Apontamentos de Matemática 6.º ano

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Apontamentos de Matemática 6.º ano"

Transcrição

1 Revisão (divisores de um número) Os divisores de um número são os números naturais pelos quais podemos dividir esse número de forma exata (resto zero). Exemplos: Os divisores de 4 são 1, e 4, pois se dividirmos 4 por 1, por e por 4 obtemos resto zero. 4 :1 4, 4 : e 4 : 4 1. Se dividirmos 4 por qualquer outro número natural, não vamos obter resto zero: 4 : 3 1, e tem resto 1. Se dividirmos 4 por números maiores que 4 também vamos obter restos diferentes de zero. Os divisores de 3 são 1 e 3, os divisores de 10 são 1,, 5 e 10. Exemplo Determine os divisores de: a) 5 b) 9 c) 11 d) 15 e) 0 Respostas: a) 1 e 5 b) 1, 3 e 9 c) 1 e 11 d) 1, 3, 5 e 15 e) 1,, 4, 5, 10 e 0 Vamos observar atentamente as respostas e recordar alguns conhecimentos do 5.º ano. - 1 é divisor de todos os números (se dividirmos qualquer número por 1 obtemos resto zero) - Qualquer número natural é divisor de si próprio (neste caso o quociente é a unidade e o resto é zero). - Um número é múltiplo dos seus divisores (se, por exemplo, 3 é divisor de 1, então 1 é múltiplo de 3). 1. Determine os divisores de: a) 6 b) 10 c) 13 d) 15 e) 0 f) 3 g) 30. Em relação ao exercício anterior indique quais são os números primos e quais são os números compostos. Voltemos ao exercício, e reparemos que alguns números têm dois (e só dois) divisores: são eles o 3, 5 e 11. Estes números têm um nome: números primos. Definição Um número é primo se tem dois (e só dois) divisores. Definição Um número é composto se tem mais de dois divisores. O número 1 não é primo nem composto tem um único divisor que é ele próprio. 1

2 Determinação de números primos. Os números primos têm sido objeto de grande investigação ao longo da história da matemática. Apesar da sua definição ser bastante simples, não se conhece nenhum método para verificar se um número é ou não primo a não ser pelo cálculo dos seus divisores, o que se pode tornar trabalhoso. Deve-se a Eratóstenes ( a. C.) um método para encontrar os números primos menores que um dado número que se conhece pelo nome Crivo de Eratóstenes. Escreve-se numa tabela a lista de todos os números de até o número que se pretender. Depois, nessa tabela vão-se eliminando os múltiplos de números primos até que o quadrado do número primo seja maior que o maior número da tabela. Exemplo: Determinar os números primos menores que 100: Constrói-se a tabela com os números de até 100. Eliminam-se todos os múltiplos dos números primos,3,5 e 7 Nota. O seguinte número primo é o 11 mas como os múltiplos de 11. Os números eliminados estão sombreados , então já não se eliminam Os números primos menores que 100 são:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 89 e 97.

3 Decomposição de um número em fatores primos. Vamos escrever alguns números como um produto (resultado de uma multiplicação) de números primos. Exemplo, Como e 5 são números primos, 10 está escrito como um produto de números primos, ou está decomposto em fatores primos., Como 4 não é número primo, substituímos 4 por um produto de números primos. Agora 0 já está escrito como um produto de números primos ou decomposto em fatores primos. Há várias formas de decompor um número em fatores primos. Vamos ver um que é dos mais usados. Supomos que queremos decompor o 18 em fatores primos. 3. Utilizando o procedimento descrito ao lado decomponha em fatores primos os seguintes números: a) 30 b) 1 c) 36 d) 150 e) 350 f) 45 g) 40 h) 99 1) Escreve-se o dezoito e traça-se uma linha vertical como mostra a figura ) Divide-se 18 pelo menor número primo que é seu divisor ( que é colocado à sua direita) 3) Coloca-se o resultado da divisão debaixo do 18 4) Divide-se esse resultado (9) pelo menor primo que é seu divisor (3 que é colocado à sua direita) 5) Coloca-se o resultado debaixo do 9 6) Divide-se esse resultado (3) pelo menor primo (3 que é colocado à sua direita) Quando o resultado for a unidade (1) o processo termina A coluna da direita são os fatores primos, então, 4. Complete as seguintes decomposições em fatores primos a) b) c) d)

4 Neste exemplo os passos foram apresentados separadamente para se compreender, mas faz- -se um único esquema, como se mostra a seguir. Decompor 30 e 8 em fatores primos Então, e Após estes exemplos, vamos enunciar uma regra denominada Teorema fundamental da aritmética Teorema fundamental da aritmética Dado um número natural maior do que 1, existe uma única sequência crescente em sentido lato de números primos, cujo produto é igual a esse número. A decomposição de um número em fatores primos tem diversas aplicações, algumas das quais se indicam a seguir. Aplicação da decomposição em fatores primos para simplificar frações Revisão (simplificação de frações) Duas ou mais frações dizem-se equivalentes quando representam o mesmo número. Por exemplo, 1 4. Estas frações são equivalentes, pois representam o mesmo número. 4 8 Repare no esquema que mostra a equivalência destas três frações 4

5 Princípio de equivalência de frações Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número diferente de zero, obtemos uma fração equivalente. Simplificar uma fração é encontrar outra equivalente formada por numerador e denominador menores. Exemplo Encontre duas frações equivalentes a 4 5 Por exemplo, Para obter 8 10 Para obter 0 5 multiplicou-se o numerador e denominador da primeira fração por multiplicou-se o numerador e denominador da primeira fração por 5 Exemplo Simplifique, se possível, as frações seguintes: 10 8, 9 15, e 7 4 Resolução 10 5, dividiu-se o numerador e o denominador por que é um divisor comum , dividiu-se o numerador e denominador por , dividiu-se o numerador e denominador por não se pode simplificar, pois é uma fração irredutível. 5

