CURSO DE RESOLUÇÃO DE PROVAS de MATEMÁTICA da ANPEC Tudo passo a passo com Teoria e em sequência a resolução da questão! Prof.

Transcrição

1 Prof. Chico Vieira MATEMÁTICA da ANPEC Tudo Passo a Passo Teoria e Questões FICHA com LIMITES, DERIVADAS, INTEGRAIS, EDO, SÉRIES Integrais Dupla e Tripla

2 LIMITES ANPEC QUESTÕES JÁ GRAVADAS

3

4 DERIVADAS ANPEC - QUESTÕES JÁ GRAVADAS

5

6

7

8

9 INTEGRAIS ANPEC - QUESTÕES JÁ GRAVADAS

10 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ANPEC QUESTÕES JÁ GRAVADAS

11 INTEGRAIS CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS ANPEC QUESTÕES JÁ GRAVADAS

12 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ANPEC - QUESTÕES JÁ GRAVADAS

13 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS ANPEC QUESTÕES JÁ GRAVADAS

14

15 1. Sequências - SÉRIES - Resumos e Exemplos Exemplos Definição Propriedes dos Limites

16 Ex-1 Ex-2 Ex-3 Ex-4 Ex-5

17 Ex-6 Ex-7 Ex-8 Ex-9

18 Ex Séries

19 Ex-1 Ex-2

20 Ex-1 3. Teste da Integral e Estimativas de Somas Ex-1

21 Ex-2 4. Os Testes de Comparação Ex-1

22 Ex-2 Ex-3 Ex-4

23 5. Séries Alternadas Ex-1 6. Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz Ex-1

24 Ex-1 Ex-2

25 Ex-3 7. Estratégias para resolução de Problemas

26 8. Série de Potências Ex-1 Ex-2

27 Ex-3 Ex-4

28 Ex-5 9. Representação de Funções como série de Potência Ex-1

29 Ex-2 Ex-3

30 Ex-4 Ex-5

31 Ex Série de Taylor e Maclaurin

32 Ex-1 Ex-2 Ex-3

33 Ex-4 Ex-5

34

35 SÉRIES ANPEC ANPEC-2016 ANPEC-2015

36 ANPEC-2014 ANPEC-2012

37 ANPEC-2012

38 ANPEC-2012 ANPEC-2011 QUESTÃO 04 Julgue as afirmativas: O Se e, para todo, então é uma sequência convergente. 1Se e, para todo, então converge para 2. 2 A série diverge.

39 3 Se é uma sequência de números reais não nulos, com, então a série converge. 4 Sejam e sequências de números positivos, tais que. Se e, então. ANPEC-2010

40 ANPEC-2010 ANPEC-2009

41 ANPEC-2009 ANPEC-2008

42 ANPEC-2007 ANPEC-2006 QUESTÃO 11 Avalie as opções O A seqüência a n = (-1) n não possui limite. É, portanto, ilimitada. 1 A função diferenciável f: R R é estritamente crescente se e somente se f (x) > 0 em todo o domínio. 2 Seja a série de S a. n Se a série S a n n * n converge, então S n também converge. 3 Se a serie S n é convergente, a série S a também converge. * n n 4 Seja A uma matriz n n que tem n autovalores reais diferentes. Se todos os autovalores de A são menores do que 1 (em módulo) então A t n n t 0. n ANPEC-2003 Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso): O 1 1 (1 i) (1 i) n 1 1 A série 3 2 A série n n (1 i) 3 n é divergente. n converge. 1 1 para i > 0. n (1 i) i

43 n 1 3 A série 1 4 A série n 2 n 1 n! n 1 1 converge. n converge. n ANPEC-2002 Considere a expansão de Taylor até o termo de quinta ordem, em torno do ponto x 0. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): O e x 2 x x x x 1 x x x x x ln(1 x) x x x cosx x x x sen x a x ( x ln a) ( x ln a) ( x ln a) ( x ln a) 1 x ln a ANPEC-2001 A respeito das séries abaixo, assinale V (verdadeiro) ou F (falso): O A série 1/ n é convergente; n 1 1 A série n X, onde Fat ( n) n( n 1)( n 2) , é convergente para todo X R ; 1 Fat( n) n 2 A série n 1 2 n( n 1) é convergente 3 A série n 1 1 n( n 1) é divergente;

