MÚLTIPLOS E DIVISORES. 8. um número natural, com exceção do zero é simultaneamente múltiplo e divisor de si mesmo.

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1 Critérios de Divisibilidade MÚLTIPLOS E DIVISORES MÚLTIPLO Um número natural é múltiplo de um outro, quando a sua divisão por esse outro é exata. Assim, é múltiplo de e de, pois: = = Múltiplo de um número é o produto desse número por um número natural qualquer. Dessa forma, para se obter os múltiplos de um número, basta multiplicá-lo pelos termos da seqüência natural dos números. Como essa seqüência é ilimitada, conclui-se que: a) todo número tem uma infinidade de múltiplos; b) excluindo o zero, o menor múltiplo de um número é o próprio número. Exemplos: I) o conjunto dos múltiplos de são: M() = {0,, 4, 6, 8, 0,... } II) o conjunto dos múltiplos de são: M() = {0,, 0,, 0,... } DIVISOR Um número natural é divisor de outro, quando ele divide esse outro exatamente, isto é, sem deixar resto. Se um número é divisor de outro, dizemos que o outro é múltiplo dele. Ex.: a) é divisor de 6, pois 6 é múltiplo de. b) é divisor de 0, pois 0 é múltiplo de. Os divisores de um número formam sempre um conjunto finito. Exemplo: O conjunto dos divisores de 4 são: D(4) = {,, 4} O conjunto dos divisores de são: D() = {,,, } Observações:. o é divisor de qualquer número natural.. o zero é múltiplo de qualquer número natural.. o zero não é divisor de nenhum número natural. 4. o maior divisor de um número natural é ele mesmo.. não existe o maior múltiplo de um número natural. 6. o menor divisor de um número natural é.. o menor múltiplo de um número natural é um número natural, com exceção do zero é simultaneamente múltiplo e divisor de si mesmo. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Vamos estudar neste capítulo macetes para podermos verificar quando o número é ou não divisível por outro, sem fazermos a respectiva divisão. DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por quando termina em 0,, 4, 6 e 8, ou seja, for par. o número 4 é divisível por, pois termina em 4. DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por quando o algarismo das unidades é 0 ou (ou quando termina em zero ou ). 0 é divisível por, pois termina em 0. é divisível por, pois termina em. DIVISIBILIDADE POR 0 Um número é divisível por 0 quando os algarismos das unidades é 0 (ou quando termina em 0). 00 é divisível por 0, pois termina em 0. DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por é divisível por 4, pois termina em é divisível por 4, pois 6 é divisível por 4. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por é divisível por 8, pois termina em é divisível por 8, pois 6 é divisível por 8. DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é um número divisível por. o número é divisível por, pois + + = 6 e 6 é divisível por. DIVISIBILIDADE POR 9

2 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. 8 é divisível por 9, pois 8 + = 9 é divisível por 9, pois + + = 9 é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6 quando o mesmo é divisível por e por simultaneamente. 4 é divisível por 6, pois 4 e por simultaneamente. DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por quando for é divisível por e por 4 ao mesmo tempo. 960 é divisível por, pois é divisível por e 4 simultaneamente. DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por quando for é divisível por e por ao mesmo tempo. 960 é divisível por, pois é divisível por e simultaneamente. Os divisores (N) de 60 são:,,, 4,, 6, 0,,, 0, 0 e 60. Em Z, os divisores de 60 são:,,, 4,, 6, 0,,, 0, 0 e 60 Número Composto Um número natural, maior que, que tem mais de dois divisores é um número composto. 