Conjunto dos Números Naturais

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1 Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...} Retirando-se o zero do conjunto dos números naturais, obtemos o conjunto dos números naturais não-nulos, representado por N*. N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...} O conjunto dos números naturais contém números pares e números ímpares. Os números pares são os que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8. Os números ímpares são os que terminam em 1, 3, 5, 7, ou 9. Representação dos números naturais na reta numérica O conjunto dos números naturais é infinito. Para representá-lo usamos uma semi-reta na qual destacamos os pontos O, A, B, C,.... A partir de A, cada um desses pontos está à mesma distância de seus valores vizinhos, como mostra a figura: A cada ponto destacado da semi-reta, fazemos corresponder ordenadamente, um número natural: Assim fica estabelecida uma correspondência um a um entre os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5,... e os pontos O, A, B, C, D, E,... Comparação de números naturais Quando relacionamos duas quantidades, podemos dizer que essas quantidades são iguais ou diferentes Para duas quantidades a e b, temos: relação de igualdade: a = b relação de desigualdade: a b Numa relação de desigualdade, podemos ter duas situações: a é menor que b: a < b a é maior que b : a > b Elizabeth F. Jammal Página 1

2 Em algumas situações podemos utilizar também os símbolos (menor ou igual) e (maior ou igual). Considerando a sucessão dos números naturais, observamos que: todo número natural tem um sucessor, isto é, o número natural que vem imediatamente depois de um número natural qualquer é denominado seu sucessor. Representação: n é o número n + 1 é seu sucessor todo número natural diferente de zero tem um antecessor, isto é, o número natural que vem imediatamente antes de um número natural diferente de zero é denominado seu antecessor. Representação: n é o número n 1 é seu antecessor dois ou mais números naturais que se seguem são denominados consecutivos. Representação: n é o número n, n + 1, n + 2,... são consecutivos quando os números estão ordenados do menor para o maior, dizemos que eles estão em ordem crescente. quando os números estão ordenados do maior para o menor, dizemos que eles estão em ordem decrescente. quando um número natural n esta compreendido entre dois números naturais a e b, podemos representa-lo da seguinte forma: a < n < b. Exercícios 1. Que números naturais correspondem aos pontos A, B, C e D indicados na semi-reta? 2. Utilizando uma reta numérica para cada item, represente: a) 0, 2, 4, 6, 8 b) 0, 20, 30, c) 0, 45, 90, 135, O papa João Paulo II foi o sucessor de João Paulo I, que sucedeu Paulo VI, que sucedeu João XXII. a) Qual foi o sucessor de Paulo VI? b) E o antecessor de Paulo VI? Elizabeth F. Jammal Página 2

3 4. Escreva em ordem decrescente, todos os números naturais ímpares de quatro algarismos que podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, e Usando apenas os algarismos 1, 2 3 e 4 e não repetindo algarismos num mesmo número, podemos escrever os números pares maiores que 100 e menores que Qual é o sucessor do menor desses números? E o antecessor do maior? 6. Como podemos representar: a) um número natural par? b) um número natural ímpar? c) o sucessor de um número natural? d) o antecessor de um número natural? 7. Traduza para a língua portuguesa as sentenças abaixo e explique seu significado. a) < b) 269 > Em cada idem, atribua à letra p três valores naturais: a) p > 5 d) 45 < p < 53 b) p < 15 e) 37 p < 40 c) p 8 f) p Desafio A primeira peça do dominó abaixo corresponde ao número Qual o número correspondente à segunda peça? (Revista Superinteressante, Jogos, ano 4, nº 6, 1990) 10. Curiosidade Você já ouviu falar de palíndromo? O termo palíndromo vem da palavra grega palíndromos, cujo significado é que volta sobre seus passos. É usado para descrever números ou palavras que, lidos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda têm o mesmo valor ou significado. Escreva: a) dois números palíndromos menores que 500. b) dois números palíndromos maiores que c) os próximos quatro anos palíndromos. Elizabeth F. Jammal Página 3

4 11. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por quê? 12. Um método em 4 passos para resolver problemas: 1º passo: compreender o problema 2º passo: elaborar a estratégia 3º passo: resolver o problema 4 passo: verificar a solução Observe as tirinhas abaixo e associe cada quadradinho com um passo da resolução de problemas. Em seguida indique que passo não apareceu, explicando sua resposta. a) b) 13. Na ilustração observamos as temperaturas máxima e mínima (em graus centígrados) registradas no dia 12 de maio de 2004 nas capitais da região Sul do Brasil. Com base em um ou mais desses dados, crie uma situação problema envolvendo a idéia da comparação de números naturais. Elizabeth F. Jammal Página 4

