Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Cálculo Diferencial e Integral I Eame - Parte I - de Julho de 8 LERC, LEGI, LEE, LEIC-T Número: Nome: valores a) valores b) valores 3 4 valores 4 valores 5 a) 3 valores 5 b) 3 valores 6 valores páginas cotação

2 I - Representar sob a forma de uma união de intervalos o conjunto { ln( e } ) U = R : 4 7 < e identificar a fronteira de U. U é um conjunto fechado? E itado? Resolução : 4 7 = 4( + 4 )( ) e portanto o denominador é negativo no intervalo ] 4, [ e positivo no eterior desse intervalo. Por outro lado, ln( e ) < < e < < e < ln() < <. Como ln() >.5, concluímos que U =] ln(), [ ], [. 4 A fronteira de U é { ln(), 4,, }. Como U não contém a sua fronteira, U não é fechado; por outro lado, U é itado, uma vez que está contido num intervalo itado. - Calcular, ou mostrar que não eistem, os ites ln(e ) a) ; b) ln() cos(/) sin() Resolução : Como se trata de uma indeterminaã o, podemos usar a regra de Cauchy, ln(e ) cos(/) = e (e ) sin(/) ; Como temos os ites conhecidos e sin() =, =, conclui-se que e (e ) sin(/) = e (e )(sin(/) = 4 que também podia ser obtido por nova aplicação da regra de Cauchy: e sin(/) = e = 4. cos(/) ln() 5/ + 3 = ln() + + sin() + 3 ( + + sin() = ) 3 + = / ln() + / + + sin() 3 =,

3 3 notando que + / ln() =. 3 - Considere-se a função f : R R definida por f() = e e + +. Calcular a derivada de f(), determinar os seus etremos, locais e globais, e a imagem f(r). Resolução : f () = e (e + + ) e (e + ) (e + + ) = e ( 3 + ) (e + + ). O sinal da derivada é determinado apenas pelo binómio no numerador e portanto f () < se < < e f () > no eterior desse intervalo. Assim, é ponto de máimo e é ponto de mínimo. Para determinar se se tratam de etremos globais de f ou apenas locais, verificamos que f() =, f() = + ; portanto é ponto de mínimo local, já que obviamente f() > e f() toma valores arbitrariamente próimos de ; e do mesmo modo é apenas máimo local pois f() = e e+ <. A imagem de f é f(r) =], [. 4 - Determinar o valor da constante a R de modo a que a função a+ se g() = se = esteja definida e seja contínua para todo o R. Justificar se, para o valor de a referido na alínea anterior, g() é diferenciável em R. Sugestão: Não é necessário apresentar a epressão de g (); usar a definição de derivada. Resolução : Para que g() seja contínua em tem que estar definida na vizinhança desse ponto e temos que ter Como a + g() = g() =. ( = a + )( a + + ) ( = a + + )

4 4 a = ( a + + ) = a concluímos que tem que se ter a =. E de facto esse valor garante que g() está bem definida para todo o R, uma vez que + + > para todo o ; obviamente g() é contínua para por ser definida por composições, somas e produtos de funções contínuas. g() é sem dúvida diferenciável em R\{} por ser definida por composições, somas e produtos de funções diferenciáveis, portanto é suficiente verificar se eiste g (): ++ g g() g() () = = = = + + ( = + + )( ) ( ) 4( + + ) ( + ) = ( ) = 3 ( ) = 3 8. Concluímos que g() é diferenciável em R. = 5 - a) Determinar a forma geral das primitivas de h() = ( ). b) Determinar a epressão da função φ :], + [ R que satisfaz Resolução : φ (t) = + t ; φ(t) = ; φ() =. t + = ( ) ( ) H() = e portanto as primitivas de h() são + a ( ) se < ( ) + b se < < ( ) + c se < +t = ln + t e portanto, para >, φ (t) = ln( + t) + a e consequentemente, integrando por partes, φ(t) = ( + t) ln( + t) + at + b. φ() = implica que a+b = ln(); e, como t (+t) ln(+t) =, = φ(t) = a + b, t + e concluímos que a = ln() e b = ln(): simplificando a epressão φ(t) = ( + t)(ln( + t) ln()).

5 5 6 - Seja p() = n k= a k k um polinónio cujos coeficientes satisfazem n a k k + =. k= Justificar que p() tem pelo menos uma raiz no intervalo ], [. Resolução : a k k+ são os coeficientes da primitiva de p(), n a k P () = k + k+. k= Com a condição dada no enunciado, P () = P () = e, pelo Teorema de Lagrange, a sua derivada p() tem que se anular num ponto de ], [.

6 6 Cálculo Diferencial e Integral I Eame - Parte II - de Julho de 8 LERC, LEGI, LEE, LEIC-T Número: Nome: a) 3 valores b) 3 valores 3 valores 3 3 valores 4 valores 5 a) 3 valores 5 b).5 valores 6.5 valores páginas cotação

7 7 - Calcular os integrais a) π Em b) usar t = e ou t = e. II sin (/) d; b) ln( + e )e d. Resolução : Usando a fórmula cos(t) = cos (t) sin (t) = sin (t) que é equivalente a sin (t) = cos(t), π π [ ] sin cos() sin() π (/) d = d = = π. Este resultado podia também ser deduzido de outras maneiras (integração por partes ou com a mudança de variável = π y, por eemplo). Usando t = e = ln(t), ln( + e )e d = e ln( + t) t dt = usando uma integração por partes, [ ( = ln( + t) )] e e ln( + e) + dt = ln() + t ( + t)t e este último integral resolve-se decompondo a fracção e ( + t)t dt = e pelo que o resultado final é e ( + t)t dt; t + t dt = [ln(t) ln( + t)]e = ln(+e)+ln(), ln( + e )e d = ln() ln( + e) e + ln( + e). A outra mudança de variável evita a primeira integração por partes: t = e = = ln(t) e e ( ln(+e )e d = ln(+t )t ) dt = ln( + t ) dt = ln(+t) ln(t) dt = t e t e por integração por partes em cada parcela = [( + t) ln( + t) t ln(t)] e = ln() e ln( + e ) e - Seja A a região contida no primeiro quadrante do plano, itada pelas curvas y =, y = /, y =. Calcular o volume do sólido obtido pela revolução de A em torno do eio y =.

