Gabarito da Prova Final Unificada de Cálculo IV Dezembro de 2010

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1 Gabarito da Prova Final Unificada de Cálculo IV Dezembro de a Questão: (5 pts) Dentre as três séries alternadas abaixo, diga se convergem absolutamente, se convergem condicionalmente ou se divergem Justifique sua resposta ( ) n+ n + 3, n+ + n ( ) + n, n+ ln n ( ) n Solução: (a) A série ( )n+ n+3 é condicionalmente convergente De fato, como 4 > 5 > 6 > e lim n n + 3 =, a série alternada converge Por outro lado, como lim n temos pelo teste da comparação que as séries /n /(n + 3) = lim n + 3 =, n n n + 3 e n têm o mesmo comportamento, isto é, divergem (b) A série +n ( )n+ +n diverge pois o termo geral não tende a zero De fato, + n lim n + n = lim + n ( )n+ n + n não existe (c) A série ln n ( )n+ n é absolutamente convergente De fato, como a função f(x) = ln(x) é decrescente para x > e e tende a zero quando x +, temos, pelo x teste da integral, ln(x) x dx = ye y dy =, onde a segunda intgral é obtida fazendo a substituição y = ln(x) e calculada por partes a Questão: (5 pts) Sabendo que a série de Taylor de f(x) = e x em torno de x = é dada por + x + x! + x3 3! + = (a) determiner a série de Taylor em torno de x = da função g(x) = xe x e calcule seu raio de convergência; (b) determine a derivada de ordem 5 da função g(x) no ponto x =, isto é, determine g (5) () (c) use os resultados anteriores para determinar o limite da série 3 n e n x n,

2 Solução: (a) Para cada valor de u R temos e u = temos e x = x n Calculando o raio de convergência R: R = lim x n+3 n (n + )! xe x = = lim x n+ n u n Em particular, para u = x, R = e a série converge qualquer que seja x R x n+ x =, x R n + (b) Pela definição da série de Taylor, sabemos que g (5) ()/5! é o coeficiente do termo que corresponde à potência x 5 na série g (5) () 5! = 5! g (5) () = 5! = ! (c) Como a série de Taylor de f(x) converge para e x, qualquer que seja x R, temos, (tomando x = 3e ) 3 n e n (3e ) n = = e 3e 3 n e n = e 3e 3 a Questão: (5 pts) Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial: y + y = h(t), y() =, onde h(t) = { sen(t) se t π, se t > π Solução: Seja Y (s) = L{y}(s) Então, aplicando a Transformada de Laplace nos dois lados da equação, obtemos sy (s) y() + Y (s) = L{h}(s) (s + )Y (s) = L{h}(s) Observando que sen(t) = sen(t π), t R, podemos escrever h(t) = sen(t) u π (t)sen(t π), t de modo que Y (s) = L{h}(s) = s + e πs s +, (s + )(s + ) e πs (s + )(s + )

3 Decompondo em frações parciais, (s + )(s + ) = As + B s + + C s + (s + )(s + ) = ( ) s + s + ( ) + s + e consequentemente, y(t) = { } L (s = + )(s + ) sen(t) cos(t) + e t sen(t) cos(t) + e t ( sen(t π) cos(t π) + e (t π) u π (t) ) Portanto, sen(t) cos(t) + e t se t π, y(t) = sen(t) cos(t) + e t[ e π se t π 4 a Questão: (5 pts) Use o método de separação de variáveis para calcular a solução (limitada) do problema de contorno para a equação de Laplace (em coordenadas polares) em D = { (x,y) x + y > } (exterior do círculo unitário): { r u rr + ru r + u θθ = em D, u(,θ) = θ, θ < π Solução: Por separação de variáveis, devemos procurar soluções (que sejam combinações lineares finitas ou infinitas de funções) da forma u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Substituindo na equação, obtemos r R (r) + rr (r) R(r) + Θ (θ) Θ(θ) = r R (r) + rr (r) = Θ (θ) R(r) Θ(θ) = λ R A segunda equação tem como sulução geral: aθ + b se λ =, Θ(θ) = acosh(ωθ) + bsenh(ωθ) se λ = ω <, acos(ωθ) + bsen(ωθ) se λ = ω >, a,b R Como estamos considerando coordenadas polares, a função Θ deve ser necessariamente periódica de período π Portanto, λ < não fornece soluções periódicas não nulas Para λ = somente podemos considerar soluções constantes e para λ > devemos ter necessariamente ω N Portanto, devemos considerar, para cada n =,,,, λ n = n e as soluções do tipo Θ n (θ) = a n cos(nθ) + b n sen(nθ) Por outro lado, para λ n = n, n =,,,, a equação para R(r) toma a forma r R (r) + rr (r) n R(r) = 3