5 Operações: adição, subtração, multiplicação e divisão Campos Conceituais - Vergnaud Sugestão: material Nova Escola Múltiplo de um número natural Múltiplos e Divisores Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Exemplo: Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7 x 0, 7 x 1, 7 x 2, 7 x 3, 7 x 4,... = 0, 7, 14, 21, 28,... Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles, portanto chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. Elizabeth F. Jammal Página 5

6 Exemplos: 1. Múltiplos comuns de 3 e 5. M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...} M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...} M(3) M(5) = {0,15,30,45,...} Logo, no conjunto: M(3) M(5) = {0,15,30,45,...},o menor múltiplo comum entre 3 e 5 que é diferente de zero é o 15, ou seja, mmc(3,5) = Múltiplos comuns de 4 e 6. M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...} M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24,...} M(4) M(6) = {0,12, 24,...} mmc(4,6) = min {12,24,36,...} = 12 Método prático para obter o mmc Do ponto de vista didático, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MMC, mas existem outras maneiras de obtê-lo. Vejamos: I. Processo da Fatoração Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c. (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 2 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 2 x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. II. Processo da Decomposição Simultânea Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura abaixo. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Elizabeth F. Jammal Página 6

7 Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 15, 24 e 60. Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 Propriedades do mmc I. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados. Generalizando: Dados dois números a e b, e b é múltiplo de a, então, m.m.c.(a,b) = b II. Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si, o m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe: m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Elizabeth F. Jammal Página 7

8 Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números Generalizando: Dados dois números a e b, com a e b primos entre si, então, m.m.c.(a,b) = a. b Observação: Dois ou mais números são primos entre si quando possuem apenas como divisor comum o 1. Exemplo: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois, D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D(35) = {1, 5, 7,35} D(24) D(35) = 1 m.m.c.(35,24) = = Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9. Exercícios 15. Escreva os 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de Responda sim ou não: a) 24 é múltiplo de 2? b) 52 é múltiplo de 4? c) 50 é múltiplo de 8? d) 1995 é múltiplo de 133? 17. Se mmc(x,y) = x, o que podemos afirmar do número x em relação ao número y? 18. Se a é divisor de b, qual o valor de mmc(a,b)? 19. Utilizando o processo da decomposição simultânea, calcule: a) mmc(20, 25, 35) b) mmc(14, 28, 63) c) mmc(5,7,12) d) mmc(12,13) 20. Sendo A = 2³ , B = 3² ³, C = ². 7, calcule a) mmc(a, B) b) mmc(b, C) c) mmc(a, B, C) Elizabeth F. Jammal Página 8

9 21. O menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é Qual é o menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3? 22. Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colocado por força maior, este tempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos, em que ano se realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos? 23. Duas rodas de uma engrenagem qualquer têm 12 e 16 dentes, respectivamente. Cada roda tem dois dentes estragados. Dado certo momento, estão em contato os quatro dentes estragados, após quantas voltas se repete novamente este encontro. 24. A Subir a Escada Se subir uma escada de dois em dois degraus chego ao cimo. Se subir de três em três e de cinco em cinco também chego ao cimo. Determine o menor número de degraus que pode ter essa escada. Se também subisse de 7 em 7 degraus e chegasse ao cimo, quantos degraus, no mínimo teriam de existir? 25. A Receita do Médico O médico receitou uma série de remédios à velha senhora: um descongestionante para tomar a cada duas horas; um expectorante para tomar a cada três horas; um anti-histamínico para tomar a cada quatro horas; um antibiótico para tomar a cada cinco horas. Ela tomou-os todos juntos às 15 h da segunda-feira e,a partir daí, seguiu rigorosamente a prescrição do médico. Descubra, sem diagramas ou tentativas, quando voltou a tomá-los todos juntos? 26. Os Círculos do Liceu Num Liceu funcionam cinco círculos: o de Desportos, o de Literatura, o de Fotografia, o de Xadrez e o de Canto. No primeiro dia de Outubro, reuniram-se no Liceu todos os cinco círculos e combinaram funcionar da seguinte forma: o de Desportos funcionaria dia sim dia não; o de Literatura funcionaria a cada três dias; o de Fotografia, uma a cada quatro dias; o de Xadrez, uma a cada cinco; o de Canto, uma a cada seis. Seguindo essa combinação, em que data reuniram-se os círculos todos de novo simultaneamente? 27. A Banca do Sr. Manuel Ontem à tarde o Sr. Manuel arrumava laranjas na sua banca na praça: Em pirâmides de 5 sobrava 1; Em pirâmides de 14 sobrava 1; Em pirâmides de 30 sobrava 1; Elizabeth F. Jammal Página 9