6 comuns, como a seguir se indica Apontamentos de Matemática 6.º ano Vamos simplificar as mesmas frações usando a decomposição do numerador e do denominador em fatores primos. 5. Simplifique as 10, Decompõe-se o 10 e o 8 em fatores primos. frações seguintes, se 8 possível, tornando-as irredutíveis após decompor o numerador e o denominador em Este processo pode simplificar-se eliminando simplesmente os fatores fatores primos. Habitualmente diz-se que se cortam os fatores comuns. a) 6 10 b) Exemplos , 7 é primo, logo não se decompõe, e como não há fatores 4 4 comuns no numerador e denominador, a fração é irredutível Estes exemplos permitem-nos chegar a outra aplicação da decomposição de números em fatores primos , Reparemos que 3 é divisor comum de 9 e 15. Mais ainda, como não podemos simplificar mais a fração esse é o máximo divisor comum, isto é, m. d. c. 9,15 3 c) d) e) 35 6 f) g) 11 1 Repare que 3 é o fator comum das decomposições de 9 e de 15 No caso de , podemos observar que m. d. c. 10,

7 Vejamos agora outro Repare que eliminámos os fatores comuns elevados ao menor expoente. Estes exemplos, que não provam todos os casos, levam-nos a compreender melhor a aplicação seguinte. Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar o máximo divisor comum. A regra seguinte permite determinar o máximo divisor comum de dois ou mais números a partir da sua decomposição em fatores primos. Propriedade O máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores primos comuns decomposição destes números elevados cada um deles ao seu menor expoente. Exemplos de aplicação Determinar o m. d. c. 36,500 e m. d. c. 4,75 Resolução 36 3, Há nas decomposições dois fatores comuns: e 3. O menor expoente de é e o menor expoente de 3 é 1. Então m. d. c. 36, , Há na decomposição um fator comum que é o 3, e o seu expoente é 1 nas duas decomposições, logo é o menor expoente. Então m. d. c. 4, Utilizando a decomposição em fatores primos determine: a) m. d. c. 1,11 b) m. d. c. 75,105 c) m. d. c. 18,1 d) m. d. c. 45,55 e) m. d. c. 33,90 7. Considere os números A e B decompostos em fatores primos. A 3 5 B 5 Resolva as alíneas seguintes sem calcular os valores de A e B. a) Indique três divisores de A. b) Indique dois divisores de B que não sejam números primos. c) Determine m. d. c. A, B. Nota: Dois números dizem-se primos entre si se o seu máximo divisor comum é a unidade. 7

8 Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar mínimo múltiplo comum. A regra seguinte permite determinar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números a partir da sua decomposição em fatores primos. Propriedade O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros, decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns da decomposição destes números elevados cada um deles ao seu maior expoente. Exemplos de aplicação Determinar o mmc... 0,35 e mmc... 1,40 Resolução 0 5, Há nas decomposições os seguintes fatores:, 5 e 7 (o maior expoente de é e dos outros fatores é 1) Então mmc... 0, , Há na decomposição os seguintes fatores:, 3 e 5 (o maior expoente do é 3, e do 3 e do 5 é 1). 3 Então mmc... 1, Utilizando a decomposição em fatores primos determine: a) mmc... 1,14 b) mmc... 75,35 c) mmc... 18,1 d) mmc... 45,55 e) m. d. c. 33,30 9. Considere os números A e B decompostos em fatores primos. A 3 5 B 5 Resolva as alíneas seguintes sem calcular os valores de A e B. a) Qual é o quociente da divisão de A por 5? E por 5? b) A: B c) Determine m. m. c. A, B. 8

9 Aplicações da decomposição em fatores primos para determinar os divisores de um número natural No 5.º ano os alunos aprenderam a determinar os divisores de um número dividindo sucessivamente esse número por sucessivos números. Este método funciona bem para alguns números, mas torna-se trabalhoso para outros casos. Comecemos por apresentar um exemplo simples: determinar os divisores de 1. Vamos decompor o 1 em fatores primos 1 3 Os divisores de 1 são: 1 (que é divisor de todos os números) (que se encontra na decomposição) 4 (que se encontra na decomposição na forma de ) 6 (que se encontra na decomposição na forma de 3) 1 (que se encontra na decomposição na forma de 3) Na realidade, encontramos os divisores na decomposição do número, procurando os diversos produtos. A procura e determinação destes produtos permite calcular todos os divisores de um número, no entanto, em alguns casos torna-se trabalhosa. Além deste, existem vários algoritmos (ou procedimentos) um dos quais será apresentado a seguir. Exemplo: Determinar todos os divisores de 1 usando a sua decomposição em fatores primos Resolução 1 3 Notas 1 - Coloca-se sempre (é divisor de todos os números naturais) 1 Corresponde a 4 Corresponde a São as potências de base até, a potência mais alta de 9

10 0 Curiosidade: 1 vem de 1, que não faz parte do programa e metas curriculares do 6.º ano uma potência de expoente 0 e base diferente de zero é igual à unidade. 3 É o outro número da decomposição Só aparece 1 vez, pois está elevado a 1 Notas 3 é o resultado de é o resultado de 3 1 é o resultado de 3 4 Os divisores de 1 são: 1,, 4, 3, 6 e 1 (que aparecem no lado direito) O esquema seguinte mostra a determinação dos divisores de Utilizando a decomposição em fatores primos, determine os divisores dos seguintes números: a) 36 Então os divisores de 360 são: 1,, 4, 8, 3, 6, 1, 4, 9, 18, 36, 7, 5, 10, 0, 40, 15, 30, 60, 10, 45, 90, 180, 360. b) 150 c) 63 d) 75 e) 180 f) 300 Notas: 1,, 4 e 8 são as potências de base até 3 e 9, na coluna da esquerda, são as potências de base 3, até 5, na coluna da esquerda, é o 5 da decomposição (que está elevado a 1)

