y y(y + 3x) em frações parciais: 1 u + 1 A(u + 1) + Bu = 1 A = 1, B = 1 du u(u + 1) u + 1 u 2 u + 1

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1 Turma A Questão : (3,5 pontos) Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - o. Semestre 03-0//03 (a) Determine a solução y da equação diferencial y = y(y + 3) tal que y() =. (b) (i) Determine todas as funções f : I R R que tornam eata a equação diferencial (y sen )d + yf()dy = 0. (ii) Considere a função f tal que f(0) = e encontre a solução geral da equação dada em (i). Solução: (a) Isolando y : y = y(y + 3) = f(, y), 0 Como f(, y) = f(t, ty), t 0, temos que a equação é homogênea. Sendo assim, utilizamos a seguinte mudança de variável: u = y y = u + u. Epandindo a função y y(y + 3) = = y ( y ) + 3 u = (u + 3u) u = (u + u) u(u+) em frações parciais: u + u = u(u + 3) du d u(u + ) = u(u + ) = A u + B u + A(u + ) + Bu = A =, B = ( ) du u = ln u ln u + = ln u(u + ) u + Sendo assim, temos: ln ( ) u ln = ln + C, C R u + ( ( ) ) u = ln + C, C R u +

2 ( ) u = e C, C R u + Portanto a solução da equação diferencial para 0 é dada implicitamente por: ( y ) y = K, K > 0 + y (y + ) = K, K > 0 Note que y = não é solução. E que estamos tomando 0. Aplicando a condição de contorno y() = : ( + ) = K K = 4 Portanto a solução é a função y = y() dada implicitamente por eplicitamente por y = +. 4 y (y + ) =, para > 0 ou 4 (b) Esta equação diferencial pode ser escrita como P (, y)d + Q(, y)dy = 0, sendo P (, y) = y sen e Q(, y) = yf(). Podemos dizer que esta equação diferencial é eata se, e somente se, Q P y = 0. Sendo assim, para que a equação seja eata, temos: Q P y = y(f () sen ) = 0 f () = sen f() = cos + C, C R Resolvendo a equação para f(0) = f() = cos +, temos: φ = y sen φ y = y( cos + ) Integrando em a primeira equação: φ(, y) = y cos + c(y) Derivando em y: φ y = y cos + c (y) Comparando com a segunda equação:

3 c (y) = y c(y) = y Sendo assim, temos: φ(, y) = y cos + y A solução geral da equação diferencial são as curvas de nível de φ(, y), ou seja: y cos + y = K, K R 3

4 Questão : Seja > 0. (a) Sabendo que y () = é solução da equação diferencial homogênea y + y y = 0, determine outra solução linearmente independente de y. (b) Obtenha a solução geral da equação diferencial y + y y = + Solução: (a) Pode-se proceder procurando uma solução do tipo y = v()y = v()., com v não contante. Notemos que para que {y, y } seja L.I. temos que ter y y y y = v y 0 Substituindo na equação, teremos 3 v () = ( 4 )v (). Portanto, v () = 4 + K. Como podemos supor que K=0, temos que v() = 3 3. Portanto, y () = 3. Note que podemos escolher a função y () =. Notemos também que a equação diferencial em questão é uma equação de Euler, pois apresenta o seguinte formato: y + a y + a y = 0, a, a R Sendo assim, sabe-se que a equação apresenta soluções no formato y() = s, s R. Assim: y() = s y () = s s y() = s(s ) s Substituindo na equação: s(s ) s + s s s = 0 s (s + s ) = 0 A única maneira da equação ser respeita para qualquer valor de é se tivermos s + s = 0. Assim: s + s = 0 s = ± 4()( ) = ± 3 Sendo assim, obtemos soluções linermente independentes, y () = s = e y () = s = (b) A solução homogênea da equação é a combinação linear das duas soluções homogêneas, y e y : y h () = C + C, C, C, R Para encontrar a solução geral da equação utilizamos o método da Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular da equação da seguinte forma: 4

5 y p () = u () + u () Aplicando o método: [ ] [ ] y y u y y u = Resolvendo o sistema pela regra de Cramer: Integrando: 0 + u 3 = 3 [ ] [ 0 q() 3 0 u + = = 3 ] [ ] u = u = = u = 3 3 u = 4 6 = [ 0 ] + y p () = ( 3 ) + ( ) = 4 A solução geral é a soma da solução homogênea com a solução particular: y() = C + C + 4, C, C, R 5

6 Questão 3: (a) Determine a solução geral da equação diferencial y + y + y = 0 em série de potências centrada em 0 e dê o seu raio de convergência (b) Obtenha a solução geral da equação diferencial y y + y = e Solução: (a) Suponde que a solução seja uma série de potências centrada em 0: É importante notar que: y () = y () = y() = a n n a n n n = n= a n+ (n + )n n = n= y = a n+ (n + ) n a n n n = n= a n+ (n + )(n + ) n a n n n Pois o primeiro termo da somatória começando em zero é 0. Assim, substituindo na equação diferencial: [a n+ (n + )(n + ) + a n n n + a n ] n = 0 Assim, chegamos na seguinte relação de recorrência: a n+ = a n(n + ) (n + )(n + ) = a n, n = 0,,, 3... n + É possível perceber que a sequência dos termos pares é independente da sequência dos termos ímpares. Analisando a sequência dos termos pares: n = 0 a = a 0 n = a 4 = a 3 = a 0 3 n = 4 a 6 = a 4 5 = a