44 4 A série 1/ n n é convergente. n 1 ANPEC-2000 A respeito dos limites abaixo, assinale V (verdadeiro) ou F (falso): n 1 r ( r / 2!) ( r / 3!) ( r / 4!)... ( r / n!) (0) lim 1 n n (1 r / n) n (1) lim r r r r nr ; para r 1 n r r r r 4 n... r 1 r (0) r ( r / 3!) ( r / 5!) ( r / 7!) ( r / 9!)... cos( r) (3) 1 ( r / 2!) ( r / 4!) ( r / 6!) ( r / 8!)... sen( r) ANPEC-2000 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Se a série x 1 n for convergente, então a série 1 (1) Se a série 1 n n x também será convergente; x for convergente, então a série x 1 n também será convergente; (2) Sabendo-se que a série x 1 n é convergente, dada uma outra série y 1 n cujo termo geral satisfaz à propriedade y x para todo inteiro natural n, podemos afirmar que 1 y n também é convergente; n n (3) Se a sequência { y n } atender à propriedade y n 1/ n para todo inteiro natural n, então a 1 série y será convergente n

45 1. Equações Separáveis EDO: Resumo e Exemplos Ex-1 Ex-2

46 2. Equações Lineares de Primeira Ordem Ex-1 Ex-2

47 Ex-3 3. Equações Lineares de Segunda Ordem Homogêneas

48 Ex-1 Ex-2 Ex-3 Ex-4

49 Ex-5 Ex-6 4. Equações Lineares de Segunda Ordem Não Homogêneas

50 Ex-1 Ex-2

51 Ex-3 Ex-4

52 Ex-5 Ex-6

53 EDO ANPEC ANPEC-2016 ANPEC-2015 ANPEC-2014

54 ANPEC-2012 ANPEC-2011 Seja uma função contínua e o conjunto de todas as soluções da equação diferencial

55 Seja uma solução de com condições iniciais e. Julgue os itens abaixo: O Se, a função é uma solução particular de. 1 Se, a solução é dada por. 2 Se, a função é uma solução particular de. 3 Se, a função é uma solução particular de. 4 Se, a solução é dada por. ANPEC-2010 ANPEC-2010

56 ANPEC-2009 ANPEC-2008 ANPEC-2007 ANPEC-2006 dy Seja y(x) uma solução da equação diferencial 2y 4. Calcule lim y( x). dx x ANPEC-2005 Se a função yx ( ) é uma solução da equação diferencial 2 d y dy y 0 2 dx dx e (0) 1 y, calcule o valor de 3 d y dx 3 0. ANPEC-2004

57 Considerando uma solução x (t) qualquer da equação diferencial 3 x ''( t) 4 x'( t) x( t) 0, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) O se x (t) é uma função não-nula então lim x( t) 0 t 1 se x (t) é uma função não-nula então lim x( t) t 2 x (t) tem um ponto de mínimo global na reta real ; 3 se x (t) é tal que x ( 0) 0 e x '(0) 1 então lim x( t) t 4 se x (t) é tal que x( 0) 0 e x '(0) 1 então x (t) tem um ponto de máximo global na reta real. ; ; ; ANPEC d y dy Considere a equação diferencial 2 y 0 2 dx dx dy(0) com y ( 0) 2 e 2 dx. Calcule y (ln(2 )). ANPEC-2003 Considerando que a função y: + satisfaz à equação diferencial de primeira ordem dy y x, e que dx x y(x = 3) = 18, qual deve ser o valor de x para que y(x) seja igual a 4? ANPEC-2002 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): 3 O A solução da equação diferencial y y y apresenta 3 equilíbrios estacionários quando t, dependendo da condição inicial: y 1, y 0 e y 1. O equilíbrio y 0 é o único que é instável. 1 Considere a equação diferencial diferenciável tal que k 0 diverge. y y f, em que f é uma função continuamente f. Se f ' 0 então, para qualquer condição inicial, a solução 2 A solução da equação diferencial de 2 ª ordem y y c 0 apresenta ciclos se, e somente se, c 1/ 4. 3 Sejam z Az r, r 2 os autovalores de A. Se 0 r 1 1 e r 0 então o sistema converge com oscilações para 0 quando n. n 1 n um sistema de 2 equações em diferenças finitas e No modelo de funcionamento dinâmico de um mercado descrito pelo Cobweb cycle a demanda na data t ( D ) é função do preço corrente t p t, enquanto que a oferta ( S t ) é função do preço praticado