11 Na coluna da direita temos: 3 3 1, 6 3, 1 3 4, 4 3 8, 9 9 1, 18 9, , 7 9 8, 5 5 1, 10 5, 0 5 4, , , , , , , , Para saber mais Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar o número de divisores de um número * Para calcular o número de divisores de um número inteiro decomposto em fatores primos: - adiciona-se 1 unidade a todos os expoentes; - multiplicam-se os valores encontrados. Exemplo Determinar todos os divisores de 360 Resolução Os expoentes da decomposição são 3, e 1. Então o número de divisores de 360 é Considere os números: A 3 5 e B 63 a) Escreve B como um produto de fatores primos. Resolva as alíneas anteriores usando a decomposição em fatores primos. b) Determine m. d. c. A, B m. m. c. A, B c) Justifique que A é um número par. d) Determine os divisores de A. 1.* Determine, sem calcular A, o número de divisores de A O número 360 tem 4 divisores. * Tema não incluído no programa e metas curriculares do 6.º ano. 11

12 Soluções dos exercícios propostos 1. a) 1,, 3, 6 b) 1,, 5, 10 c) 1, 13 d) 1, 3, 5, 15 e) 1,, 4, 5, 10, 0 f) 1, 3 g) 1,, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Números primos: 13 e 3 (têm dois divisores) Números compostos: 6, 10, 15, 0, 30 (têm mais de dois divisores) 3 a) 3 5 b) e) 5 7 f) 3 c) 5 7 g) 3 d) 3 5 h) a) b) 3 c) 5 d) 5 5. A) 3 5 b) 6 5 c) 6 d) 3 5 e) 5 f) 9 10 g) a) 4 b) c) 3 d) e) 3 7. a), 3 e 10 (por exemplo) b) 10 e 5 c) a) d) b) c) e) a) e 3 18 b) 9 c) a) 1,, 3, 4, 6, 9, 1, 18, 36 b) 1,, 3, 5, 6, 10, 15, 5, 30, 50, 75, 150 c) 1, 3, 7, 9, 1, 63 d) 1, 5, 11, 5, 55, 75 e) 1,, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 1, 15, 18, 0, 30, 36, 45, 60, 90, 180 f) 1,, 3, 4, 5, 6, 10, 1, 15, 0, 5, 30, 50, 60, 75, 100, 150, a) b) m. d. c. A, B 3 9, É par, pois é divisor de A (está na sua decomposição) divisores m. m. c. A, B

Apontamentos de Matemática 6.º ano

Apontamentos de Matemática 6.º ano Revisão (divisores de um número) Os divisores de um número são os números naturais pelos quais podemos dividir esse número de forma exata (resto zero). Exemplos: Os divisores de 4 são 1, e 4, pois se dividirmos

Leia mais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS D. JOSÉ I - VRSA MATEMÁTICA 6.º ANO 2014/15 Ficha A1 Números Naturais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS D. JOSÉ I - VRSA MATEMÁTICA 6.º ANO 2014/15 Ficha A1 Números Naturais AGRUPAMENTO DE ESCOLAS D. JOSÉ I - VRSA MATEMÁTICA 6.º ANO 014/15 Ficha A1 Números Naturais NOME N.º Turma Nas questões 1 a 5, assinale com x a opção correta sem apresentar qualquer justificação. 1. A

Leia mais

Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Simplificação por divisões sucessivas. Divisores. Aula 4 Divisores e múltiplos. MDC. Operações com frações

Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Simplificação por divisões sucessivas. Divisores. Aula 4 Divisores e múltiplos. MDC. Operações com frações Roteiro da aula MA091 Matemática básica Aula Divisores e múltiplos. MDC. Operações com frações 1 Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Março de 016 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática

Leia mais

Números Primos, Fatores Primos, MDC e MMC

Números Primos, Fatores Primos, MDC e MMC Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17,

Leia mais

Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se

Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios

Leia mais

Identificar e aplicar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5,6, 8, 9 e 10.

Identificar e aplicar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5,6, 8, 9 e 10. DISCIPLINA: MATEMÁTICA PROFESSORA: GIOVANA 6os. ANOS (161 e 162) Você deverá: ORIENTAÇÃO DE ESTUDO RECUPERAÇÃO 3º. TRIMESTRE 1. Estudar o resumo dos conteúdos que, neste material, estão dentro dos quadros.

Leia mais

MATEMÁTICA PROF. JOSÉ LUÍS FRAÇÕES

MATEMÁTICA PROF. JOSÉ LUÍS FRAÇÕES FRAÇÕES I- INTRODUÇÃO O símbolo a / b significa a : b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: a / b de fração; a de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então a / b

Leia mais

5. De um bloco formado por cubos retiraram-se alguns cubos como mostra a figura. Quantos cubos foram retirados?

5. De um bloco formado por cubos retiraram-se alguns cubos como mostra a figura. Quantos cubos foram retirados? AGRUPAMENTO DE ESCOLAS D. JOSÉ I - VRSA MATEMÁTICA 6.º ANO 014/1 NOME N.º Turma Nas questões 1 a, assinale com x a opção correta. 1. O valor de 4 : 4 10. A soma de dois números negativos é um número: Positivo

Leia mais

Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET

Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET MATEMÁTICA AULA DEMONSTRATIVA GRATUITA OPERAÇÕES NOS CONJUNTOS NUMÉRICOS A matemática é uma ciência em que o conhecimento é aplicado cumulativamente, ou seja, tudo o que foi aprendido será utilizado nos

Leia mais

Os números decimais. Centenas Dezenas Unidades, Décimos Centésimos Milésimos. 2 Centenas 4 dezenas 0 unidades, 7 décimos 5 centésimos 1 milésimo

Os números decimais. Centenas Dezenas Unidades, Décimos Centésimos Milésimos. 2 Centenas 4 dezenas 0 unidades, 7 décimos 5 centésimos 1 milésimo Os números decimais Leitura e escrita de números decimais A fração 6/10 pode ser escrita na forma 0,6, em que 10 é a parte inteira e 6 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor

Leia mais

Equipe de Matemática. Matemática. Divisibilidade

Equipe de Matemática. Matemática. Divisibilidade Aluno (a): Série: 3ª Turma: TUTORIAL 1B Ensino Médio Equipe de Matemática Data: Matemática Divisibilidade Divisores de um número natural são todos os números naturais que ao dividirem tal número, resultarão

Leia mais

Decomposição de um número composto. Todo número composto pode ser decomposto em fatores primos Ex: = 2 2 X 3 X 5 X 7

Decomposição de um número composto. Todo número composto pode ser decomposto em fatores primos Ex: = 2 2 X 3 X 5 X 7 Decomposição de um número composto Todo número composto pode ser decomposto em fatores primos Ex: 420 2 210 2 105 3 35 5 7 7 1 420= 2 2 X 3 X 5 X 7 Determinação do número de divisores de um número natural

Leia mais

FRAÇÕES. O QUE É UMA FRAÇÃO? Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro.

