Diferenciais em Série de Potências

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1 Existência de Soluções de Equações Diferenciais em Série de Potências Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais regi 0 de julho de 200

2 2 RESULTADO PRELIMINAR DE VARIÁVEIS COMPLEXAS Resultado Preliminar de Variáveis Complexas Lema. Sejam f(x) e g(x) polinômios tais que g(0) = 0. Então f(x)/g(x) tem uma representação em série de potências de x, f(x) g(x) = a n x n, que converge para x < r, sendo r o raio do maior círculo no plano complexo com centro na origem tal que g(z) = 0, para todo z C com z < r. Demonstração. Sejam a,..., a k C as raízes de g(x). Então g(x) se fatora como g(x) = a 0 (x a ) n (x a k ) n k. Podemos supor que o grau de f(x) é menor do que o grau de g(x) (por que?). Então decompondo f(x)/g(x) em frações parciais obtemos k f(x) g(x) = n i i= j= Para a C, usando a série geométrica, temos que z a = a z = a z a = a n= α ij (x a i ) j ( z a) n = ( ) a n+ z n que converge para z a <, ou seja, para z < a. Além disso, usando a derivada da série anterior obtemos que (z a) 2 = d ( ) ( n ) ( ) n = dz z a a n+ z n = a n+2 z n que também converge para z < a. Como (z a) j = ( ) j (j )! dj dz j ( ) z a então (z a) j tem uma representação em série de potências de z para j =, 2,... que converge para z < a. Logo f(z)/g(z) tem uma representação em série de potências de z que converge para todo z C com z < r, em que r = min{ a,..., a k }. Donde segue o resultado.

3 3 2 Teorema Principal Teorema 2. Considere a equação P(x) d2 y dy + Q(x) + R(x)y = 0, dx2 dx em que P(x), Q(x) e R(x) são polinômios sem fatores comuns. Se P(0) = 0, então a equação tem solução geral em série de potências y(x) = a n x n = a 0 (+ ) b n x n + a (x+ ) c n x n, em que y (x) = + b nx n e y 2 (x) = x + c nx n são soluções fundamentais da equação que convergem para x < r, sendo r o raio do maior círculo no plano complexo com centro na origem tal que P(z) = 0, para todo z C com z < r. Demonstração. Dividindo-se a equação por P(x) obtemos uma equação da forma y + p(x)y + q(x)y = 0. Pelo Lema os coeficientes podem ser escritos em série de potências de x p(x) = Q(x) P(x) = p n x n, q(x) = R(x) P(x) = q n x n, que convergem para x < r, sendo r o raio do maior círculo no plano complexo com centro na origem tal que P(z) = 0, para todo z C com z < r. Suponhamos que a solução da equação possa ser escrita em série de potências de x como y(x) = a n x n. Vamos mostrar que os coeficientes satisfazem uma relação de recorrência de tal forma que a série converge para x < r. As derivadas, y (x) e y (x), são representadas em série de potências como y (x) = (n+)a n+ x n, y (x) = (n+ )(n+2)a n+2 x n.

4 4 2 TEOREMA PRINCIPAL Substituindo-se na equação obtemos [ (n+)(n+2)a n+2 + n [p n k (k+)a k+ + q n k a k ] ] x n = 0. Esta é a série nula, o que implica que todos os coeficientes são iguais a zero. Assim (n+)(n+2)a n+2 = n [p n k (k+)a k+ + q n k a k ]. () Por outro lado, da convergência das séries de p(x) e q(x) segue-se que existe M > 0 tal que p n t n < M e q n t n < M, para 0 < t < r e n = 0,, 2... Usando isso (n+)(n+2) a n+2 M n t n [(k+) a k+ + a k ] t k M n t n [(k+ ) a k+ + a k ] t k + M a n+ t. (2) Vamos considerar a série A nx n, com os coeficientes definidos por A 0 = a 0, A = a (n+ 2)(n+ )A n+2 = M n t n [(k+)a k+ + A k ] t k + MA n+ t. (3) Usando (2) e (3), por indução, temos que a n A n, para n = 0,, 2,... Vamos mostrar que a série A nx n é convergente para x < r, o que implica que a série de y(x) também é convergente. Usando (3) temos que Assim (n+)na n+ (n+ )na n+ = M n t n n(n )A n = M n 2 t n 2 = t { M t n 2 [(k+ )A k+ + A k ] t k + MA n t [(k+ )A k+ + A k ] t k + MA n t. } n 2 [(k+)a k+ + A k ] t k + M[nA n + A n ] t + MA n t = t {n(n )A n MA n t+ M[nA n + A n ] t}+ MA n t = A n {n(n )+ Mnt+ Mt 2} t

5 5 Então A n+ x n+ A n x n = n(n )+ Mnt+ Mt2 t(n+ )n x x, quando n. t Assim a série A nx n converge x < t, para todo t < r. Logo a série A nx n converge para x < r. Como a n A n, para n = 0,, 2,..., então também converge para x < r a série y(x) = a n x n. Agora, fazendo n = 0 em (), obtemos a 2 como combinação linear de a 0 e a. Substituindo-se este resultado em () para n = obtemos também a 3 como combinação linear de a 0 e a. Continuando desta forma obtemos Assim, a n = b n a 0 + c n a, para n = 2, 3,.... y(x) = a 0 (+ ) ) b n x n + a (x+ c n x n. Deixamos como exercício para o leitor a verificação de que y (x) = + y 2 (x) = x+ c n x n são soluções fundamentais da equação. b n x n e Exercício. Mostre que se y(x) = a 0 (+ é solução em série de potências da equação então y (x) = + são soluções fundamentais da equação. ) ) b n x n + a (x+ c n x n. P(x) d2 y dy + Q(x) dx2 dx + R(x)y = 0 b n x n e y 2 (x) = x+ c n x n

6 6 REFERÊNCIAS Resposta. y (t) e y 2 (t) são soluções da equação pois fazendo a 0 = e a = 0 obtemos y (t) e fazendo a 0 = 0 e a = obtemos y 2 (t). Além disso [ ] y (0) y W[y, y 2 ](0) = det 2 (0) y (0) y 2 [ ] (0) 0 = det = = 0 0 Como o wronskiano de y (t) e y 2 (t) é diferente de zero para t = 0 e y (t) e y 2 (t) são soluções da equação, então y (t) e y 2 (t) são soluções fundamentais da equação. Referências [] F. Brauer and J. A. Nohel. Ordinary Differential Equations: A First Course. W. A. Benjamin, Inc., New York, 967. [2] Ruel V. Churchil. Variáveis Complexas e suas Aplicações. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 975. [3] E. A. Coddington. Introduction to Ordinary Differential Equations. Prentice-Hall, New York, 96.