Apontamentos de Matemática 6.º ano

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Luiz Fernando Tomé de Oliveira
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1 Revisão (divisores de um número) Os divisores de um número são os números naturais pelos quais podemos dividir esse número de forma exata (resto zero). Exemplos: Os divisores de 4 são 1, e 4, pois se dividirmos 4 por 1, por e por 4 obtemos resto zero. 4: 1 = 4, 4: =, 4: 4 = 1. Se dividirmos 4 por qualquer outro número natural, não vamos obter resto zero: 4: 3 = 1, e tem resto 1. Se dividirmos 4 por números maiores que 4 também vamos obter restos diferentes de zero. Os divisores de 3 são 1 e 3, os divisores de 10 são 1,, 5 e 10. Exercício resolvido Determine os divisores de: a) 5 b) 9 c) 11 d) 15 e) 0 Respostas: a) 1 e 5 b) 1, 3 e 9 c) 1 e 11 d) 1, 3, 5 e 15 e) 1,, 4, 5, 10 e 0 Vamos observar atentamente as respostas e recordar alguns conhecimentos do 5.º ano. - 1 é divisor de todos os números naturais. (se dividirmos qualquer número por 1 obtemos resto zero) - Qualquer número natural é divisor de si próprio. (neste caso o quociente é a unidade e o resto é zero). - Um número natural é múltiplo dos seus divisores. (se, por exemplo, 3 é divisor de 1, então 1 é múltiplo de 3). Voltemos ao exercício, e reparemos que alguns números têm dois (e só dois) divisores: são eles o 3, 5 e 11. Estes números têm um nome: números primos. Definição Um número é primo se tem dois (e só dois) divisores. Definição Um número é composto se tem mais de dois divisores. O número 1 não é primo nem composto tem um único divisor que é ele próprio. 1

2 Exercícios propostos 1. Determine os divisores de: a) 6 b) 10 c) 13 d) 15 e) 0 f) 3 g) 30. Em relação ao exercício anterior indique quais são os números primos e quais são os números compostos. Decomposição de um número em fatores primos. Observe os exemplos seguintes. 10 = 5, Como e 5 são números primos, 10 está escrito como um produto de números primos ou, está decomposto em fatores primos. 0 = 4 5, Como 4 não é número primo, substituímos 4 por um produto de números primos. 0 = 5 Assim 0 está decomposto em fatores primos. Nota (recorde dos anos anteriores). Produto é o resultado de uma multiplicação e os números que se multiplicam chamam-se fatores. Um número está decomposto em fatores primos quando está escrito como um produto de número (fatores) todos primos. Exemplos: 30 = 3 5 Como, 3 e 5 são números primos, 30 está decomposto em fatores primos. 40 = 3 5 Como e 5 são números primos, 40 está decomposto em fatores primos. 50 = 10 5 Como 10 não é número primo, 50 não está decomposto em fatores primos. Mas se substituirmos 10 por 5, vem, 50 = 5 5 = 5, e assim 50 já está decomposto em fatores primos.

3 Como decompor um número em fatores primos? Em alguns casos podemos fazê-lo mentalmente, como 6 = 3 ou 15 = 3 5 Vamos decompor o 18 em fatores primos: 18 = 6 3 = 3 3 = 3 Começámos por 18 = 6 3, mas como 6 não era primo, substituímo-lo pelo produto de dois números primos. Este método pode ser trabalhoso para alguns números. Então vamos ver um procedimento para decompor números naturais em fatores primos. Nota: Há v de fazer, vamos ver aqui apenas uma. O esquema seguinte mostra uma forma de decompor o número 18 em fatores primos. 1) Escreve-se o 18 e traça-se uma linha vertical. ) Divide-se 18 pelo menor número primo que é seu divisor ( que é colocado à sua direita). 3) Coloca-se o resultado da divisão (9) debaixo do 18. 4) Divide-se esse resultado (9) pelo menor primo que é seu divisor (3 que é colocado à direita). 5) Coloca-se o resultado debaixo do 9. 6) Divide-se esse resultado (3) pelo menor primo (3 que é colocado à sua direita). Quando o resultado for a unidade (1) o processo termina. A coluna da direita são os fatores primos, então, 18 = 3 3 = 3 Na prática faz-se um único esquema. Veja os exemplos da decomposição dos números 0, 63 e = 5, 63 = 3 7, 135 =

4 Exercícios propostos 3. Decomponha em fatores primos os seguintes números: a) 30 b) 1 c) 36 d) 150 e) 350 f) 45 g) 40 h) Complete as seguintes decomposições em fatores primos. a) c) b) d) Exercício resolvido Considere os números A e B decompostos em fatores primos: A = B = 3 5 a) Qual é o quociente da divisão de A por, por 4, por 5 e por 7? b) Explique por que, 6, 9 e 5 são divisores de B. c) Escreva a decomposição em factores primos de A B, A e 4 B Resolução a) A: = 5 7 = = 700 A: 4 = 5 7 = = 350 A: 5 = = = 80 A: 7 = 5 = 4 5 = 100 b) e 5 encontram-se na decomposição de B 6 = 3 e 9 = 3 e 3 e 3 estão na decomposição de B. c) A B = = A = = B = = 3 5 =

5 Exercícios propostos 5. Considere A = 3 5 e B = a) Qual é o quociente da divisão de A por 3? b) Qual é o quociente da divisão de B por 15? c) Decomponha em fatores primos A e 5 B. d) Qual é o menor e qual é o maior fator primo da decomposição de B? e) Explique, sem efetuar cálculos, que A não é um número par, mas é divisível por Associe cada número à sua decomposição em fatores primos. Números: 84, 96, 135, 98 Decomposições: 5 3, 7, 3 7, A decomposição de um número em fatores primos é 3 5. a) Justifique que esse número é par. b) Justifique que 10 é divisor desse número. c) Escreva a decomposição em fatores primos de um múltiplo desse número maior do que ele. 8. Decomponha em fatores primos: a) 1 5 b) Complete os seguintes esquemas referentes à decomposição de números em fatores primos. 10. Qual das seguintes expressões apresenta a decomposição do número 00 em fatores primos?

6 Soluções dos exercícios propostos 1. a) 1,, 3, 6 b) 1,, 5, 10 c) 1, 13 d) 1, 3, 5, 15 e) 1,, 4, 5, 10, 0 f) 1, 3 g) 1,, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Números primos: 13 e 3 (têm dois divisores) Números compostos: 6, 10, 15, 0, 30 (têm mais de dois divisores) 3 a) 3 5 b) 3 c) 3 d) 3 5 e) 7 f) 5 7 g) 3 5 h) a) b) 3 c) 5 d) 5 5. a) 3 5 = 15 b) 7 = 49 c) A = 3 5, 5 B = = d) Menor: 3, Maior: 7 e) A não é par (não é divisível por ) pois o não se encontra na sua decomposição. A é divisível por 3, pois 3 encontra-se na sua decomposição. 6) 84 = 3 7, 96 = 5 3, 135 = 3 3 5, 7 7. a) Como encontra-se na sua decomposição, é divisível por, logo é par. b) 5 = 10 encontra-se na sua decomposição, logo é divisível por 10. c) = (por exemplo). 8. a) 1 5 = 3 5 b) 6 9 = 3 3 =

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