FRAÇÕES. O QUE É UMA FRAÇÃO? Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. FRAÇÕES O QUE É UMA FRAÇÃO? Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro

Leia mais

= 0,333 = 0, = 0,4343 = 0, = 1,0222 = 1,02

= 0,333 = 0, = 0,4343 = 0, = 1,0222 = 1,02 1 1.1 Conjuntos Numéricos Neste capítulo, serão apresentados conjuntos cujos elementos são números e, por isso, são denominados conjuntos numéricos. 1.1.1 Números Naturais (N) O conjunto dos números naturais

Leia mais

Exemplos: -5+7=2; 12-5=7; -4-3=-7; -9+5=-4; -8+9=1; -4-2=-6; -6+10=4

Exemplos: -5+7=2; 12-5=7; -4-3=-7; -9+5=-4; -8+9=1; -4-2=-6; -6+10=4 0 - OPERAÇÕES NUMÉRICAS ) Adição algébrica de números inteiros envolve dois casos: os números têm sinais iguais: soma-se os números e conserva-se o sinal; os números têm sinais diferentes: subtrai-se o

Leia mais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS D. JOSÉ I - VRSA MATEMÁTICA 6.º ANO 2014/15

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS D. JOSÉ I - VRSA MATEMÁTICA 6.º ANO 2014/15 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS D. JOSÉ I - VRSA MATEMÁTICA 6.º ANO 014/15 Ficha 3 Sequências e proporcionalidade direta NOME N.º Turma 1. Em relação às sequências seguintes escreva os cinco primeiros termos e

Leia mais

Exemplos: Os números 12, 18 e 30 têm conjuntos de divisores respectivamente iguais a:

Exemplos: Os números 12, 18 e 30 têm conjuntos de divisores respectivamente iguais a: Lista de atividades sobre MDC. Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum e o mıınimo múltiplo comum de números naturais, bem como algumas de suas propri edades.

Leia mais

MATEMÁTICA PROF. JOSÉ LUÍS NÚMEROS DECIMAIS

MATEMÁTICA PROF. JOSÉ LUÍS NÚMEROS DECIMAIS NÚMEROS DECIMAIS Em todo numero decimal: CONVENÇÃO BÁSICA DO SISTEMA DECIMAL a parte inteira é separada da parte decimal por uma vírgula; um algarismo situado a direita de outro tem um valor significativo

Leia mais

TREINAMENTO MATEMÁTICA BÁSICA 1ª ETAPA

TREINAMENTO MATEMÁTICA BÁSICA 1ª ETAPA TREINAMENTO MATEMÁTICA BÁSICA 1ª ETAPA 1 Adição, subtração, multiplicação e divisão de números naturais e decimais Números Naturais Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o mundo,

Leia mais

Deixando de odiar Matemática Parte 5

Deixando de odiar Matemática Parte 5 Deixando de odiar Matemática Parte Adição e Subtração de Frações Multiplicação de frações Divisão de Frações 7 1 Adição e Subtração de Frações Para somar (ou subtrair) duas ou mais frações de mesmo denominador,

Leia mais

Números Racionais. MAT1514 MEB 2/2016 T42 Diurno Substituição da Profa. Martha Monteiro

Números Racionais. MAT1514 MEB 2/2016 T42 Diurno Substituição da Profa. Martha Monteiro Números Racionais MAT1514 MEB 2/2016 T42 Diurno Substituição da Profa. Martha Monteiro O que são números racionais? Alguma definição? Como surgiram? Relacionados a quais ideias ou situações? Representação

Leia mais

Divisibilidade Múltiplos de um número Critérios de divisibilidade 5367

Divisibilidade Múltiplos de um número Critérios de divisibilidade 5367 Divisibilidade Um número é divisível por outro quando sua divisão por esse número for exata. Por exemplo: 20 : 5 = 4 logo 20 é divisível por 5. Múltiplos de um número Um número tem um conjunto infinito

Leia mais

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que:

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que: Matemática Discreta 2008/09 Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Axioma (Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais) O conjunto parcialmente (totalmente) ordenado (N, ), em que

Leia mais

MATEMÁTICA 1 MÓDULO 2. Divisibilidade. Professor Matheus Secco

MATEMÁTICA 1 MÓDULO 2. Divisibilidade. Professor Matheus Secco MATEMÁTICA 1 Professor Matheus Secco MÓDULO 2 Divisibilidade 1. DIVISIBILIDADE 1.1 DEFINIÇÃO: Dizemos que o inteiro a é divisível pelo inteiro b (ou ainda que a é múltiplo de b) se existe um inteiro c

Leia mais

FATORAÇÃO, SIMPLIFICAÇÃO DE RAÍZES EXATAS E MMC

FATORAÇÃO, SIMPLIFICAÇÃO DE RAÍZES EXATAS E MMC PROJETO KALI MATEMÁTICA A AULA 0 FATORAÇÃO, SIMPLIFICAÇÃO DE RAÍZES EXATAS E MMC Introdução Hoje iniciaremos o estudo de alguns assuntos extremamente importantes para uma maior compreensão no ensino da

Leia mais

Deixando de odiar Matemática Parte 4

Deixando de odiar Matemática Parte 4 Deixando de odiar Matemática Parte 4 Fatoração 2 Quantidade de divisores de um número natural 3 Mínimo Múltiplo Comum 5 Simplificação de Frações 7 Máximo Divisor Comum 8 Método da Fatoração Simultânea

Leia mais

Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais

Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais 1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 4 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. De um modo geral, que relação

Leia mais

MÓDULO II. Operações Fundamentais em Z. - Sinais iguais das parcelas, somam-se conservando o sinal comum. Exemplo: 2 4 = 6