10 Em pirâmides de 55 sobrava 1; Quantas laranjas o Sr. Manuel levou para a praça? 28. A Parada de São Patrício No dia de São Patrício, em Nova Iorque, um grande número de irlandeses preparava-se para marchar na parada anual. O grande marechal tentou ordená-los em filas mas em filas de 10, faltava um homem na última fila; mas em filas de 9, faltava um homem na última fila; mas em filas de 8, faltava um homem na última fila; mas em filas de 7, faltava um homem na última fila; mas em filas de 6, faltava um homem na última fila; mas em filas de 5, faltava um homem na última fila; mas em filas de 4, faltava um homem na última fila; mas em filas de 3, faltava um homem na última fila; mas em filas de 2, faltava um homem na última fila; Presumindo que o número de homens não excedia 5000, quantos eram eles? Divisor de um número natural Exemplos: Se um número, diferente de zero, divide outro, então dizemos que ele é divisor desse outro. 1)Como 24 é divisível por 3 dizemos que 3 é divisor de também é divisor de 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 e 24. 2) Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Observação: O número Um é divisor de qualquer número natural Máximo Divisor Comum (M.D.C.) Dois ou mais números naturais sempre têm divisores comuns. Vamos achar os divisores comuns de 12 e 18: Divisores de 12: 1, 2, 3, 4,6 e 12. Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Divisores comuns de 12 e 18: 1 e 6. Dentre estes divisores 6 é o maior deles, portanto chamamos o 6 de máximo divisor de 12 e 18. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. Elizabeth F. Jammal Página 10

11 Exemplo: Divisores comuns de 20 e 24. D(20) = [1,2,4,5,10,20} D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} D(20) D(24) = (1,2,4} Logo, no conjunto D(20) D(24) = (1,2,4}, o maior divisor comum entre 20 e 24 é o 4, ou seja, mdc(20,24) = 4 Método prático para obter o mdcc Do ponto de vista didático, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MDC, mas existem outras maneiras de obtê-lo. Vejamos: I. Processo da Fatoração Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5 m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 2 2 x = 2 x 3 2 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3 2 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. II. Processo das Divisões Sucessivas Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 : 30 = 1 (com resto 18) Elizabeth F. Jammal Página 11

12 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim 30 : 18 = 1 (com resto 12) 3º) dividimos o divisor 18, que é divisor da divisão anterior, por 12, que é o resto da divisão anterior, 18 : 12 = 1 (com resto 6) 4º) dividimos o divisor 12, que é divisor da divisão anterior, por 6, que é o resto da divisão anterior, 12 : 6 = 2 (com resto zero ou divisão exata). 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. Propriedades do mdc I. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6 = 2 x 3 18 = 2 x = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Generalizando: Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. Dados dois números a e b, e b é divisor de a, então m.d.c.(a,b) = b II. Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si, o m.d.c.(4,15) é igual a 1, que é o maior divisor comum de 4 e 15. Observe: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 15 : 4 = 3 (com resto 3) 2º) dividimos o divisor 4, que é divisor da divisão anterior, por 3, que é o resto da divisão anterior, e assim 4 : 3 = 1 (com resto 1) 3 : 1 = 3 (com resto zero) 3º) O divisor da divisão exata é 1. Então m.d.c.(4,15) = 1. Elizabeth F. Jammal Página 12

13 Dados dois números primos entre si, o m.d.c. deles é um Generalizando: 29. Complete a tabela: Dados dois números a e b, com a e b primos entre si, então, m.d.c.(a,b) = 1 Exercícios DIVIDENDO DIVISOR QUOCIENTE RESTO Dos seis números seguintes, indicar os que forem divisíveis por 2, 5 e 10: 2 418, 5 250, 633, 1 562, e Qual algarismo devemos colocar no lugar de a, no número 546 a 20, para que esse número seja divisível por 3? 32. Achar todos os números primos da forma n² n. 33. Achar três primos ímpares cuja soma seja a) 81 b) Achar todos os pares de números primos p e q tais que p q = Achar todos os primos que são iguais a um quadrado perfeito menos Quantos divisores positivos tem o número 5400? 37. Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos, que é divisível, ao mesmo tempo, por 4,8, Quais dos seguintes números são primos: 89, 504, 37, 18 e 243? 39. Achar todos os divisores de 50. Assinalar os que forem números primos. 40. O empregado de um restaurante pretende arranjar cestos com fatias de broa e fatias de pão torrado. Determine o maior número de cestos que ele pode arranjar com 360 fatias de broa e 504 de pão torrado, levando todos os cestos igual número de fatias de broa e de pão torrado. Qual a composição de cada cesto? Elizabeth F. Jammal Página 13