58 no período precedente p t 1. A demanda e oferta são especificadas como D t pt e St p t 1, em que,,, são constantes. Então, com o passar do tempo, o mercado converge para um equilíbrio estável se, e somente se, e ( )/ 0. Sabendo que a função d y x y y : satisfaz à equação diferencial de primeira ordem, x d x 2 5 no ponto x 0 tem-se y ( 0) e 10, calcule y (2)., e que ANPEC-2001 Dada a equação de diferenças finitas do segundo grau y 2y y 10 com valores y 3 e y 4 1, assinale V (verdadeiro) ou F (falso): O A solução particular da equação é uma função decrescente; 2 t 2 t 1 t 0 1 A solução homogênea da equação é uma função monótona; 2 Para t = 2, o valor da solução geral é y 2 1/ 2 ; 3 O valor da solução geral no infinito é lim y 2 ; t t 4 O valor da solução geral no infinito independe de y 0 e y 1. ANPEC d y dy Sabendo que a função y : R R satisfaz à equação diferencial 2 y 10 x 2 dx dx dy(1) 1 3e, e que y( 1) 13 2e, calcule y (0). dx, e que ANPEC-2001 Sabendo que a função y ( 0) 25, calcule y (1). dy 1 y : ( 1, ) R satisfaz à equação diferencial y 30x, e que dx 1 x ANPEC-2000

59 Sabendo que a função 2 d y dy 2x 3 2y e 2 y : R R satisfaz à equação diferencial ordinária de 2 a ordem, dy e sendo dados y( 1) 3e e (1) e 2 3e, assinale V (verdadeiro) ou F dx dx dx (falso): (0) A solução homogênea é y h ( x) x 2x c1e c2e, em que 2 c, c 1 são constantes a determinar; (1) A solução particular é y p 2x ( x) (1/ 2) e ; (2) As constantes são c ; c 1; (3) y ( 0) ANPEC Considere a equação em diferenças yt 2 yt 1 y t 1 4 t tal que y 0 1 e y 5 1. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): h t (0) A solução homogênea é : yt c1 ( 1/ 2) c2 ; (1) A solução particular é : y p 20 4t; (2) As constantes são: c 1 21; c2 1; (3) y 25 / 2 4 (4) lim y 1. t t t

60 1. Cálculo de Volumes INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2. Integrais Interadas Ex-1

61 Ex-2 Ex-3 Ex-4

62 3. Integrais Duplas Sobre Regiões Gerais Ex-1

63 Ex-2 Ex-3 Ex-4

64 4. Integrais Duplas em Coordenadas Polares Ex-1

65 Ex-2 Ex-3 Ex-4

66 5. Aplicações das Integrais Duplas

67 Ex-1 Ex-2

68 Ex-3 6. Área de Superfície Ex-1 Ex-2

69 7. Integrais Triplas

70 Ex-1 Ex-2

71 Ex-3 Ex-4

72 Ex-5 8. Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

73 Ex-1 Ex-2

74 9. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Ex-1

75 Ex Mudanças de Variáveis em Integrais Múltiplas

76 Ex-1

77 INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS ROTACIONAL DIVERGENTE LAPLACIANO-GRADIENTE DERIVADA DIRECIONAL CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE PARA FUNÇÕES DE 2 OU 3 VARIÁVEIS TEOREMA DO DIVERGENTE OU STOKES INTEGRAL DE LINHA CONJUNTOS FUNÇÕES MATRIZES E DETERMINANTES MATEMÁTICA FINANCEIRA LIMITES DERIVADAS INTEGRAIS