7 a n = Analisando a sequência dos termos ímpares: ( ) n a 0 (n ) (n 3) (n 5)... n = a 3 = a n = 3 a 5 = a 3 4 = a 4 n = 5 a 7 = a 5 6 = a 6 4 ( ) n a a n+ = (n) (n ) (n 4)... Sendo assim a solução geral da equação é dada por: y() = a 0 (+ n= ( ) n n (n ) (n 3) (n 5)... )+a (+ n= ( ) n n+ (n) (n ) (n 4)... ), a 0, a R Vamos analisar a convergência em função de das duas séries obtidas. Aplicando o critério da razão: lim n n+ (n ) (n 3) (n 5)... (n + ) (n ) (n 3)... n = lim n (n + ) = 0 lim n n+3 (n) (n ) (n 4)... (n + ) (n) (n )... n+ = lim n (n + ) = 0 Pelo critério da razão, temos que as duas séries convergem para qualquer valor de. temos que o raio de convergência da solução da EDO por séries é innito. Sendo assim, (b) Primeiro vamos encontrar a solução da equação homogênea. Como a equação possui coecientes constantes, temos que as soluções da equação homogênea são da forma y() = e s. Deverivando e substituindo na equação, obtemos o seguinte polinômio característico: s 3 s + s = 0 s(s ) = 0 Sendo assim, a solução da equação homogênea é dada por: y h () = C + C e + C 3 e, C, C, C 3 R Para encontrar a solução geral da equação, iremos utilizar o Método dos Coecientes a Determinar para encontrar um solução particular. Como o termo não homogêneo é o produto de um polinômio de primeiro grau por uma eponencial e não há eponenciais com o mesmo argumento na solução homogênea, iremos buscar uma solução particular no seguinte formato: 7

8 y p () = (A + B)e Derivando: Substituindo na equação: y p() = Ae (A + B)e = ( A + A B)e y p() = Ae ( A + A B)e = (A + B A)e y p () = Ae (A + B A)e = ( A + 3A B)e ( A + 3A B)e (A + B A)e + ( A + A B)e = e 4Ae + (8A 4B)e = e { 4A = 8A 4B = 0 { A = 4 B = A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular. Assim: y() = C + C e + C 3 e 4 e e, C, C, C 3 R 8

9 Turma B Questão : (3,5 pontos) Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia a. Prova - o. Semestre 03-4/0/03 (a) Determine a solução y da equação diferencial y = y(y + ) tal que y() =. (b) (i) Determine todas as funções f : I R R que tornam eata a equação diferencial f(y)d + sen ydy = 0. (ii) Considere a função f tal que f(0) = e encontre a solução geral da equação dada em (i). Solução: (a) Isolando y : y = y(y + ) = f(, y), 0 Como f(, y) = f(t, ty), t 0, temos que a equação é homogênea. Sendo assim, utilizamos a seguinte mudança de variável: u = y y = u + u. Epandindo a função y y(y + ) = = y ( y ) + u = (u + u) u = (u u) u(u ) em frações parciais: u(u ) = A u + B u u + u = u(u + ) A(u ) + Bu = A =, B = du d u(u ) = du = ln u + ln u u(u ) Sendo assim, temos ln ( ) u ln = ln + C, C R u ( ( ) ) u = ln + C, C R u 9

10 ( ) u = e C, C R u Portanto a solução da equação diferencial para 0 é dada implicitamente por: ( y ) y = K, K > 0 y (y ) = K, K > 0 Note que y = não é solução. E que estamos tomando 0. Aplicando a condição de contorno y() = : ( ) ( ) = K K = 4 Portanto a solução é a função y = y() dada implicitamente por eplicitamente por y (y ) =, para > 0 ou 4 (b) Esta equação diferencial pode ser escrita como P (, y)d + Q(, y)dy = 0, sendo P (, y) = f(y) e Q(, y) = sen y. Podemos dizer que esta equação diferencial é eata se, e somente se, Q P y = 0. Sendo assim, para que a equação seja eata, temos: Q P y = (f (y) sen y) = 0 f (y) = sen y f(y) = cos y + C, C R Resolvendo a equação para f(0) = f(y) = cos y +, temos: Integrando em y a primeira equação: φ y = sen y φ = ( cos y + ) φ(, y) = cos y + c() Derivando em : Comparando com a segunda equação: φ = cos y + c () 0

11 c () = c() = Sendo assim, temos: φ(, y) = cos y + A solução geral da equação diferencial são as curvas de nível de φ(, y), ou seja: cos y + = K, K R

