Disciplina: MATEMÁTICA Série: 2º ANO ATIVIDADES DE REVISÃO PARA REDI III ENSINO MÉDIO

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1 Professor (: Estefânio Franco Maciel Aluno (: Disciplina: MATEMÁTICA Série: º ANO ATIVIDADES DE REVISÃO PARA REDI III ENSINO MÉDIO Data: /8/7. Questão ) Dados os sistemas S mx y : 3x y k correto. x y 7 S : e x 3y 9, nas variáveis x e y, assinale o que for. S é possível e determinado para m k.. S é impossível para m e e k. k m. m e. Se S e S são equivalentes, então 3 8. S é possível e indeterminado para k.. Se (x, y) é a solução de S, então x y. Questão ) Sendo k um número real, o sistema linear 9x y x y k,. b). c) 7. d),. e). possui infinitas soluções (x,y) para k igual a Questão 3) Se o sistema de equações x y z x y 7z 3 3x y az b é impossível, então os valores de a e b são tais que a = e b b) a e b c) a e b = d) a = e b = e) a é arbitrário e b Questão ) Para resolver o balanceamento de uma reação química, uma técnica utilizada é o escalonamento de matrizes na resolução de sistemas lineares. Considerando o sistema linear a seguir, assinale no cartão-resposta a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S). x y 3z x 3y z x 8y z 7 Sendo x, y e z IR. O sistema linear admite solução.. O sistema linear é classificado como possível indeterminado.. Na representação matricial, a matriz de coeficientes tem ordem O sistema linear é homogêneo.. O sistema linear tem conjunto solução apresentado a partir do método de Cramer. Questão ) Considere o sistema abaixo: x by cz ax y 7z x y z Os valores de a, b e c para que o sistema seja classificado como possível e indeterminado é: a =, b = e c = 7 b) a = 3, b = e c = c) a =, b = e c = d) a =, b = e c = e) a =, b = e c = 7 Questão ) Considere quatro números inteiros positivos. A cada um desses quatro números soma-se a média aritmética dos outros três, obtendo-se como resultados os números 8,, 3 e 3. Um dos números originais é: 3 b) 3 c) 3 d) 33 e) 3 Questão 7) Em uma lanchonete, Luana consumiu uma unidade de cada um dos produtos A e B e pagou R$9,; Renata consumiu uma unidade dos produtos B e C pelo que pagou R$,; e Fernanda pagou R$,, tendo consumido uma unidade dos produtos A e C. Joice consumiu uma unidade de cada um dos produtos A, B e C, e pagou o valor de R$,7. Tendo como base o valor pago por suas colegas, Luana, Renata e Fernanda, o valor pago por Joice está correto.