MÓDULO II. Operações Fundamentais em Z. - Sinais iguais das parcelas, somam-se conservando o sinal comum. Exemplo: 2 4 = 6 1 MÓDULO II Nesse Módulo vamos aprofundar as operações em Z. Para introdução do assunto, vamos percorrer a História da Matemática, lendo os textos dispostos nos links a seguir: http://www.vestibular1.com.br/revisao/historia_da_matematica.doc

Leia mais

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES 1). Achando os divisores de um número natural 2). Quantidade de divisores de um número natural 3). Decidindo se um número natural divide outro 4). Extrema

Leia mais

PLANEJAMENTO ANUAL / TRIMESTRAL 2014 Conteúdos Habilidades Avaliação

PLANEJAMENTO ANUAL / TRIMESTRAL 2014 Conteúdos Habilidades Avaliação Disciplina: Matemática Trimestre: 1º PLANEJAMENTO ANUAL / TRIMESTRAL 2014 Conteúdos Fundamentais de Matemática Sistema de Numeração decimal As quatro operações fundamentais Compreender problemas Números

Leia mais

NÚMEROS RACIONAIS. FRAÇÕES. Ano letivo

NÚMEROS RACIONAIS. FRAÇÕES. Ano letivo NÚMEROS RACIONAIS. FRAÇÕES Ano letivo 203-4 Fração é um número que exprime uma ou mais partes, em que foi dividida a unidade. Numerador 2 Denominador Termos da fracção é o numerador, representa o número

Leia mais

Podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um

Podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um FRAÇÕES Podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro, mas se comermos um pedaço, qual seria

Leia mais

PLANEJAMENTO ANUAL / TRIMESTRAL 2013 Conteúdos Habilidades Avaliação

PLANEJAMENTO ANUAL / TRIMESTRAL 2013 Conteúdos Habilidades Avaliação Disciplina: Matemática Trimestre: 1º PLANEJAMENTO ANUAL / TRIMESTRAL 2013 Conteúdos Fundamentais de Matemática Sistema de Numeração decimal As quatro operações fundamentais Compreender problemas Números

Leia mais

PLANEJAMENTO ANUAL / TRIMESTRAL 2012 Conteúdos Habilidades Avaliação

PLANEJAMENTO ANUAL / TRIMESTRAL 2012 Conteúdos Habilidades Avaliação COLÉGIO LA SALLE BRASÍLIA Disciplina: Matemática Trimestre: 1º Números Naturais: - Sistema de numeração - Adição e subtração - Multiplicação e divisão - Traduzir em palavras números representados por algarismos

Leia mais

PLANO CURRICULAR DISCIPLINAR. Matemática 5º Ano

PLANO CURRICULAR DISCIPLINAR. Matemática 5º Ano PLANO CURRICULAR DISCIPLINAR Matemática 5º Ano OBJETIVOS ESPECÍFICOS TÓPICOS SUB-TÓPICOS METAS DE APRENDIZAGEM 1º Período Compreender as propriedades das operações e usá-las no cálculo. Interpretar uma

Leia mais

Matéria: Matemática Assunto: Teoria dos Conjuntos Prof. Dudan

Matéria: Matemática Assunto: Teoria dos Conjuntos Prof. Dudan Matéria: Matemática Assunto: Teoria dos Conjuntos Prof. Dudan Matemática NÚMEROS PRIMOS Por definição, os números primos são números pertencentes ao conjunto dos números naturais não nulos, que possuem

Leia mais

Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais

Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais É indicado por Subconjuntos de : N N e representado desta forma: N N 0,1,2,3,4,5,6,... - conjunto dos números naturais não nulos. P 0,2,4,6,8,... - conjunto

Leia mais

Conceituar número primo. Verificar se um número dado é ou não primo. Obter o Máximo Divisor Comum (M.D.C.) de dois ou mais números usando o conjunto

Conceituar número primo. Verificar se um número dado é ou não primo. Obter o Máximo Divisor Comum (M.D.C.) de dois ou mais números usando o conjunto Conceituar número primo. Verificar se um número dado é ou não primo. Obter o Máximo Divisor Comum (M.D.C.) de dois ou mais números usando o conjunto dos divisores, a decomposição em fatores primos e as

Leia mais

Preparação para a Prova Final de Matemática 2.º Ciclo do Ensino Básico Olá, Matemática! 6.º Ano

Preparação para a Prova Final de Matemática 2.º Ciclo do Ensino Básico Olá, Matemática! 6.º Ano Números e operações Números racionais não negativos Noção e representação de número racional Comparação e ordenação de números racionais Operações com números racionais Valores aproximados Percentagens

Leia mais

3º Ano e Curso Matemática Básica 02 Página 1

3º Ano e Curso Matemática Básica 02 Página 1 º Modo: O MMC é o produto de todos os fatores primos dos números, considerados uma única vez e de maior expoente. = MMC {;} = = =. NÚMEROS PRIMOS Um número natural maior que é chamado de número primo,

Leia mais

a) Falsa. Por exemplo, para n = 2, temos 3n = 3 2 = 6, ou seja, um número par.

a) Falsa. Por exemplo, para n = 2, temos 3n = 3 2 = 6, ou seja, um número par. Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 01 a) Falsa. Por exemplo, para n =, temos 3n = 3 = 6, ou seja, um número par. b) Verdadeira. Por exemplo, para n = 1, temos n = 1 =, ou seja, um

Leia mais

MÓDULO 2 POTÊNCIA. Capítulos do módulo:

MÓDULO 2 POTÊNCIA. Capítulos do módulo: MÓDULO 2 POTÊNCIA Sabendo que as potências tem grande importância no mundo da lógica matemática, nosso curso terá por objetivo demonstrar onde podemos utilizar esses conceitos no nosso cotidiano e vida

Leia mais

Técnico Judiciário TJ / RS

Técnico Judiciário TJ / RS CONTINHAS Prof. Ivan Zecchin Adição e Subtração Algébrica de Números Fracionários: - Somente podemos somar ou subtrair frações de MESMO DENOMINADOR - Caso não tenham mesmo denominador devemos escrevê-las

Leia mais

II.4 - Técnicas de Integração Integração de funções racionais:

II.4 - Técnicas de Integração Integração de funções racionais: Nesta aula, em complemento ao da aula anterior iremos resolver integrais de funções racionais utilizando expandindo estas funções em frações parciais. O uso deste procedimento é útil para resolução de

Leia mais

, com k 1, p 1, p 2,..., p k números primos e α i, β i 0 inteiros, as factorizações de dois números inteiros a, b maiores do que 1.

