TEMPO DE PROVA: 2h30 Questão 1: (2.5 pontos) Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo. ( 1) m m.

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1 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Gabarito prim. prova unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 26/09/208 TEMPO DE PROVA: 2h30 Questão : (2.5 pontos) Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo. ( ) m m (a). 4+3m 4 m= A série de valores absolutos desta série é Comparando com a série harmônica temos m= m 4+3m 4. m= m, lim m m 4+3m 4 / m = lim m m 2 4+3m 4 = 3. Como a série harmónica é divergente, segue pelo teste de comparação no limite que a série de valores absolutos é divergente. Esta série é uma série alternada com m-ésimo termo onde Esta função é positiva. Sua derivada é a m = ( ) m f(m) f(x) := x 4+3x 4. f (x) = 4 3x4 4+3x 4 3. Como f (x) é negativo no intervalo [2, [, a função f é decrescente neste intervalo. Em fim, x lim f(x) = lim = 0. x x 4+3x 4 Segue pelo teste da série alternada que esta série é convergente, e como sua série de valores absolutos é divergente, ela é condicionalmente convergente. (b) m 2 e m4. m= Copyright c 208, Departamento de Matemática, IM-UFRJ, Reservados todos os direitos. É permitida a cópia, reprodução ou distribuição

2 Gabarito prim. prova unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 26/09/208(continuação) Seja do modo que o m-esimo termo desta série é f(x) = x 2 e x3, A função f é positiva. Sua derivada é a m = f(m). f (x) = x(2 3x 3 )e x3. Como f (x) é negativa no intervalo [, [, a função f é decrescente neste intervalo. Em fim, utilizando a substituição temos y = x 3, e dy = 3x 2 dx, f(x)dx = x 2 e x3 dx = 3 e y dy = e 3. Como esta integral é finita, segue pelo teste da integral que esta série é convergente. Como todos os termos desta série são positivos, ela é absolutamente convergente. Copyright c 208, Departamento de Matemática, IM-UFRJ, Reservados todos os direitos. É permitida a cópia, reprodução ou distribuição

3 Gabarito prim. prova unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 26/09/208(continuação) Questão 2: (2.5 pontos) Considere a série de potências f(x) := (a) Determine o intervalo de convergência desta série. (2x+) m (m+) 2. A série é Ela é centrada em f(x) = ( 2 m x+ m. (m+) 2) 2 c = 2. O m-ésimo coeficiente é O raio de convergência satisfaz Assim R = lim m c m+ c m = lim m c m = 2 m (m+) 2 2 m+ (m+2) 2 2 m (m+) 2 = lim m 2(m+2)2 (m+) 2 = 2. R = 2. As extremidades do intervalo de convergência são então 0 e. Em x = 0, a série é f(0) = (m+) 2, que é convergente, pois é uma p-série com p = 2. Em x =, a série é f( ) = ( ) m (m+) 2, que é absolutamente convergente, pois sua série de valores absolutos é uma p-série com p = 2. O intervalo de convergência é então [, 0]. (b) Determine f (0) ( /2), a décima derivada de f em /2. Copyright c 208, Departamento de Matemática, IM-UFRJ, Reservados todos os direitos. É permitida a cópia, reprodução ou distribuição

4 Gabarito prim. prova unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 26/09/208(continuação) Pelo teorema de Taylor, f (0) ( /2) = 0!c m = 0!20 2. Copyright c 208, Departamento de Matemática, IM-UFRJ, Reservados todos os direitos. É permitida a cópia, reprodução ou distribuição

5 Gabarito prim. prova unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 26/09/208(continuação) Questão 3: (2.5 pontos) Considere a seguinte EDO: 2(x )y +xy +y = 0. (a) Mostre que x 0 = é ponto singular regular desta equação. A equação é onde P(x)y +Q(x)y +R(x)y = 0 P(x) = 2(x ), Q(x) = x, e R(x) =. Como P() = 0, este ponto é ponto singular da equação. Como os limites α := lim x (x )Q(x) P(x) β := lim x (x ) 2 R(x) P(x) = lim x x(x ) 2(x ) = 2, e = lim x (x ) 2 2(x ) = 0 existem e são finitos, este ponto é ponto singular regular da equação. (b) Determine as raízes da equação indicial desta equação. A equação de Euler associada é Substituindo α e β nesta equação, temos t 2 y +αty +βy = 0. A equação indicial desta equação de Euler é t 2 y + 2 ty = 0. e as raízes desta equação são 0 e /2. r 2 2 r = 0, (c) Determine a relação de recorrência da solução em séries associada à maior das duas raízes Copyright c 208, Departamento de Matemática, IM-UFRJ, Reservados todos os direitos. É permitida a cópia, reprodução ou distribuição