8 8 Resolução : usando como variável de integração, 3/ [ ] V = π π(/) d+ π( ) π(/) 3 [ 5 d = π +π ( = π (3/)5 (3/) ) 4 (3/)3 /5 + 5/4 cujo valor aproimado é (só como curiosidade).475π Seja G :], + [ R a função definida por G() = e t t+dt. Mostrar, por intermédio de uma mudança de variável, que e calcular a derivada G (). G() = e e s s ds Resolução : Fazendo a mudança de variável s = t +, obtemos e t t + dt = e s s ds = e e s s ds. Usando esta última epressão, e notando que a função integranda é contínua, G () = e e s s ds + e ( e e ) = G() + e. 4 - Nota: Devido a uma gralha que passou despercebida, este problema ficou com um grau de dificuldade superior ao pretendido. Apresentam-se abaio as soluções quer da versão que devia ter saído quer da que ficou no enunciado. Tendo em conta esta situação, o critério de clsssificação da pergunta foi o seguinte: Foi atribuído o máimo entre a cotação da resposta apresentada e valor; e a nota final do Teste II foi multiplicada por.. Determinar a natureza, convergente ou divergente, do integral impróprio + cos(t) t + sin(t) dt. Resolução : A função integranda é positiva e o integral + + t+ t + dt = dt é divergente: + cos(t) t + sin(t) > t + ; t + dt = ln( + ) ln() = +. + Portanto o integral do enunciado é igualmente divergente. ] 3/ =

9 Determinar a natureza, convergente ou divergente, do integral impróprio + cos(t) t + sin(t) dt. Resolução : A razão pela qual o raciocínio anterior não se pode aplicar aqui é que, embora a função integranda seja não negativa e o denominador possa ser majorado por t +, o numerador só pode ser minorado por e portanto não conseguimos de forma directa minorar a função por uma outra com integral impróprio divergente. Vamos estimar, em função de, o valor de cos(t) t+sin(t) dt do seguinte modo: cos(t) t + sin(t) dt = t + sin(t) + cos(t) t + sin(t) dt = dt ln(t + sin(t)) + ln( + sin()) > t + sin(t) > dt ln(+sin())+ln(+sin()) = ln(+) ln() ln(+sin())+ln(+sin()) t + e esta função tem claramente ite infinito: podemos por eemplo observar que ( ) + ln( + ) ln( + sin()) = ln( + ) + ln ; + sin() a segunda parcela tende para quando + enquanto que a primeira diverge para infinito. Concluímos portanto que este integral é igualmente divergente Seja f() = ln( + ) +. a) Determinar um polinómio p(), com grau menor ou igual a 3, que satisfaça a condição f() p() 3 = b) Sabendo que a quarta derivada de f() é dada por f (4) () = 6(3 ) (+) 5, mostrar que, para < <, se tem 4 34 < f() p() < Resolução : O polinómio pretendido é o polinómio de Taylor de terceira ordem, relativo ao ponto, da função f(): p() = f() + f () + f () + f () 3, 6 uma vez que este é o único polinómio, de grau menor ou igual a 3, que satisfaz aquela condição.

10 Podemos calcular os coeficientes de p() calculando as sucessivas derivadas ou de outro modo: f() = ln( + ) + + ; como, para <, + = k ( )k k, temos + = o( 3 ); primitivando termo a termo, temos no mesmo intervalo ln( + ) = k ( ) k k+ k+ e portanto ln( + ) = o(3 ). Assim, f() = o(3 ) o( 3 ) = o(3 ) e p() = 3 3. Sabemos que, como f() tem derivada de quarta ordem, vale a fórmula de Taylor com resto de Lagrange: sendo p() o polinómio de Taylor de terceira ordem f() p() = f (4) (y) 4 4! onde y é um ponto entre e. Portanto, temos neste caso para qualquer > 6(3 y) f() p() = 4!( + y) 5 4 onde < y <. Mas como se verifica facilmente, intervalo [, ]: derivando, 6(3 y) 4!(+y) 5 ( + y 5 (3 y)5( + y) 4 4( + y) = 3y 8 ( + y) 6. é decrescente no Portanto, como para qualquer [, ] o y respectivo na fórmula estará entre e, substituindo y por e por, obtemos respectivamente o majorante e o minorante indicados. 6 - Determinar a série de Taylor, relativa ao ponto =, da função F () = ln( + t) t e identificar o seu intervalo de convergência. Resolução série de Taylor : A função F () é diferenciável e F () = ln(+) ( ) k k k k dt que tem que converge no intervalo < (ver o cálculo no eercício anterior). A série de Taylor de F () obtém-se desta integrando termo a termo: k ( ) k k k.

11 O raio de convergência é ; resta ver que nos etremos do intervalo, ou seja para = ±, a série também converge: para = ficamos com ( ) k k e para = com k k ; para ambos os casos a série k dos módulos é convergente, por eemplo pelo critério integral.