CAPÍTULO 1 MÚLTIPLOS E DIVISORES

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2 Matemática e Raciocínio Lógico Damares Pavione Capítulo Múltiplos e divisores CAPÍTULO MÚLTIPLOS E DIVISORES. NÚMERO PRIMO Um número será primo quando não for divisível por nenhum outro número além de e ele mesmo. Por exemplo, o número só é divisível por e por, portanto, é primo. Observação: o número não é um número primo. Os primeiros números primos são fáceis de serem identificados. São eles: ; ; ; 7; ; ; 7; 9; ; etc.. FATORAÇÃO EM NÚMEROS PRIMOS Todo número não primo pode ser decomposto em números primos. A esta decomposição chamamos de fatoração em números primos. Para exemplificar, vamos fatorar o número 40. Busca-se o menor número, maior que, que divida o número 40 e que a divisão não tenha restos, ou seja, que o quociente (resultado da divisão) seja um número inteiro. Neste caso foi o número. Este número encontrado para a divisão será um número primo. Realizada a divisão do número 40 por (40 = 0), busca-se agora o menor número primo que dividirá o número 0 sem deixar restos. (0 = 0). Repete-se este processo até chegar ao número A decomposição do número 40 em números primos será: 40 = 7. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Em muitos cálculos precisamos saber se um número é divisível por outro ou não.

3 CORREIOS Doutrina Volume Único É possível estabelecer algumas regras práticas para detectarmos um divisor. Conhecer os principais critérios de divisibilidade auxilia, por exemplo, ao realizar a fatoração em números primos. Atente-se principalmente aos critérios de divisibilidade por ; ; 4 e. Estes critérios são os mais usuais e requeridos nas operações. A Divisibilidade por Um número é divisível por quando ele é par. Exemplo: ; 8; 8; 46. B Divisibilidade por Para ser divisível por, a soma dos algarismos que formam um determinado número tem que ser divisível por. Exemplos: = 9 9 é divisível por, então, 4 também é divisível por = Novamente testa-se o número quanto à divisibilidade por. + = é divisível por ele mesmo. Assim, 4 é divisível por. C Divisibilidade por 4 Para detectar um número divisível por 4, é necessário que o número formado pelos dois algarismos da direita do número em questão, seja divisível por 4, ou quando o número terminar em 00. Veja os exemplos. 00 é divisível por 4, pois termina em 00; 6 é divisível por 4, pois termina em, que é divisível por 4. D Divisibilidade por Para ser divisível por basta o número terminar em 0 ou. Exemplo: ; 90; 60. E Divisibilidade por 6 Quando um número é divisível por e por ao mesmo tempo, este também é divisível por 6. Confira os exemplos. 864 é divisível por, pois é par. É divisível por, pois = 8, e 8 é divisível por. Logo, 864 é divisível por 6. 8 é divisível por, pois é par. Entretanto, não é divisível por, pois 8 + = 0, e 0 não é divisível por. Assim, 8 não é divisível por 6.

4 Matemática e Raciocínio Lógico Damares Pavione Capítulo Múltiplos e divisores F Divisibilidade por 8 Para um número ser divisível por 8, é necessário que ele termine em 000, ou que o número formado pelos três últimos algarismos seja divisível por 8. Exemplos: 000 é divisível por 8, pois termina em é divisível por 8, pois os três últimos algarismos são 064 e, 64 é divisível por 8. G Divisibilidade por 9 Semelhante ao que ocorre no critério de divisibilidade por, para reconhecer-se um número divisível por 9, basta a soma dos algarismos ser um número divisível por = 8 8 é divisível por 9, então, 89 é divisível por 9. H Divisibilidade por 0 É o critério mais reconhecido. Basta o número terminar em zero e ele será divisível por 0. Exemplo: 70; 0; MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Para obtermos os múltiplos de um número, basta multiplicarmos este número por números inteiros. Um número tem infinitos múltiplos. Observe que o zero é múltiplo de todos os números, e que um número é sempre múltiplo dele mesmo. Os múltiplos do número estão descritos a seguir. 0; ; 0; ; 0; ; 0; etc.. 0 = 0 = = 0 = 4 = 0 = 6 = 0 Agora observe a sequência dos múltiplos de e de 4 Múltiplos de : 0; ; 0; ; 0; ; 0; ; 40; 4; etc... Múltiplos de 4: 0; 4; 8; ; 6; 0; 4; 8; ; 6; 40; 44; etc... Há alguns múltiplos de 4 que também aparecem na lista dos múltiplos de. Como o 0 e o 40. Dizemos que estes são múltiplos em comum entre 4 e. Ao primeiro múl-

5 4 CORREIOS Doutrina Volume Único tiplo comum chamamos de MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC). Neste caso, o MMC entre 4 e é igual a 0. Os problemas que exigem o uso de Mínimo Múltiplo Comum (MMC), em geral, envolvem situações cíclicas, que ocorrem de tempo em tempo. Demonstraremos a seguir dois métodos de se encontrar o MMC entre dois ou mais números e em seguida, através das questões resolvidas, exporemos o uso do MMC. A Método para encontrar MMC entre dois ou mais números ( método) MMC entre os números ; 0 e 40: Busca-se o menor número maior que (que será um número primo), que divida pelo menos um dos três números (com quociente inteiro). Neste caso foi o número. ; 0; 40 Divide-se então, os números 0 e 40 por e repete-se o número, pois ele não é divisível por. ; 0; 40 ; ; 0 Analisa-se novamente para encontrar o menor número que divida pelo menos um dos números à esquerda. Novamente escolhemos o que divide pelo menos um dos três números. Repete-se os dois números. ; 0; 40 ; ; 0 ; ; 0 Repete-se este processo até que todos os números cheguem ao número. ; 0; 40 ; ; 0 ; ; 0 ; ; ; ; ; ; O MMC será o resultado da multiplicação dos números à direita da barra. = 0 MMC (; 0; 40) = 0

