim que alguma satisfizer o teste de optimização expresso pela propriedade Inicialização: Começa por uma solução admissível correspondente a um vértice da região de soluções admissíveis. 2. Iteração: Passa para outra solução admissível correspondente a um vértice adjacente da região de soluções admissíveis. (Passo repetido até a solução corrente satisfazer o teste de optimização). 3. Teste de optimização: A solução corrente é uma solução óptima se nenhuma das soluções adjacentes for melhor. Sistemas de Apoio à Decisão 23

24 Caso Pizzaria Brasil Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40 gramas de queijo para preparar uma pizza e 60 gramas de queijo para fazer um calzone. Sabendo-se que o total disponível de queijo é de 5 quilogramas por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria com três pizzaiolos deve vender diariamente para maximizar a sua receita? Resolva utilizando a forma gráfica e os teoremas I, II e III apresentados.

25 Hipótese do modelo Caso Pizzaria Brasil Solução - Modelagem Todas as pizzas e calzones produzidos são vendidos, isto é, não existe sobre ou perda. Os três pizzaiolos tem a mesma performance. Variáveis de Decisão x 1 Quantas pizzas devemos fazer x 2 Quantos calzones devemos fazer

26 Caso Pizzaria Brasil Solução - Modelagem Função-Objetivo Max Receita = 18x x 2 Receita proveniente da pizza = preço x número de pizzas produzidas Receita proveniente do calzone = preço x número de pizzas produzidas

27 Caso Pizzaria Brasil Solução - Modelagem 40 + x2 Restrição de Queijo x Restrição de Produção 1 16 x 1 + x três pizzaiolos / 8 horas por dia Restrição de Não Negatividade x, x 1 2 0

28 Caso Pizzaria Brasil Modelo e a Solução Gráfica Max 18x x2 st 216 Redundante 40x x 16 x, x x 1 + x

29 Caso Pizzaria Brasil Modelo e a Solução Gráfica 2500 B (0;250/3) Função-Objetivo A B C Solução Ótima C (125 ; 0) Ponto x 1 x 2 z A A (0;0) B 0 250/ C

30 Hipótese do modelo Caso Pizzaria Brasil Solução Alternativa - Modelagem Todas as pizzas e calzones produzidos são vendidos, isto é, não existe sobre ou perda. Os três pizzaiolos tem a mesma performance. Variáveis de Decisão x 1 Quantas horas devem ser alocadas na produção de pizza x 2 Quantas horas devem ser alocadas na produção de calzones

31 Caso Pizzaria Brasil Solução Alternativa - Modelagem Função-Objetiva Max Receita = (18 x 16)x 1 + (22 x 9)x 2 Receita proveniente da pizza = preço x número de pizzas produzidas hora x número de horas de produção de pizza Receita proveniente do calzone = preço x número de pizzas produzidasx número de horas de produção de pizza

32 Caso Pizzaria Brasil Solução Alternativa - Modelagem Restrição de Queijo ( 40 16) x + (60 9) x Restrição de Produção x1 + x2 24 Restrição de Não Negatividade x, x 1 2 0

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