2 b) excede em centavos o valor que ela teria de pagar. c) excede em centavos o valor que ela teria de pagar. d) é centavos a menos do que ela teria de pagar. e) é centavos a menos do que ela teria de pagar. Questão 8) Um aluno da Universidade de Fortaleza mora nas proximidades da universidade. No segundo semestre de, ele decidiu ir alguns dias da semana de casa à universidade ou da universidade para casa a pé. Nos dias que ele vai para a universidade a pé e volta de ônibus, gasta uma hora e quinze minutos; quando vai e volta de ônibus, gasta meia hora. Para cada meio de transporte, o tempo gasto na ida é igual ao tempo gasto na volta. Quanto tempo o aluno gasta para ir à universidade e voltar para casa a pé? 9 minutos b) minutos c) minutos d) minutos e) 3 minutos Questão 9) Uma pessoa comprou pacotes de algodão, rolos de gaze e 3 rolos de esparadrapo. Na farmácia onde realizou a compra, o preço de um pacote de algodão mais um rolo de gaze e mais um rolo de esparadrapo é R$,. Um rolo de esparadrapo custa R$, a menos que um pacote de algodão e R$, a mais que um rolo de gaze. Sabendo que essa pessoa pagou a compra com uma nota de R$,, o valor do troco recebido foi R$,. b) R$,. c) R$,. d) R$,. e) R$,. Questão ) Um jogador, ao final de um jogo, marcou 3 arremessos e acumulou 83 pontos. Considerando que cada arremesso certo vale pontos e cada errado perde meio ponto, quantos arremessos certos fez este jogador? b) c) d) e) Questão ) Sejam a e b números reais. Considere, então, os dois sistemas lineares abaixo, nas variáveis x, y e z: x y a, z y, e x y, y z b. Sabendo que esses dois sistemas possuem uma solução em comum, podemos afirmar corretamente que a b =. b) a + b =. c) a b =. d) a + b = 3. Questão ) Sabendo que m é um número real, considere o sistema linear nas variáveis x, y e z: mx z x y z 3 x mz Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de m para os quais a soma dos quadrados dos elementos da matriz A é igual à soma dos elementos da matriz A = A A. b) Para m =, encontre a solução do sistema lineear para a qual o produto xyz é mínimo. Questão 3) A figura indica a medida de alguns dos ângulos internos de um quadrilátero ABCD e de um triângulo ADE, sendo que AE é paralelo a CD. Nessa situação, a medida do ângulo é igual a º. b) º. c) 3º. d) º. e) º. C Dˆ A, indicada por z, Questão ) Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, z e w, x y, y z, w z 3. Logo, a soma x + y + z + w é igual a. b). c). d) 8. Questão ) A Internet armazena uma quantidade enorme de informações. Ao fazer uma busca na rede, os sites são listados em ordem decrescente segundo o seu grau de importância. Considere que, para calcular o grau de importância, são analisados três fatores: a quantidade de pessoas que se inscrevem no site, a quantidade de atualizações do site e a quantidade de visualizações do site. Cada um desses fatores recebe uma pontuação determinada. Para que o site obtenha 9 pontos e seja considerado de grande importância, são necessárias pessoas inscritas, atualizações e 8 visualizações.

3 Para que o site obtenha 3 pontos e seja considerado de média importância, são necessárias 3 pessoas inscritas, atualizações e 3 visualizações. Para que o site obtenha pontos e seja considerado de importância satisfatória, são necessárias pessoas inscritas, atualizações e 3 visualizações. A partir dessas informações, determine a pontuação obtida por um site que apresenta 9 pessoas inscritas, atualizações e 7 visualizações. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução desta questão. Questão ) a. Mostre que existem infinitas triplas ordenadas (x, y, z) de números que satisfazem a equação matricial: x y z 7 b) Resolva o sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y, usando o conceito de matriz inversa: x y a x 3y b Use o fato de que a inversa da matriz 3 A é A 3 Questão 7) Seja z um número complexo qualquer. Sabendo-se que o argumento de um número complexo é único, assinale o que for correto. b. a b. Se z = a + bi e arg z, então cos. Sendo o argumento de z igual a argumento do conjugado de z é., então o. Se argzz arg( z), então z é um número imaginário puro. 8. C {} z e Z. Sendo o número real puro. n n, temos z) argz arg( z ) 3 e z arg(., então z 8 é um Questão 8) Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a, e n é um número natural maior do que, então, pode-se afirmar corretamente que i n é um número real sempre que Se desejar, utilize a forma trigonométrica de um número complexo. n for ímpar. b) n for um múltiplo de. c) n for um múltiplo de 3. d) n for um múltiplo de. 3 3 cos isen b) cos isen (cos isen c) ) d) 3 3 cos isen e) cos isen Questão ) Assinale a alternativa CORRETA, que representa, respectivamente, o módulo e o argumento relativos ao número complexo z 3 i. 8 e b) 3 e c) 8 e d) 8 e e) 3 e Questão ) Considere os números complexos z = (cos + isen ) e z = i. Sabendo que z 3 = z z, a forma trigonométrica de z 3 é cos isen 3 3 b) cos isen 3 3 c) cos isen 3 3 d) cos isen 3 3 e) cos isen 3 3 Questão ) Dado o número complexo z = + i, a forma polar de z 3 é: z cos isen b) z cos isen 3 3 c) z 3 cos isen d) z cos isen e) z 3 cos isen Questão 9) Dados os números complexos z =, z = i e z 3 = z + z, a forma trigonométrica de (z 3) é Questão 3) Sabendo que é igual a: cos isen 3 3 z então z