9 e são números compostos porque têm mais de divisores. Números Primo Em N para que um número seja primo só pode apresentar como divisores a unidade e ele próprio ( divisores). Portanto, são primos:,,,,,,, 9,, 9... Conjunto dos Divisores de um Número Se levamos em consideração o número, sabemos que ele pode ser dividido exatamente por, por, por, por 4, por 6 e por ele mesmo. Sendo assim, dizemos que o conjunto dos divisores de é o seguinte: D() = {,,, 4, 6, } Quando um número só é divisível por ele mesmo e por (um), dizemos, então, que o número é primo. Os primeiros números primos são os seguintes: {,,,,,,, 9,, 9,,...} Obs.: quando o número tem mais de dois divisores (além do e dele mesmo), ele é chamado de composto. Decompondo um Número Composto em Fatores Primos Decompor um número composto significa fatorar este número. Vamos entender melhor isto observando o exemplo que segue: Ex.: Fatorar o número 90. Solução: dividimos 90 sucessivamente pelos seus divisores primos. Os divisores são colocados à direita do traço vertical e os quocientes obtidos à esquerda. Observe: = 4. Este resultado (4) é colocado logo abaixo do 90. A seguir, divide-se 4 por, dando como resultado, que por sua vez é colocado abaixo do 4 e assim sucessivamente até chegar em (um). AGORA É SUA VEZ: Fatore os seguintes números a) 08 c) 6 b) 490 d) 44 Obtenção dos Divisores de um Número Vamos ver como se determina o conjunto dos divisores de um número natural qualquer. Para tanto, acompanhe com atenção a resolução do exemplo que segue: Ex.: Determinar o conjunto dos divisores do número 4. Solução: o processo é o seguinte: º) Fatoramos o número dado: 4 º) Anotamos o número, que é divisor de todos os números. 4 º) Multiplicamos o primeiro fator primo pelo e anotamos o resultado = x x Forma Fatorada

3 4º) Multiplicamos o próximo fator primo pelos divisores já obtidos e anotamos os resultados. (Não se repetem resultados). 4, 6 º) Multiplicamos o próximo fator primo pelos divisores já obtidos e anotamos os resultados. 4, 6, 4,, 4 AGORA É SUA VEZ: Determine os divisores dos seguintes números: a) 0 c) b) 4 d) 4 O Maior Divisor Comum (MDC) de Números Naturais Podemos Calcular o MDC de duas formas: através do Método das Divisões Sucessivas (mais conhecido como Jogo da Velha ), ou aplicando a definição matemática de MDC, que diz: Obs.: quando tivemos mais de dois números, calculamos o MDC dos dois maiores e, em seguida, calcula-se MDC do resultado obtido e do último número. Ex.: Determine o MDC dos números 90 e 08. Solução: aplicando a definição matemática de MDC, faremos assim: º) fatoram-se os números dados; º) tornam-se os fatores primos comuns, cada um elevado ao menor expoente; º) o produto desses fatores é o MDC procurado O MDC será o produto dos fatores comuns elevados aos menores expoentes = x x 08 = x MDC (90, 08) = x = x 9 = 8 Fatores primos comuns com os menores expoentes. AGORA É SUA VEZ: Determine o MDC dos seguintes números: a) 60 e 4 b) 90 e 4 c) 6, 4 e 8 O Menor Múltiplo Comum (MMC) de Números Naturais Podemos da mesma forma que ocorreu com MDC, calcular o MMC de duas maneiras: através da decomposição (fatoração) simultânea dos números ou aplicando a definição matemática de MMC, que diz: O MMC será o produto dos fatores comuns elevados aos maiores expoentes e dos não-comuns Ex.: Calcule o MMC dos números e 0. Solução: Se aplicarmos a definição matemática de MMC devemos fazer assim: º) Fatoram-se os números dados; º) Tomam-se os fatores comuns elevados aos maiores expoentes e também os nãocomuns. º) O MMC será o produto de todos este fatores mencionados acima. 6 = x 0 0 = x MMC (, 0) = x x = 4 x x = 00 Fator comum Fatores nãocomuns com maio expoente Ex.: Calcule o MMC de 40, 0 e Solução: para aplicar o método da decomposição simultânea, faz-se assim: º) fatoram-se simultaneamente os números dados; º) multiplicam-se os fatores primos obtidos; º) o resultado desta multiplicação é o MMC. 40, 0, 0,, 0,,,,,,,,,, MMC (40, 0, ) = x x = 8 x x = 600. Mínimo múltiplo comum (MMC) Dados dois números inteiros positivos, a e b, o MMC (a, b) é o menor número que é múltiplo de a e de b ao mesmo tempo. Decompomos ambos os números, simultaneamente, desta forma, já se obtém os

