EQUAÇÕES ÀS DIFERENÇAS ORDINÁRIAS LINEARES

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1 EQUAÇÕES ÀS DIFERENÇAS ORDINÁRIAS LINEARES Na disciplina de Análise Matemática, em geral no final do segundo semestre do primeiro ano dos cursos de licenciatura em Economia, Gestão e Engenharia, é usual tratar, entre outros temas, o das equações às diferenças, quase sempre apenas ordinárias. Reveste-se de especial importância o das equações às diferenças lineares, de coeficientes constantes, pela multiplicidade de circunstâncias em que podem surgir na vida profissional. Apresenta-se aqui um repositório de equações deste tipo, cobrindo as diversas situações que podem ocorrer na prática, com o qual se pretende colocar à disposição dos estudiosos interessados um auiliar de trabalho que possa mostrar-se útil. EXEMPLO. Pretende achar-se a solução geral da equação: Trata-se de uma equação às diferenças ordinária, de segunda ordem, homogénea, linear e de coeficientes constantes. A respectiva equação característica é: m m + = 0 cujas soluções são: pelo que a solução geral da equação dada é: m = m =

2 = C + C = C + C. EXEMPLO. Achar a solução geral da equação às diferenças: + + Ora, a respectiva equação característica é: pelo que a solução procurada é: ( ) m m = 0 m = 0 m = = C 0 + C = C. Esta equação, como se percebe, é de primeira ordem e poderia ter-se escrito na forma equivalente: + = 0. EXEMPLO. Determinar a solução geral da equação: A respectiva equação característica é: cujas soluções são: Logo, a função procurada é: m 5m + 4 = 0 4 m = m = m = m =. = C ( ) + C ( ) + C + C. 4 EXEMPLO. Achar a solução geral da equação:

3 A equação característica correspondente é: que apresenta as soluções: 4 m 6m + m m + 4 = 0 m = m = qualquer delas com grau de multiplicidade dois. Assim, a solução procurada é: = C + C + C + C = C + C + C + C. 4 4 EXEMPLO. Encontrar a solução geral da equação: A equação característica é, neste caso: + m = 0 m = ± pelo que a solução geral da equação dada é: = C ( ) + C. EXEMPLO. Achar a solução geral da equação às diferenças: + = A equação característica procurada é: m m m + = 0 ( m )( m ) = 0 ( m = m = ) sendo a primeira com grau de multiplicidade dois. Assim, a solução geral procurada é:

4 = C + C + C ( ). EXEMPLO. Achar a solução geral da equação: + = 0. Para esta equação diferencial a equação característica é: pelo que a respectiva solução geral é: m = 0 = C = C. EXEMPLO. Determinar a solução geral da equação: + A equação característica correspondente a esta equação às diferenças é: pelo que a solução geral da equação dada é: m 0 m = m = = ( ) ( ) ( ) = C + C. EXEMPLO. Obter a solução geral da equação: A equação característica correspondente a esta equação às diferenças é. 6m 7m + = 0 m = m = 6

5 pelo que a solução geral da equação às diferenças dada é: = C + C 6 EXEMPLO. Achar a solução geral da equação: A equação característica correspondente a esta equação é: m 6m + 9 = 0 m = com grau de multiplicidade dois. Assim, a solução geral da equação dada é: C = + C. EXEMPLO. Encontrar a solução geral da equação às diferenças: Neste caso, tem-se: m m + 5 = 0 m = ± i pelo que a solução geral procurada é: ( 5) [ ( 07, ) cos ( 07, )] C sen + C onde se tem: ρ = + = 5 θ = arctg 07,

6 respectivamente, módulo e argumento das raízes imaginárias, escritas na forma trigonométrica. EXEMPLO. Determinar a solução geral da equação às diferenças que se segue: A equação característica é: ( ) m + 4m + m 6 = 0 m = m = m = pelo que a solução geral procurada é: = C + C ( ) + C ( ). EXEMPLO. Achar a solução geral da equação: A equação característica é aqui: pelo que a solução geral pretendida é: + + m + = 0 m = ± i π π = Csen + C cos. EXEMPLO. Determinar a solução geral da equação: A equação característica correspondente a esta equação é: m + 6m + 9 = 0 m =

7 com grau de multiplicidade dois. Assim, a solução geral da equação dada é: = C ( ) + C ( ). EXEMPLO. Achar a solução geral da equação: A equação característica correspondente à equação dada é: m 4m + 4 = 0 m = que apresenta grau de multiplicidade dois. Sendo assim, a solução geral procurada é: C = + C. EXEMPLO. Determinar a solução geral da equação: A equação característica correspondente é: pelo que a solução procurada é: ( ) 4 m 5m + 4 = 0 m = ± m = ± = C + C ( ) + C ( ) + C. 4 EXEMPLO. Achar a solução geral da equação: A equação característica é, neste caso: ( ) m 6m + m 6 = 0 m = m = m =

8 sendo a solução geral procurada: C C = + + C. EXEMPLO. Obter a solução geral da equação às diferenças: A equação característica toma aqui a forma: ( ) m 5m + 7m = 0 m = m = apresentando a primeira grau de multiplicidade dois. Assim a solução procurada é: = C + C + C. EXEMPLO. Achar a solução geral da equação: A equação característica desta equação é: m 9m + 7m 7 = 0 m = que tem grau de multiplicidade três. Nestes termos, a solução geral da equação dada é: = C + C + C. EXEMPLO. Encontrar a solução geral da equação às diferenças: A respectiva equação característica é: m 4 4m + 4m 0m + 5 = 0 m = ± i