4 z = (cos + isen) b) z = 8(cos + isen) c) z = (cos - isen) d) z = (cos8 + isen8) e) z = (cos + isen) Questão ) Considere n um número inteiro positivo. Qual é o menor valor de n, de forma que o número complexo i n seja imaginário puro? b) 3 c) d) Questão ) O argumento principal do número complexo i i é igual a Questão ) Dados os números complexos z = + i, z = i e z 3 = z z, é correto afirmar que a forma trigonométrica do número complexo z 3 é 7 7 cos isen b) cos isen c) cos isen d) 7 7 cos isen e) 3 3 cos isen Questão 7) São dados os números complexos u =.(cos + i.sen ), 3 3 v. cos i.sen e w = a + 3i, em que a é número real. Considerando que, no plano complexo, as imagens de u, v e w são vértices consecutivos de um retângulo, então a área desse retângulo, em unidades de superfície, é igual a b) c) 8 d) 8 e) GABARITO: ) Gab: ) Gab: E 3) Gab: A ) Gab: 7 ) Gab: B ) Gab: D 7) Gab: B 8) Gab: D 9) Gab: B ) Gab: B ) Gab: D ) Gab: A matriz dos coeficientes do sistema linear é dada por m A m.. A soma dos quadrados dos elementos da matriz A é igual a S = m ( ) m = m +. Então, m A A A m m m m m m m m m A soma dos elementos de A é, então, S = m m + m m + + m + + m + = m + m +. Para que S = S, devemos ter m + = m + m +, ou seja, m =. b) Para m =, temos o sistema linear x z, x y z 3, x z. Note que a primeira e a terceira equações são iguais. Da primeira equação, podemos escrever z = x. Substituindo na segunda equação, concluímos que y =. Assim, esse sistema tem infinitas soluções: para qualquer número real a, x = a, y = e z = a é uma solução. Temos então que o produto das variáveis em.

5 qualquer solução é dado por xyz = a. ( ). ( = a ª = (a ). Esse produto é uma função quadrática na variável a, cujo coeficiente quadrático é positivo. O gráfico dessa função é uma parábola com a concavidade voltada para cima, cujo vértice fornece o valor mínimo do produto. O vértice dessa parábola tem abscissa em a =. Portanto, a solução procurada é x =a =, y = e z = a =. 3) Gab: B ) Gab: D ) Gab: Este é um problema que aborda sistema linear com três equações e três incógnitas. a b 8c 9 3a b 3c 3 a b 3c em que a é a pontuação por pessoa inscrita no site. b é a pontuação por atualizações do site. c é a pontuação por visualizações do site. Simplificando o sistema, obtém-se: a b 8c 9 3a b 3c 3 a b 3c ª equação ª equação 3ª equação Multiplicando a 3ª equação por ( ) obtém-se a b 8c =. Somando esta equação obtida com a ª equação, obtémse c = 3, ou seja, c = 3. Multiplicando a 3ª equação por ( 3) obtém-se 3a 3b 9c =. Somando esta equação obtida com a ª equação, obtémse 3b c = 3. Substituindo c = 3 nesta última equação, obtém-se b = 7. Substituindo b = 7 e c = 3 na 3ª equação, obtém-se a =. Portanto, como o site apresenta 9 pessoas inscritas (9 = 3), atualizações ( 7 = 3) e 7 visualizações (7 3 = ), sua pontuação global é de 88 pontos. 7) Gab: 8 8) Gab: B 9) Gab: A ) Gab: C ) Gab: C ) Gab: A 3) Gab: A ) Gab: C ) Gab: ) Gab: D 7) Gab: A ) Gab: 7 x y z x y z x z x y 7z Como no sistema linear homogêneo da página anterior, D 7, conclui-se que o sistema possível e indeterminado e, portanto, infinitas triplas ordenadas (x, y, z) de números satisfazem a equação matricial dada. b) V = {(3a b; a + b)}