MÚLTIPLOS E DIVISORES

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1 MÚLTIPLOS E DIVISORES 6º ANO - Prof. Patricia Caldana Múltiplos e divisores são números que resultam da multiplicação por um número natural e que dividem um número deixando resto zero, respectivamente. Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3. Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2. Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5. MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada. Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2) 2 x 0 = 0 2 x 6 = 12 2 x 1 = 2 2 x 7 = 14 2 x 2 = 4 2 x 8 = 16 2 x 3 = 6 2 x 9 = 18 2 x 4 = 8 2 x 10 = 20 2 x 5 = 10 E assim sucessivamente. Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3) 3 x 0 = 0 3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 5 = 15 3 x 6 = 18 3 x 7 = 21 3 x 8 = 24 3 x 4 = 12 3 x 9 = 27 Pagina: 1

2 3 x 10 = 30 E assim sucessivamente. Portanto, os múltiplos de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20,... E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,... Observe que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente. Veja mais exemplos: Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52,... Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65,... Observações importantes: Qualquer número natural é múltiplo de si mesmo. Qualquer número é múltiplo de 1. A soma de dois múltiplos de um número é também um múltiplo desse número. O produto de dois múltiplos de um número é um múltiplo desse número. Exemplos: Provar que 8, 14 e 16 são múltiplos de = 4; r = 0 8 é múltiplo de = 7; r = 0 14 é múltiplo de = 18; r = 0 36 é múltiplo de 2. Calcular os múltiplos de = 0, 3 1 = 3, 3 2 = 6, 3 3 = 9, O conjunto dos múltiplos de 3 é um conjunto infinito de números. Todos os múltiplos de 9 são múltiplos de 3? Como 9 = 3 3, todo múltiplo de 9 também é múltiplo de 3. Pagina: 2

3 DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48. Observações importantes: O menor divisor natural de um número é sempre o número 1. O maior divisor de um número é o próprio número. O zero não é divisor de nenhum número. Os divisores de um número formam um conjunto finito. Exemplos: Provar que 2, 4 e 8 são divisores de = 24; r = 0 2 é divisor de 48 2 Cabe em 48 exatamente 24 vezes = 12; r = 0 4 é divisor de 48 4 cabe em 48 exatamente 12 vezes = 6; r = 0 8 é divisor de 48 8 Cabe em 48 exatamente 6 vezes. Calcular todos os divisores de 15. Devemos dividir 15 por 1, 2, 3, De cada divisão exata, extrair os divisores de 15: o divisor e o quociente = 15 1 e 15 São divisores de 15. Pagina: 3

4 15 2 A divisão não é exata = 5 3 e 5 São divisores de A divisão não é exata. A divisão termina quando o quociente da divisão é menor que o divisor. Como o quociente da divisão 15 4 é 3, que é menor que o divisor (4), já se têm todos os divisores de 15. Os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15. Saiba mais: Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Divisibilidade por 1: Todo número é divisível por 1. Divisibilidade por 2: Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8. 12:2 = 6 102:2 = :2 = 5128 Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Exemplo: 66: 3 = 22, pois = 12 81: 3 = 27, pois = 9 558: 3 = 186, pois = 18 Divisibilidade por 5: Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5. 10:5 = 2 75:5 = :5 = 40 Pagina: 4

5 Divisibilidade por 10: Todo número terminado em 0 será divisível por :10 = 10 50:10 = :10 = 200 Saiba mais: NÚMEROS PRIMOS Na formação do conjunto dos números naturais, existe um tipo de numeral que possui a propriedade de ser divisível somente por um e por ele mesmo, recebendo a denominação de número primo. Lembre-se de que qualquer número é divisível por 1 e por ele mesmo, mas nem sempre existe outro divisor para esse número. Por exemplo: o número 2 é divisível apenas por 1 e pelo próprio = = 1 O conjunto dos números primos também é infinito. Contudo, quanto maior o número natural, menor a probabilidade de ele ser primo. O procedimento usado para garantir que um número é primo é tentativa e erro. É necessário dividir um número por todos os naturais menores que ele para comprovar que ele é primo. A descoberta dos números primos é imprescindível na Matemática, pois eles intitulam um princípio central na teoria dos números: o Teorema Fundamental da Aritmética. Pagina: 5

