Apontamentos de Matemática 6.º ano

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1 Revisão (divisores de um número) Os divisores de um número são os números naturais pelos quais podemos dividir esse número de forma exata (resto zero). Exemplos: Os divisores de 4 são 1, e 4, pois se dividirmos 4 por 1, por e por 4 obtemos resto zero. 4 :1 4, 4 : e 4 : 4 1. Se dividirmos 4 por qualquer outro número natural, não vamos obter resto zero: 4 : 3 1, e tem resto 1. Se dividirmos 4 por números maiores que 4 também vamos obter restos diferentes de zero. Os divisores de 3 são 1 e 3, os divisores de 10 são 1,, 5 e 10. Exemplo Determine os divisores de: a) 5 b) 9 c) 11 d) 15 e) 0 Respostas: a) 1 e 5 b) 1, 3 e 9 c) 1 e 11 d) 1, 3, 5 e 15 e) 1,, 4, 5, 10 e 0 Vamos observar atentamente as respostas e recordar alguns conhecimentos do 5.º ano. - 1 é divisor de todos os números (se dividirmos qualquer número por 1 obtemos resto zero) - Qualquer número natural é divisor de si próprio (neste caso o quociente é a unidade e o resto é zero). - Um número é múltiplo dos seus divisores (se, por exemplo, 3 é divisor de 1, então 1 é múltiplo de 3). 1. Determine os divisores de: a) 6 b) 10 c) 13 d) 15 e) 0 f) 3 g) 30. Em relação ao exercício anterior indique quais são os números primos e quais são os números compostos. Voltemos ao exercício, e reparemos que alguns números têm dois (e só dois) divisores: são eles o 3, 5 e 11. Estes números têm um nome: números primos. Definição Um número é primo se tem dois (e só dois) divisores. Definição Um número é composto se tem mais de dois divisores. O número 1 não é primo nem composto tem um único divisor que é ele próprio. 1

2 Determinação de números primos. Os números primos têm sido objeto de grande investigação ao longo da história da matemática. Apesar da sua definição ser bastante simples, não se conhece nenhum método para verificar se um número é ou não primo a não ser pelo cálculo dos seus divisores, o que se pode tornar trabalhoso. Deve-se a Eratóstenes ( a. C.) um método para encontrar os números primos menores que um dado número que se conhece pelo nome Crivo de Eratóstenes. Escreve-se numa tabela a lista de todos os números de até o número que se pretender. Depois, nessa tabela vão-se eliminando os múltiplos de números primos até que o quadrado do número primo seja maior que o maior número da tabela. Exemplo: Determinar os números primos menores que 100: Constrói-se a tabela com os números de até 100. Eliminam-se todos os múltiplos dos números primos,3,5 e 7 Nota. O seguinte número primo é o 11 mas como os múltiplos de 11. Os números eliminados estão sombreados , então já não se eliminam Os números primos menores que 100 são:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 89 e 97.

3 Decomposição de um número em fatores primos. Vamos escrever alguns números como um produto (resultado de uma multiplicação) de números primos. Exemplo, Como e 5 são números primos, 10 está escrito como um produto de números primos, ou está decomposto em fatores primos., Como 4 não é número primo, substituímos 4 por um produto de números primos. Agora 0 já está escrito como um produto de números primos ou decomposto em fatores primos. Há várias formas de decompor um número em fatores primos. Vamos ver um que é dos mais usados. Supomos que queremos decompor o 18 em fatores primos. 3. Utilizando o procedimento descrito ao lado decomponha em fatores primos os seguintes números: a) 30 b) 1 c) 36 d) 150 e) 350 f) 45 g) 40 h) 99 1) Escreve-se o dezoito e traça-se uma linha vertical como mostra a figura ) Divide-se 18 pelo menor número primo que é seu divisor ( que é colocado à sua direita) 3) Coloca-se o resultado da divisão debaixo do 18 4) Divide-se esse resultado (9) pelo menor primo que é seu divisor (3 que é colocado à sua direita) 5) Coloca-se o resultado debaixo do 9 6) Divide-se esse resultado (3) pelo menor primo (3 que é colocado à sua direita) Quando o resultado for a unidade (1) o processo termina A coluna da direita são os fatores primos, então, 4. Complete as seguintes decomposições em fatores primos a) b) c) d)

4 Neste exemplo os passos foram apresentados separadamente para se compreender, mas faz- -se um único esquema, como se mostra a seguir. Decompor 30 e 8 em fatores primos Então, e Após estes exemplos, vamos enunciar uma regra denominada Teorema fundamental da aritmética Teorema fundamental da aritmética Dado um número natural maior do que 1, existe uma única sequência crescente em sentido lato de números primos, cujo produto é igual a esse número. A decomposição de um número em fatores primos tem diversas aplicações, algumas das quais se indicam a seguir. Aplicação da decomposição em fatores primos para simplificar frações Revisão (simplificação de frações) Duas ou mais frações dizem-se equivalentes quando representam o mesmo número. Por exemplo, 1 4. Estas frações são equivalentes, pois representam o mesmo número. 4 8 Repare no esquema que mostra a equivalência destas três frações 4

