Apontamentos de matemática 5.º ano - Múltiplos e divisores

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1 Múltiplos e divisores (revisão do 1.º ciclo) Os múltiplos de um número inteiro obtêm-se multiplicando esse número pela sequência dos números inteiros. Exemplos: Alguns múltiplos de 6 são: 0, 6, 12, 18, 24, Alguns múltiplos de 10 são: 0, 10, 20, 30, Notas: 0 (zero) é múltiplo de todos os números inteiros. Qualquer número inteiro é múltiplo de si próprio. O zero é o único múltiplo de si próprio. O número de múltiplos de um número natural é infinito. Exercício proposto 1. Determine: a) Três múltiplos de 5 menores que 30 formados por dois algarismos. b) Todos os múltiplos de 10 menores que 50. c) Os cinco menores múltiplos de 7. d) Os múltiplos de 8 maiores que 20 e menores que 40. e) Um número menor que 10 e que seja múltiplo de 2 e de 3. Resolução: 1

2 Os divisores de um número inteiros são os números naturais pelos quais se pode dividir esse número de forma exata (resto zero). Exemplos - Os divisores de 4 são 1, 2 e 4 Pois 4:1 4, 4: 2 2 e 4: 4 1 (em todas estas divisões o resto é zero). Se dividirmos 4 por qualquer outro número o resto não será zero. - Os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10 - Os divisores de 20 são 1, 2, 4, 5, 10 e 20 - Os divisores de 29 são 1 e 29 Notas: 1 é divisor de todos os números. Qualquer número natural é divisor de si próprio. O menor divisor de um número natural é 1 e o maior é ele próprio. Para determinarmos os divisores de um número tentamos dividir esse número pela sequência dos números naturais, como a seguir se exemplifica. Determinar os divisores de 30 1 e 30 são divisores de 30 (a unidade e ele próprio) 30:2=15, então 2 e 15 são divisores de 30 30:3=10, então 3 e 10 são divisores de 30 30:4 não dá resto zero 30:5=6, então 5 e 6 são divisores de 30 30:6=5 (como 5<6, podemos parar) Os divisores de 30 são: 1, 2, 3, 4, 6, 10, 15 e 30 Este procedimento deve efetuar-se, sempre que possível, mentalmente. 2

3 Exercícios propostos 2. Determine os divisores de: a) 7 b) 40 c) 50 d) 25 e) Indique os divisores de 20 que são múltiplos de Qual é a soma de todos os divisores de 10? 5. Quantos divisores tem o número 8? Números primos e compostos Exercício resolvido Determine os divisores de: a) 6 b) 7 c) 15 d) 18 e) 19 Respostas a) 1, 2, 3, 6 b) 1, 7 c) 1, 2, 3, 5, 15 d) 1, 2, 3, 6, 9 18 e) 1, 19 Do exercício anterior podemos reparar que alguns números (7 e 19) têm apenas dois divisores. Números primos são os que têm (só) dois divisores. (Esses divisores são a unidade e o próprio número) Exemplos de números primos: 2, 7, 19, 23. Sugestão: Procure os seus divisores e verifique que são dois (a unidade e o próprio número). 3

4 Números compostos têm mais de dois divisores. Por exemplo, os números 6, 15 e 18 são compostos. (verifique, no exercício anterior, que têm mais de dois divisores). O número 1 não é primo nem composto. Os números compostos podem ser escritos como um produto de números primos, isto é, como o resultado da multiplicação de números primos. Exemplos: , , é composto e 2 e 3 são primos 15 é composto e 3 e 5 são primos 34 é composto e 2 e 17 são primos Nota: Nas multiplicações verifica-se o seguinte: ; 2 e 5 são divisores de 10; 10 é múltiplo de 2 e de ; 2, 5 e 4 são divisores de 40; 40 é múltiplo de 2, de 4 e de 5. Dois números dizem-se primos entre si se têm como único divisor comum a unidade. Nota: Esses dois números não têm que ser obrigatoriamente primos. Exercício resolvido Quais, dos pares de números seguintes, são primos entre si? a) 3 e 10 b) 10 e 15 c) 5 e 11 d) 4 e 27 Resolução a) Os divisores de 3 são 1 e 3. Os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10. O 3 e o 10 têm um divisor comum, o 1, logo são primos entre si. b) Os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10. Os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15. O 10 e o 15 têm dois divisores em comum, o 1 e o 5, então não são primos entre si. c) Os divisores de 5 são 1 e 5. Os divisores de 11 são 1 e 11. O 5 e o 11 têm como divisor comum apenas o 1, então são primos entre si. d) Os divisores de 4 são 1, 2 e 4. Os divisores de 27 são 1, 3, 9 e 27. O 4 e o 27 têm como divisor comum apenas o 1, então são primos entre si. 4

5 Notas Não confunda números primos com números primos entre si. Um número diz-se primo se tem (apenas) dois divisores. Dois números dizem-se primos entre si se têm como único divisor comum a unidade. Dois números primos são sempre primos entre si, pois os divisores de cada um são a unidade e eles próprios, (que são diferentes) logo o único divisor comum é a unidade. Dois números primos entre si podem não ser primos. Veja no exercício anterior: a) 3 é primo e 10 não é, mas são primos entre si. d) 4 e 27 não são primos, mas são primos entre si. Exercícios propostos. 6. Considere os números: 5, 9, 10, 11 e 16. a) Determine os divisores de cada um deles. b) Quais são números primos e quais são números compostos. Justifique a sua resposta. c) Assinale com uma cruz os pares de números que são primos entre si: 5 e 10 9 e e e 16 Resolução 5

6 Soluções dos exercícios propostos 1. a) Deve indicar três dos seguintes números: 10, 15, 20, 25 b) 0, 10, 20, 30, 40 c) 0, 7, 14, 21, 28 d) 24 e 32 e) 6 2. a) 1,7 b) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 c) 1, 2, 5, 10, 25, 50 d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, , 10, ( =18) 5. 4 (são 1, 2, 4 e 8) 6) a) Divisores de 5: 1 e 5; divisores de 9: 1, 3 e 9; divisores de 10: 1, 2, 5 e 10 Divisores de 11: 1 e 11; divisores de 16: 1, 2, 4, 8 e 16 b) Primos: 5 e 11 (têm dois divisores); compostos: 9, 10 e 16 (têm mais de dois divisores). c) 9 e10; 11 e

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Recordando operações básicas 01. Calcule as expressões abaixo: a) 2254 + 1258 = b) 300+590 = c) 210+460= d) 104+23 = e) 239 54 = f) 655-340 = g) 216-56= h) 35 x 15 = i) 50 x 210 = j) 366 x 23 = k) 355

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