6 Esse Teorema satisfaz uma condição interessante no conjunto dos números naturais. Ele afirma que todo número inteiro natural maior que 1 pode ser escrito como um produto de números primos, enfatizando a hipótese de que o número 1 não pode ser considerado primo, pois ele tem apenas um divisor e não pode ser escrito na forma de produto de números primos. Decomposição (Fatoração) em fatores primos Por meio da fatoração (decomposição dos números em fatores primos), conseguimos representar os números de acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética. Vamos observar alguns exemplos em que os numerais serão escritos na forma fatorada. 8 = 2 x 2 x 2 9 = 3 x 3 10 = 2 x 5 27 = 3 x 3 x 3 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 50 = 2 x 5 x 5 28 = 2 x 2 x = 2 x 5 x 11 Crivo de Eratóstenes Um matemático grego chamado Eratóstenes ( a.c) criou um sistema simples e objetivo para descobrir números primos, que foi chamado de crivo de Eratóstenes. Para representar a forma de utilizar o crivo, vamos considerar uma tabela com os números naturais de 1 a º passo: localizar o primeiro número primo da tabela, que é o 2; 2º passo: marcar todos os múltiplos desse número; 3º passo: localizar o segundo número primo (3) e marcar todos os seus múltiplos; 4º passo: Repetir a operação até o último número. Pagina: 6

7 Na tabela dos 100 primeiros números naturais, destacamos em azul os números primos entre 1 e 100. São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Saiba mais Pagina: 7

8 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 6º ANO - Prof. Patricia Caldana 1. Encontre os divisores positivos dos números abaixo: a) 8 b) 32 c) 100 2) Encontre os cinco primeiros múltiplos dos números abaixo: a) 15 b) 30 c) 6 3. Coloque C se for correto e E se estiver errado: 958 é múltiplo de 3 ( ) 55 é múltiplo de 8 ( ) 70 é múltiplo de 2 ( ) 25 é múltiplo de 5 ( ) 4. Escreva ao lado: * Os 5 primeiros múltiplos de 10: * Os 5 primeiros múltiplos de 18: * Os 5 primeiros múltiplos de 45: * Os 5 primeiros múltiplos de 50: 5. Complete o espaço entre parênteses com números naturais. a. 5 ( ) = 20 b. ( ) 3 = 18 c. 4 ( ) = 32 d. ( ) 2 = 8 e. 28 ( ) = 4 f. ( ) 3 = 4 Pagina: 8

9 6. No início do ano, uma papelaria vai realizar uma grande promoção para vender 3180 cadernos que estão no estoque. O gerente pretende fazer pacotes com a mesma quantidade de cadernos sem que sobrem cadernos. É possível que cada pacote contenha: ( ) 2 cadernos? ( ) 3 cadernos? ( ) 4 cadernos? ( ) 5 cadernos? ( ) 6 cadernos? ( ) 7 cadernos? ( ) 9 cadernos? ( ) 10 cadernos? 7. Marque com um X a opção correta. a) Qual dos números abaixo é múltiplo de 12 e divisível por 5? ( ) 204 ( ) 180 ( ) 190 b) Qual dos números abaixo é divisível por 3 não é múltiplo de 4? ( ) 372 ( ) 328 ( ) Considere os números a seguir Descubra quais são divisíveis por: a) 5: b) 6: c) 8: 9. Do conjunto dos números naturais, quais são os múltiplos de 5 menores que 37? R: Pagina: 9

10 10. Qual é o menor e maior divisor de 14? R: Pagina: 10