5 Princípio de equivalência de frações Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número diferente de zero, obtemos uma fração equivalente. Simplificar uma fração é encontrar outra equivalente formada por numerador e denominador menores. Exemplo Encontre duas frações equivalentes a 4 5 Por exemplo, Para obter 8 10 Para obter 0 5 multiplicou-se o numerador e denominador da primeira fração por multiplicou-se o numerador e denominador da primeira fração por 5 Exemplo Simplifique, se possível, as frações seguintes: 10 8, 9 15, e 7 4 Resolução 10 5, dividiu-se o numerador e o denominador por que é um divisor comum , dividiu-se o numerador e denominador por , dividiu-se o numerador e denominador por não se pode simplificar, pois é uma fração irredutível. 5

6 comuns, como a seguir se indica Apontamentos de Matemática 6.º ano Vamos simplificar as mesmas frações usando a decomposição do numerador e do denominador em fatores primos. 5. Simplifique as 10, Decompõe-se o 10 e o 8 em fatores primos. frações seguintes, se 8 possível, tornando-as irredutíveis após decompor o numerador e o denominador em Este processo pode simplificar-se eliminando simplesmente os fatores fatores primos. Habitualmente diz-se que se cortam os fatores comuns. a) 6 10 b) Exemplos , 7 é primo, logo não se decompõe, e como não há fatores 4 4 comuns no numerador e denominador, a fração é irredutível Estes exemplos permitem-nos chegar a outra aplicação da decomposição de números em fatores primos , Reparemos que 3 é divisor comum de 9 e 15. Mais ainda, como não podemos simplificar mais a fração esse é o máximo divisor comum, isto é, m. d. c. 9,15 3 c) d) e) 35 6 f) g) 11 1 Repare que 3 é o fator comum das decomposições de 9 e de 15 No caso de , podemos observar que m. d. c. 10,

7 Vejamos agora outro Repare que eliminámos os fatores comuns elevados ao menor expoente. Estes exemplos, que não provam todos os casos, levam-nos a compreender melhor a aplicação seguinte. Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar o máximo divisor comum. A regra seguinte permite determinar o máximo divisor comum de dois ou mais números a partir da sua decomposição em fatores primos. Propriedade O máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores primos comuns decomposição destes números elevados cada um deles ao seu menor expoente. Exemplos de aplicação Determinar o m. d. c. 36,500 e m. d. c. 4,75 Resolução 36 3, Há nas decomposições dois fatores comuns: e 3. O menor expoente de é e o menor expoente de 3 é 1. Então m. d. c. 36, , Há na decomposição um fator comum que é o 3, e o seu expoente é 1 nas duas decomposições, logo é o menor expoente. Então m. d. c. 4, Utilizando a decomposição em fatores primos determine: a) m. d. c. 1,11 b) m. d. c. 75,105 c) m. d. c. 18,1 d) m. d. c. 45,55 e) m. d. c. 33,90 7. Considere os números A e B decompostos em fatores primos. A 3 5 B 5 Resolva as alíneas seguintes sem calcular os valores de A e B. a) Indique três divisores de A. b) Indique dois divisores de B que não sejam números primos. c) Determine m. d. c. A, B. Nota: Dois números dizem-se primos entre si se o seu máximo divisor comum é a unidade. 7

8 Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar mínimo múltiplo comum. A regra seguinte permite determinar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números a partir da sua decomposição em fatores primos. Propriedade O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros, decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns da decomposição destes números elevados cada um deles ao seu maior expoente. Exemplos de aplicação Determinar o mmc... 0,35 e mmc... 1,40 Resolução 0 5, Há nas decomposições os seguintes fatores:, 5 e 7 (o maior expoente de é e dos outros fatores é 1) Então mmc... 0, , Há na decomposição os seguintes fatores:, 3 e 5 (o maior expoente do é 3, e do 3 e do 5 é 1). 3 Então mmc... 1, Utilizando a decomposição em fatores primos determine: a) mmc... 1,14 b) mmc... 75,35 c) mmc... 18,1 d) mmc... 45,55 e) m. d. c. 33,30 9. Considere os números A e B decompostos em fatores primos. A 3 5 B 5 Resolva as alíneas seguintes sem calcular os valores de A e B. a) Qual é o quociente da divisão de A por 5? E por 5? b) A: B c) Determine m. m. c. A, B. 8