, com k 1, p 1, p 2,..., p k números primos e α i, β i 0 inteiros, as factorizações de dois números inteiros a, b maiores do que 1. Como seria de esperar, o Teorema Fundamental da Aritmética tem imensas consequências importantes. Por exemplo, dadas factorizações em potências primas de dois inteiros, é imediato reconhecer se um deles

Leia mais

MATEMÁTICA 1 ARITMÉTICA Professor Matheus Secco

MATEMÁTICA 1 ARITMÉTICA Professor Matheus Secco MATEMÁTICA 1 ARITMÉTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 3 Números Racionais e Operações com Frações 1.INTRODUÇÃO Quando dividimos um objeto em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de várias delas

Leia mais

Apontamentos de Matemática 6.º ano

Apontamentos de Matemática 6.º ano Apontamentos de Matemática.º ano Introdução noção de potência Exemplo Uma bactéria divide-se dando origem a duas novas bactérias. Suponha que havia inicialmente duas bactérias e que ocorreram sucessivamente

Leia mais

EXPRESSÕES NUMÉRICAS FRACIONÁRIAS

EXPRESSÕES NUMÉRICAS FRACIONÁRIAS EXPRESSÕES NUMÉRICAS FRACIONÁRIAS Introdução: REGRA DE SINAIS PARA ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: Sinais iguais: Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. Sinais diferentes: Subtraímos os algarismos e aplicamos

Leia mais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 7.º ANO PLANIFICAÇÃO GLOBAL Múltiplos e divisores. Critérios de divisibilidade. - Escrever múltiplos

Leia mais

REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS

REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS Análise Matemática MIEC /4 REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS INEQUAÇÕES Uma das propriedades das inequações mais vezes ignorada é a que decorre da multiplicação de ambos os membros por um valor negativo. No

Leia mais

Os Fa n t á s t i c o s

Os Fa n t á s t i c o s Os Fa n t á s t i c o s Números Primos Visite os sites oficiais dos livros: www.osfantasticosnumerosprimos.com.br e sequenciasnumericasmagicas.blogspot.com.br II Os Fa n t á s t i c o s Números Primos

Leia mais

MÓDULO III OPERAÇÕES COM DECIMAIS. 3 (três décimos) 3 da. 2 da área. 4. Transformação de número decimal em fração

MÓDULO III OPERAÇÕES COM DECIMAIS. 3 (três décimos) 3 da. 2 da área. 4. Transformação de número decimal em fração MÓDULO III OPERAÇÕES COM DECIMAIS. Frações decimais Denominam-se frações decimais aquelas, cujos denominadores são formados pelo número 0 ou suas potências, tais como: 00, 000, 0000, etc. Exemplos: a)

Leia mais

CURSO PRF 2017 MATEMÁTICA

CURSO PRF 2017 MATEMÁTICA AULA 001 1 MATEMÁTICA PROFESSOR AULA 001 MATEMÁTICA DAVIDSON VICTOR 2 AULA 01 - CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS É o primeiro e o mais básico de todos os conjuntos numéricos. Pertencem

Leia mais

Matemática Básica Introdução / Operações matemáticas básicas

Matemática Básica Introdução / Operações matemáticas básicas Matemática Básica Introdução / Operações matemáticas básicas 0. Softwares que podem ser úteis no estudo da disciplina: Geogebra gratuito, possui versões para windows e linux disponível em http://www.geogebra.org

Leia mais

Pré-Cálculo. Camila Perraro Sehn Eduardo de Sá Bueno Nóbrega. FURG - Universidade Federal de Rio Grande

Pré-Cálculo. Camila Perraro Sehn Eduardo de Sá Bueno Nóbrega. FURG - Universidade Federal de Rio Grande Pré-Cálculo Camila Perraro Sehn Eduardo de Sá Bueno Nóbrega Projeto Pré-Cálculo Este projeto consiste na formulação de uma apostila contendo os principais assuntos trabalhados na disciplina de Matemática

Leia mais

Introdução: Um pouco de História

Introdução: Um pouco de História Números Complexos Introdução: Um pouco de História Houve um momento na História da Matemática em que a necessidade de expressar a raiz de um número negativo se tornou fundamental. Em equações quadráticas

Leia mais

Matéria: Matemática Assunto: Frações Prof. Dudan

Matéria: Matemática Assunto: Frações Prof. Dudan Matéria: Matemática Assunto: Frações Prof. Dudan Matemática FRAÇÕES Definição Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números inteiros. A palavra vem do latim fractus

Leia mais

MATEMÁTICA MÓDULO 1 TEORIA DOS NÚMEROS 1. DIVISIBILIDADE 1.1. DEFINIÇÃO 1.2. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

MATEMÁTICA MÓDULO 1 TEORIA DOS NÚMEROS 1. DIVISIBILIDADE 1.1. DEFINIÇÃO 1.2. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE TEORIA DOS NÚMEROS 1. DIVISIBILIDADE Neste momento inicial, nosso interesse será em determinar quando a divisão entre dois números inteiros é exata, ou seja, quando o resto da divisão é 0. Antes de mais

Leia mais

Conjuntos. Notações e Símbolos

Conjuntos. Notações e Símbolos Conjuntos A linguagem de conjuntos é interessante para designar uma coleção de objetos. Quando os estatísticos selecionam indivíduos de uma população eles usam a palavra amostra, frequentemente. Todas

Leia mais

MAT Laboratório de Matemática I - Diurno Profa. Martha Salerno Monteiro

MAT Laboratório de Matemática I - Diurno Profa. Martha Salerno Monteiro MAT 1511 - Laboratório de Matemática I - Diurno - 2005 Profa. Martha Salerno Monteiro Representações decimais de números reais Um número real pode ser representado de várias maneiras, sendo a representação

Leia mais

Apontamentos de Matemática 6.º ano

Apontamentos de Matemática 6.º ano Noção de potência Quando temos uma multiplicação sucessiva em que o mesmo número se repete, podemos transformar essa expressão numa potência. Veja os exemplos., o é o número que se repete e o número de

Leia mais

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x

Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a

Leia mais

SISTEMA DECIMAL. No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).