4 Esta é uma equação de Euler, cuja indicial é r(r ) + r n =, tendo como raízes r = n e r = n Portanto, para cada n N, temos a solução geral da equação de Euler, R n (r) = α n r n + β n r n, onde α n e β n são constantes arbitrárias Os argumentos anteriores nos levam a considerar, para cada n =,,, as soluções u n (r,θ) = R n (r)θ n (θ) = ( α n r n + β n r n)( a n cos(nθ) + b n sen(nθ) ) Como só queremos soluções limitadas em D, devemos descartar as parcelas com potência r n, n =,,, pois essas são ilimitadas no intervalo r > Logo a solução geral da equação de Laplace em D será da forma u(r,θ) = A + r n( ) A n cos(nθ) + B n sen(nθ), onde A = β a, A n = β n a n e B n = β n b n, n =,,, são constantes arbitrárias Considerando agora a condição de contorno (em r = ), temos u(,θ) = A + ( ) A n cos(nθ) + B n sen(nθ) = θ, θ [,π) Sabemos que uma condição necessária para que a igualdade acima se verifique é que A n e B n sejam os coeficientes de Fourier da função periódica de período π tal que f(θ) = θ para θ [,π) Assim, A = π A n = π B n = π Portanto, a solução procurada é: π π π u(r,θ) = π θ dθ = π, θ cos(nθ)dθ =, θ sen(nθ)dθ = n r n n sen(nθ) 5 a Questão: ( pts) Considere a equação de Laguerre: xy + ( x)y + λy = (a) Mostre que x = é ponto singular regular; (b) Determine a equação indicial e suas raízes; (c) Determine a relação de recorrência e uma solução para x > (d) Mostre que se λ = n N, uma das soluções se reduz a um polinômio Solução: (a) Dividindo os dois lados da equação por x obtemos y + p(x)y + q(x)y =, onde p(x) = x x, q(x) = λ x 4

5 Como lim xp(x) = lim( x) = e lim x x x x q(x) = lim λx =, x temos que x = é, por definição, um ponto singular regular para a equação (b) A equação indicial é, por definição, r(r ) + p r + q =, onde p e q são os limites calculados acima, isto é, p = e q = Portanto, para a equação de Laguerre, a indicial é r =, cujas raízes são r = r = (c) Pelo Teorema de Frobenius, uma das soluções será sempre da forma y(x) = x r a n x n, x >, onde r é a maior das raízes da equação indicial No caso, r =, de modo que temos solução na forma de série de potências: y = a n x n Substituindo na equação, obtemos xy + ( x)y + λy = n a n x n + (λ n)a n x n = Juntando os termos de mesma potência, obtemos [(k + ) a k+ + (λ k)a k x k = k= Temos assim a fórmula de recorrência para os coeficientes a k, a saber, a k+ = k λ (k + ) a k, k =,, Explicitando, temos, para a R constante arbitrária: a = λa, a = λ λ( λ) a = a, a 3 = λ 3 a = A solução procurada é λ( λ)( λ) 3 a, a n+ = n λ (n + ) a λ( λ)( λ) (n λ) n = () a, y(x) = a [ + a n x n, onde os coeficientes a n são os calculados acima (d) Se λ = n N, então decorre da fórmula de recorrência acima que a n + = n n (n + ) a n = Logo a solução será o polinômio de grau n n y(x) = a [ + a n x n 5