12 Questão : Seja > 0. (a) Sabendo que y () = é solução da equação diferencial homogênea y + 3y 3y = 0, determine outra solução linearmente independente de y. (b) Obtenha a solução geral da equação diferencial y + 3y 3y = + Solução: (a) Pode-se proceder procurando uma solução do tipo y = v()y = v()., com v não contante. Notemos que para que {y, y } seja L.I. temos que ter y y y y = v y 0 Substituindo na equação, teremos 3 v () = ( 5 )v (). Portanto, v () = 5 + K. Como podemos supor que K=0, temos que v() = 4 4. Portanto, y () = 4 3. Note que podemos escolher a função y () = 3. Notemos também que a equação diferencial em questão é uma equação de Euler, pois apresenta o seguinte formato: y + a y + a y = 0, a, a R Sendo assim, sabe-se que a equação apresenta soluções no formato y() = s, s R. Assim: y() = s y () = s s y() = s(s ) s Substituindo na equação: s(s ) s + 3s s 3 s = 0 s (s + s 3) = 0 A unica maneira da equação ser respeita para qualquer valor de é se tivermos s + s 3 = 0. Assim: s + s 3 = 0 s = ± 4()( 3) = ± 4 Sendo assim, obtemos soluções linermente independentes, y () = s = e y () = s = 3 (b) A solução homogênea da equação é a combinação linear das duas soluções homogêneas, y e y : y h () = C + C 3, C, C, R Para encontrar a solução geral da equação utilizamos o método da Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular da equação da seguinte forma:

13 y p () = u () + u () 3 Aplicando o método: [ ] [ ] y y u y y u = Resolvendo o sistema pela regra de Cramer: Integrando: u 3 4 = [ ] [ 0 3 q() u + = = ] [ ] u = u = = u = 4 4 u = = [ 0 ] + y p () = ( 4 ) + ( ) 3 = 5 3 A solução geral é a soma da solução homogênea com a solução particular: y() = C + C , C, C, R 3

14 Questão 3: (a) Determine a solução geral da equação diferencial y + y + y = 0 em série de potências centrada em 0 e dê o seu raio de convergência (b) Obtenha a solução geral da equação diferencial y 4y + 4y = e Solução: (a) Suponde que a solução seja uma série de potências centrada em 0: É importante notar que: y () = y () = y() = a n n a n n n = n= a n+ (n + )n n = n= y = a n+ (n + ) n a n n n = n= a n+ (n + )(n + ) n a n n n Pois o primeiro termo da somatória começando em zero é 0. Assim, substituindo na equação diferencial: [a n+ (n + )(n + ) + a n n n + a n ] n = 0 Assim, chegamos na seguinte relação de recorrência: a n+ = a n(n + ) (n + )(n + ) = a n, n = 0,,, 3... n + É possível perceber que a sequência dos termos pares é independente da sequência dos termos ímpares. Analisando a sequência dos termos pares: n = 0 a = a 0 n = a 4 = a 3 = a 0 3 n = 4 a 6 = a 4 5 = a

15 a n = Analisando a sequência dos termos ímpares: ( ) n a 0 (n ) (n 3) (n 5)... n = a 3 = a n = 3 a 5 = a 3 4 = a 4 n = 5 a 7 = a 5 6 = a 6 4 ( ) n a a n+ = (n) (n ) (n 4)... Sendo assim a solução geral da equação é dada por: y() = a 0 (+ n= ( ) n n (n ) (n 3) (n 5)... )+a (+ n= ( ) n n+ (n) (n ) (n 4)... ), a 0, a R Vamos analisar a convergência em função de das duas séries obtidas. Aplicando o critério da razão: lim n n+ (n ) (n 3) (n 5)... (n + ) (n ) (n 3)... n = lim n (n + ) = 0 lim n n+3 (n) (n ) (n 4)... (n + ) (n) (n )... n+ = lim n (n + ) = 0 Pelo critério da razão, temos que as duas séries convergem para qualquer valor de. temos que o raio de convergência da solução da EDO por séries é innito. Sendo assim, (b) Primeiro vamos encontrar a solução da equação homogênea. Como a equação possui coecientes constantes, temos que as soluções da equação homogênea são da forma y() = e s. Deverivando e substituindo na equação, obtemos o seguinte polinômio característico: s 3 4s + 4s = 0 s(s ) = 0 Sendo assim, a solução da equação homogênea é dada por: y h () = C + C e + C 3 e, C, C, C 3 R Para encontrar a solução geral da equação, iremos utilizar o Método dos Coecientes a Determinar para encontrar um solução particular. Como o termo não homogêneo é o produto de um polinômio de primeiro grau por uma eponencial e não há eponenciais com o mesmo argumento na solução homogênea, iremos buscar uma solução particular no seguinte formato: 5

16 y p () = (A + B)e Derivando: Substituindo na equação: y p() = Ae (A + B)e = ( A + A B)e y p() = Ae ( A + A B)e = (A + B A)e y p () = Ae (A + B A)e = ( A + 3A B)e ( A + 3A B)e 4(A + B A)e + 4( A + A B)e = e 9Ae + (5A 9B)e = e { 9A = 5A 9B = 0 { A = 9 B = 5 7 A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular. Assim: y() = C + C e + C 3 e 9 e 5 7 e, C, C, C 3 R 6