SISTEMA DECIMAL. No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez). SISTEMA DECIMAL 1. Classificação dos números decimais O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. Os dez algarismos indo-arábicos - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - servem para

Leia mais

SOCIEDADE EDUCACIONAL DO AMANHÃ. Profª: EDNALVA DOS SANTOS

SOCIEDADE EDUCACIONAL DO AMANHÃ. Profª: EDNALVA DOS SANTOS SOCIEDADE EDUCACIONAL DO AMANHÃ Profª: EDNALVA DOS SANTOS 1 Frações O que são? 2 Para representar os números fracionários foi criado um símbolo, que é a fração. Sendo a e b números naturais e b 0 (b diferente

Leia mais

Conjunto dos números inteiros

Conjunto dos números inteiros E. M. E. F. MARIA ARLETE BITENCOURT LODETTI DISCIPLINA DE MATEMÁTICA PROFESSORA: ADRIÉLE RÉUS DE SOUZA Conjunto dos números inteiros O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros

Leia mais

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 02 EQUAÇÕES Pense no seguinte problema: Uma mulher de 25 anos é casada com um homem 5 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades

Leia mais

PROJETO KALI MATEMÁTICA B AULA 3 FRAÇÕES

PROJETO KALI MATEMÁTICA B AULA 3 FRAÇÕES PROJETO KALI - 20 MATEMÁTICA B AULA FRAÇÕES Uma ideia sobre as frações Frações são partes de um todo. Imagine que, em uma lanchonete, são vendidos pedaços de pizza. A pizza é cortada em seis pedaços, como

Leia mais

25 = 5 para calcular a raiz quadrada de 25, devemos encontrar um número que

25 = 5 para calcular a raiz quadrada de 25, devemos encontrar um número que RADICIAÇÃO Provavelmente até o 8 ano, você aluno só viu o conteúdo de radiciação envolvendo A RAIZ QUADRA Para relembrar: = para calcular a raiz quadrada de, devemos encontrar um número que elevado a seja,

Leia mais

TEMPO DE CÁLCULO. 3º Ano. Maria José Porto Louza Silva Ferreira. Escola EB1 António Nobre (Lisboa)

TEMPO DE CÁLCULO. 3º Ano. Maria José Porto Louza Silva Ferreira. Escola EB1 António Nobre (Lisboa) TEMPO DE CÁLCULO 3º Ano Maria José Porto Louza Silva Ferreira Escola EB1 António Nobre (Lisboa) Este ficheiro pode ser usado de 2 maneiras distintas: 1.Pode constituir uma rotina semanal. Neste caso, o

Leia mais

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 1A

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 1A ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES A Exemplos: 9 7 9 9 7 7 9 0 0 0 0 0 0 Denominadores iguais: Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm denominadores iguais, conservamos o denominador comum e somamos

Leia mais

MATEMÁTICA PLANEJAMENTO 2º BIMESTRE º B - 11 Anos

MATEMÁTICA PLANEJAMENTO 2º BIMESTRE º B - 11 Anos PREFEITURA MUNICIPAL DE IPATINGA ESTADO DE MINAS GERAIS SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO PEDAGÓGICO/ SEÇÃO DE ENSINO FORMAL Centro de Formação Pedagógica CENFOP MATEMÁTICA PLANEJAMENTO 2º

Leia mais

MATEMÁTICA. ÍNDICE Conjuntos Numéricos... 2

MATEMÁTICA. ÍNDICE Conjuntos Numéricos... 2 MATEMÁTICA ÍNDICE Conjuntos Numéricos... 2 1 1 Matemática 2 Conjuntos Numéricos 00 Introdução Os conjuntos numéricos mostram a evolução do homem no decorrer do tempo mostrando que, de acordo com suas necessidades,

Leia mais

Aula 5: Conversões Entre Bases Numéricas

Aula 5: Conversões Entre Bases Numéricas Aula 5: Conversões Entre Bases Numéricas Diego Passos Universidade Federal Fluminense Fundamentos de Arquiteturas de Computadores Diego Passos (UFF) Conversões Entre Bases Numéricas FAC 1 / 43 Conversão

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 2. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 2. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 2 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Mínimo múltiplo comum Continuando nossa aula, vamos estudar o mínimo múltiplo comum de um conjunto finito

Leia mais

ADIÇÃO mesma natureza homogêneas Como fazer Exemplo heterogêneas Como fazer Exemplo

ADIÇÃO mesma natureza homogêneas Como fazer Exemplo heterogêneas Como fazer Exemplo ADIÇÃO É a operação que tem por fim determinar uma fração que contenha todas as unidades e partes de unidades de várias parcelas de mesma natureza. Entende-se por mesma natureza as frações que exprimem

Leia mais

Cálculo com expressões que envolvem radicais

Cálculo com expressões que envolvem radicais Escola Secundária de Aljustrel Material de apoio para o 11. o Ano Ano Lectivo 00/003 Cálculo com expressões que envolvem radicais José Paulo Coelho Abril de 003 ... Índice... 1 Radicais: definição e propriedades.

