Números Racionais. MAT1514 MEB 2/2016 T42 Diurno Substituição da Profa. Martha Monteiro

Transcrição

1 Números Racionais MAT1514 MEB 2/2016 T42 Diurno Substituição da Profa. Martha Monteiro

2 O que são números racionais? Alguma definição? Como surgiram? Relacionados a quais ideias ou situações?

3 Representação Decimal de Números Racionais 1) Exemplos de racionais na forma de frações decimais (= denominador é potência de 10) 3/10 84/ /100 E nos casos 3/20 27/36 6/75

4 Representação Decimal de Números Racionais Como obter a representação decimal desses números? Pela divisão por 10, 100, A partir dos exemplos, o que se observa em relação à representação decimal desse tipo de racional? Representação decimal finita

5 Representação Decimal de Números Racionais Depois de simplificada ao máximo, se a fração resultante p/q tem denominador q que se fatora em potências de 2 ou de 5 (somente), então, esse denominador pode ser transformado em uma potência de 10. Assim, esse racional que pode ser representado por uma fração decimal tem representação decimal finita. Por que???

6 Representação Decimal de Números Racionais II) Frações não decimais O que acontece se o denominador de uma fração irredutível p/q tiver um fator primo diferente de 2 ou 5? Exemplos: 1/3 2/9 4/11 185/150

7 Representação Decimal de Números Racionais É possível multiplicar denominador e numerador por um número inteiro de forma a transformar o denominador em uma potência de 10? Por que?

8 Representação Decimal de Números Racionais Vamos pensar na decomposição de um número em fatores primos... Potências de 10 se fatoram, de modo único, como produto de potências de 2 e potências de 5 (Teorema Fundamental da Aritmética)

9 Representação Decimal de Números Racionais Determine a representação decimal de cada um dos números: a) 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 b) 1/9 2/9 3/9 4/9 5/9 6/9 c) 6/11 7/11 8/11 9/11 10/11

10 Representação Decimal de Números Racionais Após analisar os diferentes exemplos: O número 1/17 tem representação decimal finita, infinita e periódica ou infinita e não periódica? E o número / 512? Justifique!

11 Representação Decimal de Números Racionais No primeiro caso: divisão infinita e apenas uma quantidade finita de restos possíveis Em algum momento, um determinado resto irá se repetir e, a partir daí, todo o algoritmo irá se repetir, resultando em uma dízima periódica

12 Representação Decimal de Números Racionais A partir do que foi discutido: Enuncie uma propriedade acerca da representação decimal de números racionais. Prove essa propriedade.

13 Representação fracionária de números racionais Números com infinitas casas decimais: como operar com eles? Se for possível transformar em fração, essa dificuldade desaparece!

14 Onde está o erro? 1)

15 Por que está certo? 2)

16 E no Ensino Fundamental? Como você aprendeu a encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica? Está certo ou não o que usualmente fazem os livros didáticos para determinar a fração geratriz de uma dízima periódica? Justifique.

17 0, 9 E o???? 0, 9 =1? ou 0, 9 <1? O que vale? Por que? Justifique!

18 Observe: Soma infinita relacionada a uma P.G. de razão 0 < q < 1

19 a 1 = 9 10 e q = 1 10 Nesse tipo de PG, podese calcular a soma, pois a série converge!

20 0, 9 =1 A igualdade informa que temos duas representações do mesmo número! Ainda assim, grande incômodo por parte dos alunos com esse tipo igualdade

21 0, 9 =1 Para muitos alunos (e para a maioria das pessoas), é uma aproximação, pois falta alguma coisa para ser exatamente 1! No Ensino Médio, acredito ser necessário - e possível lidar (justificando) com esse tipo de soma infinita de frações decimais

22 Voltando à representação decimal É única a representação decimal de racionais? Justifique! Pense nos casos: 0, 09 = 0,1 0, 009 = 0, 01 2,35 = 2,349

23 Dos racionais aos reais Entre 0,3 e 0,334 quantos racionais podemos interpolar (ou seja, maiores do que 0,3 e menores do que 0, 334)? Agora, dê exemplo de pelo menos dois números escritos em representação decimal não periódica, mas com infinitas casas decimais depois da vírgula. Quantos números decimais existem nessa última condição?

24 Dos racionais aos reais Não existe um número racional cujo quadrado é igual a 2. Prove.