Lista 3 - Métodos Matemáticos II

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1 Lista 3 - Métodos Matemáticos II Prof. Jorge Delgado. Seja a curva poligonal de vértices 2( + i), 2( + i), 2( + i) e 2( i) orientada positivamente. Use a fórmula integral de auchy para verificar que: e d iπ/2 = 2π; (b) cosh (c) d = ; (d) 4 cos πi d = ( 2 + 8) 4 ; tan(/2) ( x ) 2 d = iπ sec2 x 2, x ( 2, 2). 2. Se é o círculo de centro i e raio 2 orientado positivamente, verifique que: d = π 2 ; (b) d ( 2 + 4) 2 = π Seja o círculo de centro e raio 3 orientado positivamente e seja 2 g : a função g(w) = 2 2 w d. Verifique que g(2) = 8πi e que g(w) = para w no exterior de. 4. Seja uma curva fechada simples orientada positivamente e seja a função g : dada por g(w) = ( w) d. 3 Verifique que g(w) = 6πiw para todo w no interior de e g(w) = para todo w no exterior de. 5. Verifique que se f é uma função analítica sobre uma curva fechada simples e, então

2 Lista 3 - Métodos Matemáticos II 2 f () d = f () d ( ) 2. Indicação: suponha primeiro que está no interior de. Use a fórmula integral de auchy para g() = f () na primeira integral e a fórmula integral de auchy para a derivada na segunda integral. Para no exterior de use o teorema de auchy-goursat para verificar que ambas integrais são iguais a ero. 6. Seja : = e iθ, π θ π, o círculo unitário. Verifique que para qualquer a R: e a d = 2πi. Depois, escrevendo a integral em termos de θ, obtenha a fórmula de integração: π e a cos θ cos(a sen θ) dθ = π. 7. Seja o círculo unitário. Verifique que a sen + b cos 2 d = 2πib; (b) e cos d = 2πi. 8. Seja o círculo de centro e raio 2. Seja P() = a + b + c 2, onde P() P() a, b, c. Verifique que, se d = 2πi, d = 2πi e P() d = 2πi, então P() é constante de valor. + Indicação: leia as integrais através da fórmula integral de auchy, avaliando P() em =, = e =, respectivamente. Obter-se-a um sistema de 3 equações lineares nas indeterminadas a, b e c, cuja solução é a =, b = c =. 9. Verifique que, para todo, cosh = cos(i) e senh = i sen(i). Usando as séries de Maclaurin de sen e cos, verifique que: cosh = 2n (2n)! ; (b) senh = 2n+ (2n + )!.

3 Lista 3 - Métodos Matemáticos II 3. Verifique que a série de Taylor de cosh() em torno de = 2πi é ( + 2πi) cosh() = 2n. (2n)!. Verifique que a série de Taylor de f () = e em torno de = é: e e = n! ( )n. 2. Verifique que a função f () = = 9 Maclaurin dada por ( ) n 3 2n+2 4n+, para < Verifique que a série de Taylor da função f () = = i é, para i < 2, dada por Indicação: = ( i) ( i) = i i i = tem a sua série de ( i) n ( i) n+.. Note que i i < i < i = 2. em torno de 4. Use a definição de senh para verificar que senh( + πi) = senh. Obtém-se daí que senh é periódica de período 2π i. Usando isso, verifique que a série de Taylor de senh em torno de = πi é: ( πi) senh = 2n+. (2n + )! 5. Verifique que: sen 2 4 = 2 2 3! + 6 5! +, para ; 7! (b) 3 cosh = (c) 4 = n= (2n + 2)! n, para < < 4. 4n+2, para ; 2n

4 Lista 3 - Métodos Matemáticos II 4 6. Verifique que a série de Laurent de f () = 2 sen em < < 2 ( ) é f () = + n (2n + )!. 4n n= 7. Verifique que a série de Laurent da função f () = < + < é f () = e ( + ) Verifique que a função f () = Laurent como: (b) n=3 n, para < < ;, para < <. n 9. Represente a função f () = + 2 ( ) e ( + ) no domínio 2 ( + ) n. (n + 2)! se representa em série de pela sua série de Maclaurin, especificando o domínio onde a representação é válida. Solução. f () = 2 n, válida para < ; n= (b) pela sua série de Laurent no domínio < <. Solução. f () = + 2. n= 2. Seja a R, < a <. Obtenha a representação em série de Laurent a a = n= a n no domínio a < <. n (b) Escrevendo = e iθ na igualdade do item e separando as partes real e imaginária, obtenha as seguintes fórmulas:

5 Lista 3 - Métodos Matemáticos II 5 a n cos nθ = n= a cos θ a2 e 2a cos θ + a 2 a n sen nθ = n= a sen θ 2a cos θ + a Seja f () uma função analítica no anel E : r < < r 2 e seja : = e iθ, θ 2π uma representação do círculo unitário. Integrando ao longo de nas expresões dos coeficientes da série de Laurent de f () verifique que, para E: f () = 2π f (e iθ ) dθ + [ 2π ( ) ) n n ] f (e iθ (e ) + iθ dθ. 2π 2π e iθ n= (b) Escrevendo u(θ) = Re[f (e iθ )], obtenha, do item acima, a fórmula: u(θ) = 2π u(θ) dθ + 2π u(θ) cos[n(θ θ)]dθ. 2π π n= N O T A S O B R E F U N Ç Õ E S R A I O N A I S Uma função racional é uma função da forma f () = P() Q() = a + a + a a m m b + b + b b n n. onde P() e Q() são polinômios na variável e Q() não é identicamente nulo. O domínio D da função racional f () é o complementar das raíes do denominador, isto é, D é o complementar de um número finito de pontos no plano complexo: D = { Q() = }. Diemos que a função racional f () é própria quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador: m = Grau(P()) < n = Grau(Q()), caso contrário a função é chamada imprópria. Se f () = P() é uma função racional imprópria, podemos dividir Q() P() por Q() para obter um quociente g() e um possível resto R() com Grau(R()) < Grau(Q()), isto é: f () = P() g() Q() + R() = = g() + R() Q() Q() Q(),

6 Lista 3 - Métodos Matemáticos II 6 onde R() Q() é uma função racional própria. Por exemplo, f () = é uma função racional imprópria, pois a divisão de por dá quociente 3 2 e resto e assim: onde f () = = (3 2 ) , é uma função racional própria. Sabemos que todo polinômio Q() com coeficientes complexos se fatora na forma: Q() = K( r ) α... ( r p ) α p, com Grau(Q()) = α +α α p, K é uma constante real, r, r 2,..., r p são as diferentes raíes complexas de Q(x) com multiplicidades α, α 2,..., α q. O resultado fundamental que lhe será útil ao resolver problemas envolvendo funções racionais é o seguinte: P() Q() Suponha que Q() = ( r ) α ( r 2 ) α2... ( r p ) α p e que f () = é uma função racional própria, isto é, Grau(P()) < Grau(Q()). Então f () se decompõe em soma de frações parciais da seguinte maneira: f () = P() Q() = A ( r ) α + A ( r ) α + A 2 ( r ) α A (α ) ( r ) + A 2 ( r 2 ) α 2 + A 2 ( r 2 ) α 2 + A 22 ( r 2 ) α A (α 2 )2 ( r 2 ) A p ( r p ) α p + A p ( r p ) α p + A 2p ( r p ) α p A (α p )p ( r p ), onde A ij são constantes por determinar.