6 Gabarito prim. prova unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 26/09/208(continuação) encontradas na parte (b). Substituimos primeiro t := (x ) de mode a tornar a equação em A solução é 2ty +(t+)y +y = 0. com a 0 0. As derivadas são y = a m t m+r y = y = Substituindo na equação, temos 2t (m+r)a m t m+r, e (m+r)(m+r )a m t m+r 2. (m+r)(m+r )a m t m+r 2 +(t+) (m+r)a m t m+r + 2(m+r)(m+r )a m t m+r + n= + (m+r)a m t m+r + 2(n+r +)(n+r)a n+ t n+r + + r(2r )a 0 + a m t m+r = 0 (m+r)a m t m+r a m t m+r = 0 (n+r)a n t n+r n=0 (n+r +)a n+ t n+r + n= a n t n+r = 0 n=0 (n+r +) ( ) (2n+2r +)a n+ +a n t n+r = 0. n=0 Pelo teorema de Taylor, temos, para todo n 0, (n+r +) ( (2n+2r )a n+ +a n ) = 0. Substituindo r =, obtemos, para todo n 0, 2 Copyright c 208, Departamento de Matemática, IM-UFRJ, Reservados todos os direitos. É permitida a cópia, reprodução ou distribuição

7 Gabarito prim. prova unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 26/09/208(continuação) 2(n+)a n+ +a n = 0 a n+ = a n 2(n+). Copyright c 208, Departamento de Matemática, IM-UFRJ, Reservados todos os direitos. É permitida a cópia, reprodução ou distribuição

8 Gabarito prim. prova unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 26/09/208(continuação) Questão 4: (2.5 pontos) Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do problema { y +2y +5y = u π (x)sen(x)+δ π (x)cos(x) y(0) = 0, y (0) = onde u π (x) é a função degrau unitário com singularidade em π e δ π (x) é a função delta de Dirac com singularidade em π. Aplicando a transformada de Laplace ao lado esquerdo, temos L[y +2y +5y] = L[y ]+2L[y ]+5L[y] = s 2 L[y] sy(0) y (0)+2sL[y] y(0)+5l[y] = (s 2 +2s+5)L[y]. Aplicando a transformada de Laplace ao lado direito, temos L[u π (x)sen(x)+δ π (x)cos(x)] = L[u π (x)sen((x π)+π)]+l[δ π (x)cos(x)] = L[u π (x)sen(x π)]+e πs cos(π) = e πs L[sen(x)] e πx. Igualando os dois lados, temos então Temos Assim (s 2 +2s+5)L[y] = e πs s 2 + e πs L[y] = e πs (s 2 +)(s 2 +2s+5) + (s 2 +2s+5) e πs s 2 +2s+5. (s 2 +2s+5) = 2 2(s+) 2 +4 = 2 L[e x sen(2x)]. e πs (s 2 +2s+5) = 2 e πs L[e x sen(2x)] = 2 L[u π(x)e (x π) sen(2(x π))] = 2 L[u π(x)e π e x sen(2x)]. Copyright c 208, Departamento de Matemática, IM-UFRJ, Reservados todos os direitos. É permitida a cópia, reprodução ou distribuição

9 Gabarito prim. prova unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 26/09/208(continuação) Aplicando a técnica de frações parciais, temos (s 2 +)(s 2 +2s+5) = (2 s) 0(s 2 +) + s 0(s 2 +2s+5) = s 0s s (s+) 0(s+) (s+) 2 +4 = 0 L[cos(x)]+ 5 L[sen(x)]+ 0 L[e x cos(2x)] 20 L[e x sen(2x)] = L[h], onde Assim h(x) = 0 cos(x)+ 5 sen(x)+ 0 e x cos(2x) 20 e x sen(2x). e πs (s 2 +)(s 2 +2s+5) = e πs L[h(x)] = L[u π (x)h(x π)]. Segue que L[y] = L[u π (x)h(x π)]+ 2 L[e x sen(2x)] 2 L[u π(x)e π e x sen(2x)]. Assim y = u π (x)h(x π)+ 2 e x sen(2x) 2 u π(x)e π e x sen(2x). Justifique todas as suas respostas! Apresente seus cálculos. FÓRMULAS ÚTEIS NO VERSO! Copyright c 208, Departamento de Matemática, IM-UFRJ, Reservados todos os direitos. É permitida a cópia, reprodução ou distribuição

10 Gabarito prim. prova unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 26/09/208(continuação) A - Transformadas de Laplace elementares. f L[f] s, s > 0 t m m! (m N) s m+, s > 0 e at s a, s > a t m e at (m N) sen(at) cos(at) e at sen(bt) e at cos(bt) senh(at) cosh(at) δ a (t)f(t) m! (s a) m+, s > a a s 2 +a 2, s > 0 s s 2 +a 2, s > 0 b (s a) 2 +b 2, s > a (s a) (s a) 2 +b 2, s > a a s 2 a2, s > a s s 2 a2, s > a e as f(a) u a (t)f(t a) e at f e as L[f](s) L[f](s a) f (m) (t) s m L[f](s) s m f(0)... f (m ) (0) Copyright c 208, Departamento de Matemática, IM-UFRJ, Reservados todos os direitos. É permitida a cópia, reprodução ou distribuição