Leia mais

MATEMÁTICA - 8.º Ano. Ana Soares ) Catarina Coimbra

MATEMÁTICA - 8.º Ano. Ana Soares ) Catarina Coimbra Salesianos de Mogofores - 2016/2017 MATEMÁTICA - 8.º Ano Ana Soares (ana.soares@mogofores.salesianos.pt ) Catarina Coimbra (catarina.coimbra@mogofores.salesianos.pt ) Rota de aprendizage m por Projetos

Leia mais

Técnicas de. Integração

Técnicas de. Integração Técnicas de Capítulo 7 Integração TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de

Leia mais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por

Leia mais

SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS

SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UFRN CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ CERES DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS DCEA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO Á DOCÊNCIA (PIBID)

Leia mais

Planejamento Anual OBJETIVO GERAL

Planejamento Anual OBJETIVO GERAL Planejamento Anual Componente Curricular: Matemática Ano: 6º ano Ano Letivo: 2017 Professor(a): Eni OBJETIVO GERAL Desenvolver e aprimorar estruturas cognitivas de interpretação, análise, síntese, relação

Leia mais

Para resolver o problema de dona Leonor, é preciso aprender a fatorar, como você já viu na Aula = 2 x = 4 x 5

Para resolver o problema de dona Leonor, é preciso aprender a fatorar, como você já viu na Aula = 2 x = 4 x 5 Dona Leonor faz empadinhas e sempre recebe encomendas para festas. Certo dia, ela recebeu três encomendas: uma de 200 empadinhas, outra de 240 e outra de 300. Depois de fazer todas as empadinhas, dona

Leia mais

Portal da OBMEP. Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano

Portal da OBMEP. Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, estudaremos métodos para

Leia mais

SEAM - SOCIEDADE EDUCACIONAL DO AMANHÃ

SEAM - SOCIEDADE EDUCACIONAL DO AMANHÃ SEAM - SOCIEDADE EDUCACIONAL DO AMANHÃ MÚLTIPLOS E DIVISORES PROFª EDNALVA DOS SANTOS Um Objeto de Aprendizagem é um arquivo digital (imagem, filme, etc.) que pretende ser utilizado para fins pedagógicos

Leia mais

Conteúdos Ideias-Chave Objectivos específicos. múltiplo de outro número, este é divisor do primeiro.

Conteúdos Ideias-Chave Objectivos específicos. múltiplo de outro número, este é divisor do primeiro. Capítulo 1 Números Naturais Múltiplos e Divisores Se um número natural é múltiplo de outro número, este é divisor do primeiro. Números primos e números compostos Decomposição de um número em factores primos

Leia mais

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Adição A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que

Leia mais

1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios

1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios Matemática Polinômios CAPÍTULO 02 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1 INTRODUÇÃO Como com qualquer outra função, podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios. A soma e a

Leia mais

a) 4x 10 = 0, onde x é a incógnita e 4 é 10 são os coeficientes. b) x + 3 = 4x + 8

a) 4x 10 = 0, onde x é a incógnita e 4 é 10 são os coeficientes. b) x + 3 = 4x + 8 Equação do 1º Grau Introdução Equação é uma sentença matemática aberta epressa por uma igualdade envolvendo epressões matemáticas. Uma equação é composta por incógnitas e coeficientes (esses são conhecidos).

Leia mais

Curso de Licenciatura em Física Grupo de Apoio. Mar/ Frações

Curso de Licenciatura em Física Grupo de Apoio. Mar/ Frações 5. Frações Há 5000 anos, os geômetras dos faraós do Egito realizavam a marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. No período de junho a setembro, o rio inundava essas

Leia mais

Matemática 6.º ano Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum

Matemática 6.º ano Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum Matemática 6.º ano Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum Relembra O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais decompostos em fatores primos é igual ao produto de todos os fatores comuns

Leia mais

Propostas de resolução. Capítulo 1 Números racionais

Propostas de resolução. Capítulo 1 Números racionais Capítulo Números racionais F Pág... O número 89 89 não é divisível por, pois não se pode aplicar qualquer um dos critérios de divisibilidade por. Por outro lado, o resto da divisão inteira entre 89 89

Leia mais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 5.º ANO PLANIFICAÇÃO GLOBAL ANO LETIVO 2011/2012 Planificação Global 5º Ano 2011-2012 1/7 NÚMEROS

Leia mais

Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F.

Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F. Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F. Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1.

Leia mais

Teorema da superposição

Teorema da superposição Teorema da superposição Esse teorema é mais uma ferramenta para encontrar solução de problemas que envolvam mais de uma fonte que não estejam em paralelo ou em série. A maior vantagem desse método é a

Leia mais

Curso Turno Disciplina Carga Horária Licenciatura Plena em Noturno Matemática Elementar I 60h

Curso Turno Disciplina Carga Horária Licenciatura Plena em Noturno Matemática Elementar I 60h 1 Curso Turno Disciplina Carga Horária Licenciatura Plena em Noturno Matemática Elementar I 60h Matemática Aula Período Data Coordenador 3.1 1. a 06/06/2006 (terça feira) Tempo Estratégia Descrição (Arte)

Leia mais

Estudo Dirigido. 1) Preencha a tabela com o sucessor e o antecessor dos números naturais a seguir: Números Naturais Sucessor Antecessor

Estudo Dirigido. 1) Preencha a tabela com o sucessor e o antecessor dos números naturais a seguir: Números Naturais Sucessor Antecessor Estudante: 6º Ano/Turma: Educador: Lilian Nunes C. Curricular: Matemática Estudo Dirigido 1º Trimestre Números naturais e sistema de numeração. 1) Preencha a tabela com o sucessor e o antecessor dos números

Leia mais

Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução

Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução Exercício 6: Uma molécula de açúcar comum (sacarose) pesa 5,7 10 - g e uma de água, 3 10-3 g. Qual das duas é mais pesada? Quantas vezes uma é mais pesada que a outra?

Leia mais

PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação

PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação PROFICIÊNCIA EM MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos, Potenciação e Radiciação Professor Alexandre M. M. P. Ferreira Sumário Definição dos conjuntos numéricos... 3 Operações com números relativos: adição, subtração,

Leia mais

Agrupamento de Escolas de Almeirim. Matemática 7.º Ano Propriedades das Operações Aritméticas em Q

Agrupamento de Escolas de Almeirim. Matemática 7.º Ano Propriedades das Operações Aritméticas em Q Agrupamento de Escolas de Almeirim Matemática 7.º Ano Propriedades das Operações Aritméticas em Q Potências A definição usual de potência, remetendo para um expoente natural, reporta-se a uma multiplicação.

Leia mais

Definição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c.

Definição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c. Divisores Definição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c. Quando a é múltiplo de d dizemos também que a é divisível

Leia mais