4 fatores comuns e os não comuns com os maiores expoentes. Ex: Calcule o mmc de 60 e 6. Ex: Calcule o mmc de (4, 0, 8). Máximo Divisor Comum Decompomos em fatores primos todos os números simultaneamente, desde que o fator primo divida todos os números ao mesmo tempo. O produto dos fatores primos já nos fornece o MDC. Ex: MDC (0, 0) Ex: MDC (60, 6) Ex: MDC (90,, 4) 0 Em quatro salas de aula de uma escola há, respectivamente, 60, 48, 6 e 4 alunos. Em Quantas equipes podemos agrupar esses alunos de mesma sala, de modo que cada equipe tenha o mesmo e o maior número possível de alunos? Solução: MDC (60, 48, 6 e 4) = nº de alunos em cada equipe 60, 48, 6, 4 0, 4, 8,,, 9, 6, 4,, MDC = x x = alunos por equipe nº de equipes: = 4 0 Quatro ciclistas, A, B, C e D partem juntos para dar uma volta em torno de um quarteirão do bairro onde moram, eles completam o percurso respectivamente em 60, 48, 6 e 4 minutos. Quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que estarão juntos no ponto de partida? Solução: MDC (60, 48, 6 e 4) = tempo entre os dois encontros 60, 48, 6, 4 0, 4, 8,,, 9, 6, 4,,,,,,,,,,,,,, 0 = voltas MDC = x x x x x x MDC = 0 minutos O mais lento dá uma volta em 60 min. 60 Exercícios de Sala 0 Ligando duas cidades há linhas de ônibus. A primeira realiza a viagem a cada dias, a segunda a cada dias e a terceira a cada dias. Suponha que hoje os ônibus das três linhas realizarão a viagem. Daqui a quantos dias esse fato ocorrerá novamente? 0 Dois corredores de bicicleta saem no mesmo instante do ponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em segundos e o outro em 0 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. 0 Três rolos de fita de 60 metros, 0 metros e 0 metros, respectivamente, devem ser divididos em pedaços iguais, de maior comprimento possível, de modo que não sobre nenhum pedaço de fila. Qual deve ser tamanho de cada pedaço? 04 Considere A = 4 x x, B = x x e C = 4 x x. Calcule: a) MDC (A, B) b) MMC (A, B, C) Relação entre MMC e MDC O produto de dois números naturais, diferentes de zero, é igual ao produto do MMC pelo MDC entre eles, isto é, MDC(a, b) x MMC(a, b) = a x b. Usando essa propriedade, resolva os problema: a) Qual é o produto de dois números naturais, sabendo-se que o MMC é 0 e o MDC é 0? Calcule o MDC(a, b), sabendo-se que a x b = 40 e o MMC(a, b) = 0. Exercícios Propostos. Um funcionário recebeu lotes de pastas para colocar num arquivo morto. O primeiro lote tinha 40 pastas; o segundo 60; o terceiro80. Ele deseja repartir os lotes em pacotes contendo todos a mesma quantidade de pastas e a maior quantidade de pastas possível. O número de pacotes que ele fará de: a) 6 d) b) 0 e) 8 c). Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida? a) 6 c) 8 e) 0 b) d) 9. Dividindo-se um número natural X por, obtém, quociente e o resto é o maior possível. Esse número X é: a) menor que centena b) maior que centenas c) igual a centenas

5 d) quadrado perfeito e) cubo perfeito 4. Um fabricante de palito de fósforo acondicionou uma certa quantidade de palitos em dúzias de caixas, cada uma contendo 80 palitos. Se como medida de economia resolvesse colocar 96 palitos em cada caixa, a quantidade de caixas que economizaria seria: a) uma dezena c) uma dúzia b) meia dúzia d) uma dúzia e meia. Quais os números primos que são divisores de 0? a) 0,,,, d),, b),,, e),, c),, 8 6. Quantos divisores positivos têm o número 6? a) c) 0 e) b) 6 d). Um número formado de três algarismos é divisível por 6. Se o algarismo das centenas é 4, o algarismo das dezenas é, então o algarismo das unidades deve ser: a) c) e) b) d) 6 8. Das opções abaixo, assinale a que é divisível ao mesmo tempo por, e : a).060 d).800 b).0 e).00 c) Saem do porto de Santos, navios Argentinos de 6 em 6 dias, os do Uruguai de 4 em 4 dias. Se num dia saírem dois navios desses países que tempo demorará para saírem juntos outras vez? a) 0 c) e)4 b) d) 0. Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo: os senadores, 6 anos e os deputados, anos. Nessa república houve eleição para os três cargos em 989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em: a) 99 c) 00 e) 00 b) 999 d) 00. Três peças de tecidos iguais possuem respectivamente 48m, 60m e m. Precisam ser cortadas em pedaços iguais e do maior tamanho possível. O Tamanho de cada pedaço e o número de pedaços, são respectivamente iguais a: a) 0 e 0 c) e e) e b) e d) e. Um funcionário arquivou um lote de com 0 processos e outro com 60, da seguinte maneira: os do primeiro lote na estante A e os do segundo lote na B. utilizou o menor número possível de prateleiras; colocou o mesmo número de processos em cada prateleira utilizada. Nessas condições, é verdade que: a) utilizou um total de prateleiras. b) utilizou 9 prateleiras da estante A. c) utilizou 0 prateleiras da estante B. d) colocou exatamente 0 processos em cada prateleira. e) colocou 4 processos em cada prateleira.. Duas pessoas, fazendo seus exercícios diários, partem de um mesmo ponto e contornam, andando, uma pista oval. Uma dessas pessoas anda de forma mais acelerada e dá uma volta completa na pista em minutos, enquanto a outra leva 0 minutos para completar a volta. Depois de quanto tempo essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida e quantas voltas terá dado cada uma das pessoas? a) 60 min, e c) min, e b) min, 4 e d) 8 min, e 0 4. Numa divisão, o quociente é, o divisor é e o resto é o maior possível. O dividendo será: (A) 90 (C) 00 (B) 9 (D) 0. Considere dois rolos de barbante, um com 96 m e outro com 0 m de comprimento. Pretende-se cortar todo o barbante dos rolos em pedaços de mesmo comprimento. O menor número de pedaços que poderá ser obtido é: a) 8 c) 4 e) b) 4 d) 6. Cada um dos números inteiros a = ². x. y e b = z. admite 8 divisores positivos e o mdc (a,b) =. Os valores de a e b são, respectivamente: a) 00 e 88 d) 600 e 6 b) 00 e 44 e) 88 e 00 c) 44 e 88. Qual o menor número natural de três algarismos que verifica as condições seguintes: I. dividido por 8 dá resto II. o quociente anterior, dividido por, dá resto III. o novo quociente, dividido por, dá resto a) c) 9 e) b) 9 d) 8. De um número x que é múltiplo de, e de um número y, que deixa resto 4 na divisão por 6, pode-se afirmar:

6 a) x y é divisível por b) y - é múltiplo de 6 c) xy é um número par d) x é divisível por 6 e) xy é múltiplo de 9. Para distribuir 0 litros de álcool, 0 litros de azeite e litros de água em barris de mesma capacidade, de modo que a quantidade de barris seja a menor possível, a capacidade de cada barril, em litros, deve ser de: 0. Três cidades resolveram realizar um evento no ano 000. A cidade A decidiu que, a partir de então, ele se realizará de em anos; a cidade B decidiu que ele se repetirá de em anos; e a cidade C, de 6 em 6 ano. As cidades A, B e C realizarão novamente o evento no mesmo ano em: a) 04 c) 00 e) 006 b) 090 d) 0. Um perito foi chamado para desmontar uma bomba encontrada na garagem de um prédio. Ao examiná-la, ele constatou que a bomba continha um marcador circular graduado, semelhante a um relógio, com um único ponteiro. O perito verificou, ainda, que a bomba já fora acionada e que explodiria assim que o ponteiro do marcador retornasse a ponto de partida, após completar uma volta. Observou também, que, o ponteiro percorria º sempre que 4 lâmpadas piscavam simultaneamente e que estas piscavam, respectivamente, a cada /4 de minuto, /0 de minuto, /0 de minuto e / de minuto. Se, no momento em que começou a desativar a bomba, o ponteiro já havia percorrido 60º, o tempo, em minutos, disponível para o perito realizar a tarefa foi de:. Num avião encontram-se passageiros dos quais 96 eram brasileiros, 64 homens, 4 fumantes, homens brasileiros, homens fumantes, 6 brasileiros fumantes e 0 homens brasileiros fumantes. O número de mulheres estrangeiras nãofumantes é: a) 4 c) 4 e) b) 0