9 Aplicações da decomposição em fatores primos para determinar os divisores de um número natural No 5.º ano os alunos aprenderam a determinar os divisores de um número dividindo sucessivamente esse número por sucessivos números. Este método funciona bem para alguns números, mas torna-se trabalhoso para outros casos. Comecemos por apresentar um exemplo simples: determinar os divisores de 1. Vamos decompor o 1 em fatores primos 1 3 Os divisores de 1 são: 1 (que é divisor de todos os números) (que se encontra na decomposição) 4 (que se encontra na decomposição na forma de ) 6 (que se encontra na decomposição na forma de 3) 1 (que se encontra na decomposição na forma de 3) Na realidade, encontramos os divisores na decomposição do número, procurando os diversos produtos. A procura e determinação destes produtos permite calcular todos os divisores de um número, no entanto, em alguns casos torna-se trabalhosa. Além deste, existem vários algoritmos (ou procedimentos) um dos quais será apresentado a seguir. Exemplo: Determinar todos os divisores de 1 usando a sua decomposição em fatores primos Resolução 1 3 Notas 1 - Coloca-se sempre (é divisor de todos os números naturais) 1 Corresponde a 4 Corresponde a São as potências de base até, a potência mais alta de 9

10 0 Curiosidade: 1 vem de 1, que não faz parte do programa e metas curriculares do 6.º ano uma potência de expoente 0 e base diferente de zero é igual à unidade. 3 É o outro número da decomposição Só aparece 1 vez, pois está elevado a 1 Notas 3 é o resultado de é o resultado de 3 1 é o resultado de 3 4 Os divisores de 1 são: 1,, 4, 3, 6 e 1 (que aparecem no lado direito) O esquema seguinte mostra a determinação dos divisores de Utilizando a decomposição em fatores primos, determine os divisores dos seguintes números: a) 36 Então os divisores de 360 são: 1,, 4, 8, 3, 6, 1, 4, 9, 18, 36, 7, 5, 10, 0, 40, 15, 30, 60, 10, 45, 90, 180, 360. b) 150 c) 63 d) 75 e) 180 f) 300 Notas: 1,, 4 e 8 são as potências de base até 3 e 9, na coluna da esquerda, são as potências de base 3, até 5, na coluna da esquerda, é o 5 da decomposição (que está elevado a 1)

11 Na coluna da direita temos: 3 3 1, 6 3, 1 3 4, 4 3 8, 9 9 1, 18 9, , 7 9 8, 5 5 1, 10 5, 0 5 4, , , , , , , , Para saber mais Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar o número de divisores de um número * Para calcular o número de divisores de um número inteiro decomposto em fatores primos: - adiciona-se 1 unidade a todos os expoentes; - multiplicam-se os valores encontrados. Exemplo Determinar todos os divisores de 360 Resolução Os expoentes da decomposição são 3, e 1. Então o número de divisores de 360 é Considere os números: A 3 5 e B 63 a) Escreve B como um produto de fatores primos. Resolva as alíneas anteriores usando a decomposição em fatores primos. b) Determine m. d. c. A, B m. m. c. A, B c) Justifique que A é um número par. d) Determine os divisores de A. 1.* Determine, sem calcular A, o número de divisores de A O número 360 tem 4 divisores. * Tema não incluído no programa e metas curriculares do 6.º ano. 11

12 Soluções dos exercícios propostos 1. a) 1,, 3, 6 b) 1,, 5, 10 c) 1, 13 d) 1, 3, 5, 15 e) 1,, 4, 5, 10, 0 f) 1, 3 g) 1,, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Números primos: 13 e 3 (têm dois divisores) Números compostos: 6, 10, 15, 0, 30 (têm mais de dois divisores) 3 a) 3 5 b) e) 5 7 f) 3 c) 5 7 g) 3 d) 3 5 h) a) b) 3 c) 5 d) 5 5. A) 3 5 b) 6 5 c) 6 d) 3 5 e) 5 f) 9 10 g) a) 4 b) c) 3 d) e) 3 7. a), 3 e 10 (por exemplo) b) 10 e 5 c) a) d) b) c) e) a) e 3 18 b) 9 c) a) 1,, 3, 4, 6, 9, 1, 18, 36 b) 1,, 3, 5, 6, 10, 15, 5, 30, 50, 75, 150 c) 1, 3, 7, 9, 1, 63 d) 1, 5, 11, 5, 55, 75 e) 1,, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 1, 15, 18, 0, 30, 36, 45, 60, 90, 180 f) 1,, 3, 4, 5, 6, 10, 1, 15, 0, 5, 30, 50, 60, 75, 100, 150, a) b) m. d. c. A, B 3 9, É par, pois é divisor de A (está na sua decomposição) divisores m. m. c. A, B

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