9 ambas com grau de multiplicidade dois. Assim, a solução procurada é: ( 5) [ ( 07 ) ( 07 )] ( 5) [ ( 07 ) 4 ( 07 )] C sen, + C cos, + C sen, + C cos,. EXEMPLO. Achar a solução geral da equação às diferenças seguinte: cuja equação característica é: = m 5m 0m 0m 4 0 m = m = m = ± i + + = ( ) pelo que a solução geral procurada é: π π = C + C + ( ) Csen + C4 cos 4 4. EXEMPLO. Achar a solução geral da equação: A equação característica desta equação é: i m m + m = 0 m( m m + ) = 0 m = 0 m = ± pelo que a solução geral da equação dada é: π π = ( ) Csen + C cos 6 6. Note-se que esta equação é de segunda ordem, podendo ser escrita na forma equivalente:

10 + + + EXEMPLO. Determinar a solução geral da equação que se mostra de seguida: A equação característica é aqui: ( ) ( ) m m + m = 0 m m m + = 0 m = 0 m = m = pelo que a solução geral pretendida é: = C + C. Também esta equação é de segunda ordem, ou seja, pode escrever-se na forma: EXEMPLO. Determinar a solução geral da equação que se mostra de seguida: A equação característica é aqui: ( ) m 4 6m + 7m 8m + 0 = 0 m = m = ± i sendo a raiz real de grau de multiplicidade dois, pelo que a solução geral pretendida é: ( ) [ ( ) ( )] C + C + 5 C sen 07, + C cos 07,. 4 EXEMPLO. Resolver a equação às diferenças:

11 A equação homogénea correspondente a esta já foi resolvida e a sua solução geral é, como se viu: π π = Csen + C cos. 6 6 Nestas circunstâncias, pode adoptar-se para solução particular da equação dada uma função do tipo: tendo-se, pois: = C = = = C e, introduzindo estes dados na equação dada, obtém-se: = pelo que a solução geral da equação incial é: π π = Csen + C cos EXEMPLO. Encontrar a solução geral da equação: A equação homogénea correspondente é: + = 7. + Ora, a solução geral desta equação, como já se viu, é: = C ( ) + C.

12 Assim, deverá adoptar-se para solução particular da eqação dada uma função do tipo: = A tendo-se: A( ) + = + e vindo, pois: A = 7 pelo que uma solução particular da equação dada é: = 7 sendo a solução geral da equação inicial: 7 C ( ) = + C + EXEMPLO. Achar a solução geral da equação da equação às diferenças seguinte: = A equação homogénea correspondente é: + = 0 sendo a respectiva solução geral: = C.

13 Para solução particular da equação dada deverá escolher-se uma função do tipo: = A + A + A pelo que se tem, por recurso ao método dos coeficientes indeterminados: vindo, pois, para solução particular: A = A = 0 A = = + ou seja, a solução geral da equação dada inicialmente é: = C + + EXEMPLO. Determinar a solução geral da equação abaio: =. A equação homogénea correspondente é: cuja solução geral, como já se viu, é: + = = C + C + C ( ). Nestas circunstâncias, deverá tomar-se para solução particular uma função do tipo: = A + A

14 achando os valores da função nos pontos que figuram na equação dada e substituindo-os na mesma, obtendo assim os dois coeficientes desconhecidos através do método dos coeficientes indeterminados. Adicionando a solução particular assim obtida à solução geral da equação homogénea correspondente à dada, obtém-se a solução geral da equação inicialmente posta. EXEMPLO. Verifique que as funções: ( ) =, ( ) =, ( ) = são linearmente independentes. Calculando o determinante: 0 ( ln ) 0 0 ln = ln 0 cujo valor é diferente de zero, comprova-se que as três funções dadas são linearmente independentes. EXEMPLO. Resolver o seguinte problema de valores iniciais: A solução geral da equação dada é: + = 0 ( ) = = C e, dado que ( ) =, virá: C =

15 pelo que a solução do problema de Cauch colocado é:. = = EXEMPLO. Obter a solução geral da equação: + = A solução geral da equação homogénea correspondente à dada é, como se viu: = C + C pelo que pode adoptar-se para solução particular da dada uma função do tipo: = A + A + A Determinando os valores da função nos pontos inicialmente considerados e introduzindo-os na equação inicial, acham-se os três coeficientes desconhecidos. A solução geral da equação dada é a soma da solução geral da equação homogénea com a solução particular encontrada. EXEMPLO. Resolver o seguinte problema de fronteira: + = ( 0) = ( ) = 0 A solução da equação diferencial dada é, como já se viu atrás: pelo que terá de ter-se: = C + C ( ).

16 = C + C 0 = C C C C = = pelo que a solução do problema de valor no contorno colocado é: ( ) = + Com este conjunto de eemplos sobre equações às diferenças ordinárias lineares, com coeficientes constantes, espera-se ter contribuído para uma boa dominância do tema aqui tratado.

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