6 Matemática e Raciocínio Lógico Damares Pavione Capítulo Múltiplos e divisores B Método para encontrar MMC entre dois ou mais números ( método) MMC entre os números ; 0 e 40: Outra maneira de se encontrar o MMC é: Realizar a fatoração dos números desejados; Reunir os números iguais, colocando-os sob a forma de potências, e; Em cada número fatorado retirar os números de maior expoente ³ Os números que apareceram nas fatorações foram: Número : apareceu na fatoração dos números e 0, ambos com expoente igual a. Número : apareceu nas três fatorações. Em todas as três com expoente igual a. Número : apareceu nas fatorações dos números 0 e 40, com expoentes iguais a e a, respectivamente. Agora, selecionam-se todos os números que aparecem nas fatorações. Quando o número aparece em mais de uma fatoração, seleciona-se o de maior expoente. Os números de maiores expoentes são: ³ = 0 MMC (; 0; 40) = 0 Sobre o tema, a banca examinadora propôs a seguinte questão no concurso para Agente dos Correios Carteiro em 0: Em um bairro onde as casas foram todas construídas de acordo com um projeto padrão, os lotes têm metros de frente, em cada lote a caixa de correspondências fica sempre na mesma posição e os postes de iluminação pública são espaçados em 0 metros. O carteiro que entrega correspondências nesse bairro percebeu que a caixa de correspondências da primeira casa de uma rua bastante longa fica exatamente atrás de um poste de iluminação. Nesse caso, caminhando nessa rua e desconsiderando os possíveis espaços entre dois lotes vizinhos, até que encontre a próxima caixa de correspondências atrás do poste de iluminação, o carteiro deverá percorrer uma distância igual a: 00 metros. RESOLUÇÃO Foi dito que as caixas de correspondência ficam sempre na mesma posição do lote. Logo, podemos concluir que a distância entre as caixas é sempre de metros.

7 6 CORREIOS Doutrina Volume Único Sabemos também que os postes de iluminação distam 0 metros um do outro. Um poste de iluminação irá coincidir com uma caixa de correspondência nos múltiplos em comum entre e 0. Como foi questionado o encontro mais próximo entre poste e caixa, temos que encontrar o primeiro múltiplo em comum, o MMC entre e 0. ; 0 6; ; ; ; ; MMC (; 0) = MMC (; 0) = 00 A caixa de correspondência se encontrará exatamente atrás do poste de iluminação a cada 00 metros. Ainda sobre o tema, a seguinte questão foi proposta pela banca examinadora no concurso para Agente dos Correios Atendente Comercial em 0: Considere que carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as carretas partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após: 60 dias. RESOLUÇÃO Para descobrirmos o dia que os três caminhões se encontrarão precisaremos achar um múltiplo comum entre 4; e 6. Como desejamos saber o próximo dia em que elas se encontrarão, temos que achar o Mínimo Múltiplo Comum. Vamos encontrar o MMC através do segundo método. 4 ² 6 MMC (4; ; 6) = ² x x MMC (4;;6) = 60 Os caminhões voltarão a partir juntos após 60 dias.

8 Matemática e Raciocínio Lógico Damares Pavione Capítulo Múltiplos e divisores 7 Observe mais uma questão proposta pela banca examinadora no concurso para Agente de correios Operador de Triagem e Transbordo no ano de 0: Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B para presentear seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 40 g e um do tipo B, 0 g. Os catálogos foram organizados em pacotes, contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo. Com base nas informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes tiverem o mesmo peso e se esse peso for inferior a 0 kg, então cada pacote pesará: 8,4 Kg. RESOLUÇÃO O peso dos pacotes será formado por múltiplos de 40 g e 0 g. Os pacotes terão 40 gramas vezes o número de catálogos, ou 0 gramas vezes o número de catálogos. Perceba que não foi dito que os pacotes possuem o mesmo número de catálogo, apenas que possuem o mesmo peso. Assim, temos que encontrar um múltiplo comum entre 40 e 0 menor que 0 quilos, ou seja, menor que gramas. VEJA O CAPÍTULO DE UNIDADES DE MEDIDAS. Vamos começar pelo primeiro múltiplo comum, o mínimo múltiplo comum. 40; 0 0; 7 60; 7 0; 7 ; 7 ; 7 ; ; 7 : 7 MMC (40; 0) = 7 MMC (40; 0) = 8400 O primeiro múltiplo comum entre 40 e 0 é 8.400, que é menor que gramas. Estes dois números terão múltiplos em comum a cada O próximo múltiplo comum será gramas, que ultrapassam os 0 quilos. Assim, sabemos que os pacotes pesarão 8,4 quilos, ou gramas.. MÁXIMO DIVISOR COMUM Os divisores de um número são aqueles que quando dividem o número em questão resultam em um quociente inteiro, sem restos.