PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 3

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1 PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 3 Números, Progressões e Lógica Prof. Ronaldo Busse Números Uma questão presente nos exames de seleção até aqui foi a comparação entre grandezas numéricas. O procedimento indicado para tratar problemas desse tipo é escrever as grandezas a serem comparadas de forma equivalente. Por exemplo: Duas frações são facilmente comparáveis se possuírem o mesmo numerador ou o mesmo denominador. Duas potências são facilmente comparáveis se possuírem a mesma base ou o mesmo expoente. Para ilustrar as situações citadas acima, vamos considerar os seguintes exercícios: 01. (PROFMAT 2012) Qual dos números abaixo é mais próximo de 0,7? (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 4/5 (E) 5/7 02. (PROFMAT 2012) Sejam a = , b = e a = Assinale a alternativa correta. (A) b<a<c (B) c<b<a (C) b<c<a (D) a<c<b (E) b<c<a No primeiro exercício, observe que é pedida uma comparação entre frações, visto que 0,7 = 7/10. Nesse caso, podemos escrever todas as frações com um mesmo denominador, dado por MMC(2,3,4,5,7,10)=420. Dessa forma, temos que 0,7 = 7 10 = 294 e 1 2 = , 2 3 = , 3 4 = , 4 5 = , 5 7 = Conclusão: o número mais próximo é 5/7 (letra E). Seguindo a linha de raciocínio proposta, no segundo exercício, devemos escrever as três potências com a mesma base ou expoente. Visto que as bases são dadas por números primos entre si, vamos trabalhar com as potências, utilizando MDC(7000,3000,2000)=1000. Assim, teremos, a = = = (2 7 ) 1000 = b = = = (5 3 ) 1000 = c = = = (13 2 ) 1000 = E, portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 Outro ponto a ser destacado diz respeito às operações envolvendo números irracionais. A soma ou o produto de dois números racionais é um número racional. A soma ou o produto de um número racional e um número irracional é um número irracional. A soma ou o produto de dois números irracionais pode ser um número racional ou irracional. A seguir é dado um exercício que ilustra a situação acima. 03. (PROFMAT 2012) Considere os números reais A opção verdadeira é: a = , b = , c = (A) a e b são ambos irracionais e c é racional (B) a e b são ambos inteiros e c é racional (C) a e c são ambos racionais e b é irracional (D) a é inteiro, b é racional e c é irracional (E) a é racional e b e c são ambos irracionais Embora esse exercício seja resolvido utilizando-se algebrismos conhecidos, vamos fazer uma análise qualitativa de cada número separadamente. Observe que o número a é dado pela soma de duas parcelas irracionais e, portanto, não podemos determinar sua natureza sem efetuarmos as contas. a = = = 2. O número b é dado pelo produto de dois números irracionais e, portanto, também não podemos determinar sua natureza a priori. Entretanto, efetuando o produto notável, obtemos b = = = Nada podemos afirmar a respeito do numerador do número c, visto que envolve um produto de três numero irracionais. Novamente, é necessária uma análise quantitativa. c = Conclusão: a resposta correta é a letra C. = = 5 4. O assunto números é bastante amplo e pode ser cobrado sob a forma de questões mais simples e diretas ou por intermédio de questões mais elaboradas que envolvam raciocínio lógico. É importante destacar que exercícios envolvendo números possuem, em geral, diversas formas de serem resolvidos. Algumas podem ser mais trabalhosas do que outras, mas são todas igualmente válidas.

3 Exercícios 04. (PROFMAT 2011) O número 27 2/3 é igual a: (A) 1/18 (B) 1/81 (C) 1/9 (D) -18 (E) (PROFMAT 2011) O valor exato de é: (A) (B) (C) (D) (E) (PROFMAT 2011) Quando x e y assumem quaisquer valores positivos, das expressões abaixo, a única que não muda de sinal é: (A) x 2 + 2y y 2 (B) x 2 5x (C) x x (D) x 2 xy + y 2 (E) x 2 3xy + y (PROFMAT 2011) Dividindo 6 por 7, o 100º algarismo da expansão decimal que aparece após a vírgula é: (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) (PROFMAT 2011) As figuras abaixo são formadas por cinco pequenos quadrados e, dentro de cada quadrado, esconde-se um número inteiro. O número que aparece abaixo de cada um dos desenhos é a soma dos números escondidos nos quadrados pintados. O número do quadrinho central é: (A) 2 (B) 5 (C) 7 (D) 9 (E) (PROFMAT 2012) Sejam x e y números inteiros tais que 10x + y seja um múltiplo de 7. Assinale a resposta correta: (A) x 2y será certamente um múltiplo de 7 (B) 2x + y será certamente um múltiplo de 7 (C) x y será certamente um múltiplo de 7 (D) 2x y será certamente um múltiplo de 7 (E) 2x + 2y será certamente um múltiplo de (PROFMAT 2011) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 16 e o mínimo múltiplo comum desses mesmos números é 576. Podemos garantir que:

4 (A) Os dois números são maiores do que 50 (B) O produto dos dois números é maior que 8000 (C) Os dois números são múltiplos de 32 (D) Os dois números são divisores de 96 (E) Um dos números é múltiplo do outro. Gabarito 04. C 05. A 06. D 07. A 08. C 09. A 10. B Progressões Uma progressão é uma sequência (a n ) definida recursivamente, isto é, cada elemento a n é dado em função de um ou mais elementos anteriores a ele. Progressão Aritmética: a n = a n 1 + r a 0 a 1 = a 0 + r a 2 = a 1 + r = a 0 + 2r a 3 = a 2 + r = a 0 + 3r... a n = a 0 + nr Uma PA é uma função linear com domínio discreto. Progressão Geométrica: a n = a n 1 q a 0 a 1 = a 0 q a 2 = a 1 q = a 0 q 2 a 3 = a 2 q = a 0 q 3... a n = a 0 q n Uma PG é uma função exponencial com domínio discreto. O exemplo a seguir trata de uma progressão (que não é PA ou PG) e ilustra a forma de pensar acima. 11. (PROFMAT 2011) Uma sequência de números naturais é definida por a n +1 = 2a n 3, para todo n 0 e a 0 = 5. O valor de a 9 é: (A) 612 (B) 825 (C) 1027 (D) 1286 (E) 2048 Assim como fizemos para PA e PG, tentaremos escrever o termos geral a n em função de a 0. Para isso, vamos escrever os quatro primeiros termos para e, em seguida, utilizaremos a intuição.

5 a 1 = 2a 0 3 a 2 = 2a 1 3 = 2 2a = 4a a 3 = 2a 2 3 = 2 4a = 8a a 4 = 2a 3 3 = 2 8a = 16a a n = 2 n a 0 2 n 1 3 Dessa forma, visto que a 0 = 5, temos que e a resposta correta é a letra C. a 9 = = 1027 Exercícios 12. (PROFMAT 2011) Na loja A, um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa de manutenção mensal de 20 reais. Na loja B, o mesmo aparelho custa 2500 reais, porém a taxa de manutenção é de 50 reais por mês. A partir de quantos meses de uso a compra na loja A se torna mais vantajosa que a da loja B? (A) 30 (B) 72 (C) 39 (D) 63 (E) (PROFMAT 2011) O campo magnético do sol periodicamente se torna muito mais intenso, aparecem as manchas solares e ocorrem as tempestades que são enormes explosões. Isto dura alguns meses e depois desaparece. Tal fenômeno foi observado pela primeira vez no ano de 1755 e se repete com regularidade a cada 11 anos. A última vez que esse fato ocorreu foi em (B) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 2007 (E) (PROFMAT 2011) Os números 5, 356 e 590 são termos de uma progressão aritmética de números inteiros positivos, de razão máxima. Assinale o termo seguinte ao termo 590: (C) 599 (B) 603 (C) 717 (D) 707 (E) 612 Gabarito 12. E 13. E 14. D

