- Dizemos que um número é divisor de outro quando o resto da divisão é igual a zero. Ex.: 5 é divisor de 30, pois 30: 5 = 6 e o resto é 0.

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1 Noções conceituais MDC - Dizemos que um número é divisor de outro quando o resto da divisão é igual a zero. Ex.: 5 é divisor de 30, pois 30: 5 = 6 e o resto é 0. - Todo número natural é produto de dois números naturais. Ex.: 10 = 2 X 5 - Os fatores de um número natural são seus divisores. Ex.: 2 e 5 são divisores de O conjunto dos divisores de um número é finito. Ex.: D10 = (1, 2, 5 e 10) - O 1 é divisor de todos os números naturais. Ex.: 10 : 1 = 10; 18 : 1 = O maior divisor de um número é ele mesmo. Ex.: D6 = (1, 2, 3 e 6). - Há números que possuem vários divisores, e outros, só dois. Esses números que só são divisíveis por 1 e por ele mesmo chamam-se números primos. Ex.: D 7 = (1 e 7) primo: D19 = (1 e 19) primo. - O número 2 é o único número par que é primo. Ex.: D2 = (1 e 2). 1 / 8

2 - Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Ex: os divisores comuns de 12 e 18 são: 1, 2, 3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c. (12, 18) = 6. - O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m. d.c. - Podemos calcular o m.d.c de várias maneiras. Uma delas é por meio da decomposição desses números em fatores primos. Veja o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3; 90 = 2 x 3 x 3 x 5. - O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns: m.d.c. (36, 90) = 2 x 3 x 3. Portanto m.d.c. (36, 90) = A fatoração do número na forma de potência é a seguinte: 36 = 22 x 32 ; 90 = 2 x 32 x 5. - O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. Portanto m.d.c. (36, 90) = 2 x 32 = Outra maneira de calcular o m.d.c. é pelo processo das divisões sucessivas. Para isso, efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. Veja o cálculo do m.d.c. (48, 30): 2 / 8

3 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18) 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. O divisor dessa divisão é o m.d.c. Então m.d.c. (48, 30) = 6. - Veja agora, mais uma maneira de calcular o m.d.c. através dos números primos: Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21)= 7. - Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. Exemplos: Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Nesse caso, 6 é o m.d.c.(6, 18, 30): 6 = 2 x 3 18 = 2 x = 2 x 3 x 5. Portanto m.d.c. (6, 18, 30) = 6. Exercícios 1. Ache os divisores dos números: 3 / 8

4 D2 = (...) D3 = (...) D4 = (...) D5 = (...) D6 = (...) D7 = (...) D8 = (...) D9 = (...) D10 = (...) 2. Dentre os números decompostos: a) quais admitem apenas dois divisores?... b) quais admitem mais de dois divisores? Qual é o único número par que tem só dois divisores? Como ele é chamado? Você sabia que o grego Eratóstenes, que viveu antes de Cristo, organizou uma tábua só de números primos, que ficou conhecida como Crivo de Eratóstenes? Vamos construir uma tábua igual à dele? - Para achar os números primos até 100 vamos observar nossa tabela. b) Elimine o 1 com um corte ( / ) 4 / 8

5 c) Elimine agora os múltiplos de 2, menos ele, ou todos os números pares. d) Elimine todos os múltiplos de 3, menos ele. e) Elimine todo os múltiplos de 5, menos ele. f) Por último, elimine todos os múltiplos de 7. Você encontrou todos os números primos até 100, que são os que não foram cortados. g) Escreva todos os números primos até 100: Conclua então a definição: Número primo é aquele que só tem Ache todos os divisores dos números: D12 = (...); D18 = (...). Divisores comuns = (...) O maior divisor comum mdc entre os D12 e D18 = (...) 7. Responda. a) Podemos conhecer todos os divisores de um número? Por quê?... - Qual é o maior divisor de um número? O prefeito de uma cidade do interior mandou colocar árvores em toda volta da praça. A praça mede 150 metros de comprimento por 100 metros de largura. Qual poderá ser a maior e a menor distância entre as árvores? 9. Quantas árvores deverão ser plantadas guardando uma distância mínima superior a 2 metros? Faça o desenho da praça e calcule, sabendo que as árvores serão plantadas ao redor da praça. 5 / 8

6 10. Descubra. Se 28 é divisível por 2? Sim ( ) Não ( ) Por quê?... O que o número 28 é do número 2?... O que o número 2 é do número 28?... Dê todos os divisores de 28. D28 = (...) Respostas Exercícios 1. Ache os divisores dos números: D2 = (.. 1, 2...) D3 = (...1, 3...) D4 = (...1, 2, 4...) D5 = (...1, 5...) D6 = (...1, 2, 3, 6...) D7 = (...1, 7...) D8 = (...1, 2, 4, 8...) D9 = (...1, 3, 9...) D10 =(..1, 2, 5, 10...) 2. Dentre os números decompostos: c) quais admitem apenas dois divisores?...2, 3, 5 e 7 d) quais admitem mais de dois divisores?...4, 6, 8, 9 e Qual é o único número par que tem só dois divisores? Como ele é 6 / 8

7 chamado?...é o 2. Ele é chamado de número primo 4. Você sabia que o grego Eratóstenes, que viveu antes de Cristo, organizou uma tábua só de números primos, que ficou conhecida como Crivo de Eratóstenes? Vamos construir uma tábua igual à dele? a. Para achar os números primos até 100 vamos observar nossa tabela. b. Elimine o 1 com um corte ( / ) c. Elimine agora os múltiplos de 2, menos ele, ou todos os números pares. d. Elimine todos os múltiplos de 3, menos ele. e. Elimine todo os múltiplos de 5, menos ele. f. Por último, elimine todos os múltiplos de 7. Você encontrou todos os números primos até 100, que são os que não foram cortados. g. Escreva todos os números primos até 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 1 9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, Conclua então a definição: número primo é aquele que só tem dois divisores, o 1 e ele mesmo Ache todos os divisores dos números: D12 = (...1, 2, 3, 4, 6, 12); D18 = (...1, 2, 3, 6, 9, 18). Divisores comuns = (1, 2, 3, 6). O maior divisor comum mdc entre os D12 e D18= (.6.) 7. Responda. a) Podemos conhecer todos os divisores de um número? Por quê?..sim, porque o conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito... b) Qual é o maior divisor de um número?. É ele mesmo... 7 / 8

8 8. O prefeito de uma cidade do interior mandou colocar árvores em toda volta da praça. A praça mede 150 metros de comprimento por 100 metros de largura. Qual poderá ser a maior e a menor distância entre as árvores? D150 = (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150). D100 = (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100). Divisores comuns = (1, 2, 5, 10, 25, 50). A maior distância entre as árvores poderá ser de 50 metros, e a menor de 1 ou 2 metros. 9. Quantas árvores deverão ser plantadas guardando uma distância mínima superior a 2 metros? Faça o desenho da praça e calcule, sabendo que as árvores serão plantadas ao redor da praça. O perímetro da praça é de 500 metros ( ). O divisor comum superior a 2 é o 5, portanto essa será a distância entre as árvores. 500 metros: 5 = 100 árvores. 10. Descubra. Se 28 é divisível por 2? Sim ( x ) Não ( ) Por quê?. Porque ele é par. O que o número 28 é do 2?...Múltiplo... O que o número 2 é do 28?...Divisor... Dê todos os divisores de 28. D28 = (1, 2, 4, 7, 14, 28). 8 / 8