MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

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1 MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

2 PARTE 1: INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS A integração das funções racionais fracionárias poderá recair em integrais do tipo: ; ; integral de soma de funções

3 integral de soma de funções São integrais cujos resultados são alcançados mediante a decomposição da fração integrando numa soma de outras frações; A decomposição de frações em parcelas é utilizada sempre que o denominador da fração for fatorável: Exemplo:, note que. Estudaremos 4 casos principais.

4 - CASO I CASO I Os fatores do denominador são todos distintos e do 1º. grau Exemplo: Considere a fração Grau do numerador: Grau do denominador:, não admite divisão. Vamos fatorar o denominador então:,. O denominador se decompõe em dois fatores diferentes, ambos do primeiro grau, então:

5 - CASO I Note que o mmc é, então Da identidade dos dois membros Assim, então:

6 - CASO I (I) Vamos determinar Note que se então, assim: (II) Vamos determinar Note que se então, assim:

7 - CASO I sendo

8 - CASO II CASO II Os fatores do denominador são todos do 1º. grau mas com repetição Exemplo: Seja a fração Grau do numerador: = 2 Grau do denominador: = 4, não admite divisão. Vamos fatorar o denominador. Todos os fatores são do 1º. Grau, pois temos então:,

9 - CASO II Note que o mmc é, então Da identidade dos membros obtemos Assim: e

10 - CASO II =, = 1 = = = 1 = + 1, = 1 = = + 1 = 1

11 - CASO III CASO III Nem todos os fatores do denominador são do 1º. grau, porém sem repetição Exemplo: Seja a fração Grau do numerador: Grau do denominador:, não admite divisão. Vamos fatorar o denominador Nem todos os fatores são do 1º. Grau, porém sem repetição, então:

12 - CASO III Note que o mmc é, então Da identidade dos membros obtemos Assim: e

13 - CASO III = = 2 2 = 2 1 () () = e = 2 1 = 1 = 1 então = ()

14 COMPLETANDO QUADRADOS Vamos tentar reescrever a expressão acima como um produto notável do tipo O primeiro passo é analisar o número que está multiplicando o termo x². Se o número for igual a 1 não precisamos fazer nenhuma modificação na equação e passamos para o próximo passo. Devemos determinar, de tal forma que Então nosso produto notável deve ser Logo somamos e subtraímos na expressão e obtemos:

15 - CASO III = = ln arctg 1 2 +

16 - CASO IV CASO VI Nem todos os fatores do denominador são do 1º. grau, porém com a repetição de alguns Exemplo: Seja a fração Grau do numerador: Grau do denominador:, não admite divisão. Vamos fatorar o denominador Nem todos os fatores são do 1º. Grau, com repetição, então:

17 - CASO IV Note que o mmc é, então Da identidade dos membros obtemos Assim: e

18 - CASO IV Note que: Se então

19 COMPLETANDO QUADRADOS Vamos tentar reescrever a expressão acima como um produto notável do tipo O primeiro passo é analisar o número que está multiplicando o termo x². Se o número for igual a 1 não precisamos fazer nenhuma modificação na equação e passamos para o próximo passo. Devemos determinar, de tal forma que Então nosso produto notável deve ser Logo somamos e subtraímos na expressão e obtemos:

20 - CASO IV = = = 2( + 1) = 3, = + 1 =

21 - CASO IV (