6 Noções de Lógica Considere duas sentenças A e B e suponha que A B (isto é, a validade de A implica na validade e B). Neste caso, temos: A é dita uma condição suficiente para B, pois a validade de A é suficiente para garantir a validade de B. B é dita uma condição necessária para A, visto que a validade de A implica, necessariamente, na validade de B. Além disso, uma outra forma de ver a implicação acima é a contrapositiva, isto é, ~B ~A (ou seja, a não validade de B implica na não validade de A). Quando A é uma condição suficiente e necessária para B (A B e B A), dizemos que A e B são equivalentes e escrevemos A B (vale A, se e somente se, vale B). A fim de ilustrar os conceitos acima, sejam x e y dois números reais quaisquer e considere as seguintes sentenças: A: x é um número irracional B: y é um número racional C: x+y é um número irracional Inicialmente, vamos considerar a validade da sentença A. Observe que B é uma condição suficiente para C (B C), pois a soma de um número irracional com um número racional é um número irracional. Além disso, C é uma condição necessária para B, visto que sendo y um número racional, então necessariamente a soma tem que ser um número irracional. Por outro lado, negar a sentença C significa dizer que a soma x+y é um número racional. Dessa forma, como o número x é irracional, o número y não poderá ser racional (pois a soma daria irracional) e, portanto, temos a negativa da sentença B. Logo, ~C ~B. Finalmente, note que B e C não são equivalentes, pois C não é uma condição suficiente para B. De fato, a soma ser um irracional não garante que y seja racional (poderíamos ter dois irracionais com a soma dando irracional). Vamos agora, considerar a validade de B. Nesse caso, as sentenças A e C são equivalentes. De fato, A C, pois a soma de um racional com um irracional tem que dar um irracional. Por outro lado, C A pois, caso x fosse racional, a soma daria racional e teríamos ~A ~C. Para resolver problemas matemáticos utilizando princípios de lógica, devemos: Ler bem o enunciado do problema e utilizar todas as informações disponíveis. Ter bem claro o que se deve provar e o que é assumido como verdadeiro. Caso necessário, mudar a representação do problema, transformando-o em um problema equivalente. No caso de questões objetivas, pode ser útil testar as opções e, dessa forma, restringir as possibilidades.

7 Considere o seguinte problema: 15. (PROFMAT 2011) Eduardo pensou em dois números naturais a e b. Sabe-se que apenas uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira. Assinale-a: (A) ab é um número par (B) a + b = 5 e b a = 7 (C) a + b = 4 e a = 3b (D) a b 2 (E) Pelo menos um dos números a ou b é par Observe que, pelo enunciado, não podem ocorrer duas alternativas simultaneamente. Dessa forma, temos as seguintes considerações: As alternativas A e E são equivalentes (o produto de dois números é par e, e somente se, um deles for par). Logo, nenhuma das duas pode ocorrer sozinha. Resolvendo o sistema da letra B, obtemos a = 1 e b = 6. Dessa forma, B E e, portanto, B não pode ocorrer sozinha. Resolvendo o sistema da letra C, obtemos a = 3 e b = 1. Dessa forma, a b = 2 e, portanto, C D. Logo, C não pode ocorrer sozinha. Observe que a letra D não é condição suficiente para nenhuma outra. Por exemplo, considerando a = b = 1, vale apenas a alternativa D. Conclusão: a resposta correta é a letra D. Exercícios 16. (PROFMAT 2011) Numa cidade existe uma pessoa X que sempre mente terças, quintas e sábados e é completamente sincera o resto dos dias da semana. Felipe chega um certo dia na cidade e mantém o seguinte diálogo com a pessoa X: - Felipe: Que dia é hoje? - X: Sábado. - Felipe: Que dia será amanhã? - X: Quarta-feira. Em que dia da semana foi mantido esse diálogo? (A) Sábado (B) Quinta-feira (C) Segunda-feira (D) Terça-feira (E) Sexta-feira 17. (PROFMAT 2012) Meninas formam uma roda. Maria é a quinta garota à esquerda de Denise e é a sexta garota à direita de Denise. Quantas meninas estão na roda? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 17

8 18. (PROFMAT 2012) Dados que todos A s são B s, mas apenas alguns B s são C s, qual das alternativas abaixo é certamente correta? (A) Nenhum A é C. (B) Se algo é C então ele também é B. (C) Todo A é C. (D) Ou nenhum A é C ou nenhum C é B (E) Se algo não é B então ele não é A 19. (PROFMAT 2012) Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um deles conseguiu pescar pelo menos um peixe, mas nenhum deles pescou o mesmo número de peixes que o outro. Ana foi a que pescou mais peixes e Beatriz foi a que pescou menos peixes. Quantos peixes os meninos pescaram juntos? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) (PROFMAT 2012) Assinale a alternativa verdadeira: (A) Se x é um número real positivo, então x 6 > x 4 (B) Se x é um número real e x 2 = x, então x = 1 (C) Se x > 200 e y > 4, então x y > 50 (D) Se x é um número real, então x 2 x (E) Se x x 2 2x + 1 = 0 então x = 0 ou x = 1 ou x = 2 Gabarito 16. B 17. B 18. E 19. C 20. E