Instituto de Matemática - IM-UFRJ Cálculo Diferencial e Integral IV - MAC248 Primeira prova - Unificada - 29/04/2019

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1 Página Questão : (.5 pontos é (condicionalmente ou absolutamente convergente, ou di-. Determine se a série vergente. Instituto de Matemática - IM-UFRJ Primeira prova - Unificada - 9/04/09 TEMPO DE PROVA: h30 ( n n log(n. Para quais das seguintes séries o Teste de Razão não é conclusivo? (a, n 3 (b n, (c n ( 3 n, (d +n.. Primeiro usamos o teste da série alternada. A função f(x = x log(x = (x log(x satisfaz f (x = (x log(x (log(x + < 0, ( n então f é decrescente e a série = n log(n ( n a n satisfaz a n a n+ > 0 e a n = 0, e é necessariamente convergente. A série não é absolutamente convergente pelo teste de integral. Consideramos a integral e concluimos que a série. (a e o teste não é conclusivo.. (b x log(x dx = n log(n e t dt =, também é divergente. a n+ = a n+ = n + n n (n + 3 =, n n+ = < e o teste é conclusivo.. (c e o teste é conclusivo.. (d a n+ = a n+ = 3 n 3 n + = 3 > + + n + (n + = e o teste de Razão não é conclusivo.

2 Página Questão : (.5 pontos Considere a equação diferencial Primeira prova - Unificada - 9/04/09 (continuação (x π y + cos(xy + (x π y = 0.. Demonstre que o ponto x = π/ é um ponto ordinario da equação.. Se a n(x π n é uma solução da equação, determine as equações lineares que relacionam os primeiros coeficientes a 0, a, a, a 3.. A função f(x = cos(x é analítica e pode ser representada por sua série de Taylor em x 0 = π, cos(x = ( n (n! (x π n, = (x π + 3! (x π 3 5! +. Logo, a equação (x π y + cos(xy + (x π y = 0 é equivalente à equação diferencial ( y ( n (n +! (x π n y + (x π y = 0. Os coeficientes de y e y são funções analíticas em torno de π, então x 0 = π é um ponto ordinário da equação.. Se y(x = a n(x π n, então calculamos (x π y = a n (x π n+ = y = y = a n n(x π n = a n (x π n, a n+ (n + (x π n, a n n(n (x π n = e consideramos a longa equação diferencial ( a n+ (n + (n + (x π n a n+ (n + (n + (x π n ( ( ( n (n +! (x π n a n+ (n + (x π n ( + a n (x π n = 0 O termo constante nessa expressão vem do termo constante no primeiro termo, mais o produto dos termos constantes no produto no meio. Isso é, a a = 0.

3 Página 3 Primeira prova - Unificada - 9/04/09 (continuação O coeficiente de (x π na longa equação vem dos termos lineares no primeiro e o último termos, junto com um produto do termo no meio : 6a 3 a + a 0 = 0. O próximo coeficiente vai involver o termo a 4, então terminamos aqui. As equações lineares são a a = 0, 6a 3 a + a 0 = 0. Questão 3: (.5 pontos Considere a equação diferencial ordinária x y + 3xy + (x y = 0.. Demonstre que x = 0 é um ponto singular regular dessa equação.. Determine as raízes da equação indicial da equação diferencial. 3. Determine a relação de recorrência para os coeficientes da série de potências em torno de x = 0 da solução y(x que corresponde com à maior das duas raízes da equação indicial.. Lembrando a última questão, não é suficiente observar que o coeficiente de y anula-se em x = 0 para afirmar que isso é um ponto singular. Ao invés disso, para P (x = x, Q(x = 3x e R(x = x, temos que Q(x/P (x = 3/x que não é analítica em torno de x = 0, então podemos concluir que x = 0 é um ponto singular. Porém, xq(x x 0 P (x então x = 0 é um ponto singular regular. R(x = 3/, e x x 0 P (x =. e 3. Suponha que y(x = x r a nx n = a nx n+r. Então calculamos logo, x y = xy = x y = a n x n+r+ = a n x n+r, a n (n + rx n+r, a n (n + r(n + r x n+r, 0 = x y + 3xy + (x y, ( = r(r + 3r a 0 x r + + ( (r + r + 3(r + a x r+ (((n + r(n + r + 3(n + r a n + a n x n+r.

4 Página 4 Primeira prova - Unificada - 9/04/09 (continuação Logo, a equação indicial é r(r + 3r = r + r = (r (r + = 0 e as raízes da equação indicial são r = e r = /. A relação de recorrência associada à raíz r = / é a n = a n (n + (n + 3(n + = a n n + 3n para n. Também observamos que é necessário ter a = 0. Questão 4: (.5 pontos Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução y(t do seguinte sistema de equações { x (t + y (t y(t = t, com condições iniciais x(0 = y(0 = 0. x(t + y (t y(t =, Na segunda equação acima, colocamos t = 0 para ver que 0 + y (0 y(0 = e y (0 =. Diferenciando a segunda equação, temos x +y y = 0. Então, podemos retirar x da expressão ao fazer a diferença com a primeira equação. Obtemos y 3y + y = t, y(0 = 0, y (0 =. Aplicando a transformada de Laplace, se Y (s = L{y(t}, Simplificamos isso usando frações parciais (s 3s + yy (s = /s, Y (s = s (s 3s + s, = Y (s = A s + B s + C s, s + s (s = s + s (s. As(s + B(s + cs, s (s s + = (A + Cs + (B As SB. Então o sistema de equações lineares A + C = 0, B A =, B = tem soluções A = 3/4, B = / e C = 3/4. Temos Y (s = 3 4 s s s, y(t = 3 4 t et. Juntando isso com a segunda equação acima, obtemos x(t = 3 4 t 3 4 et.

5 Página 5 Primeira prova - Unificada - 9/04/09 (continuação Justifique todas as suas respostas! Apresente seus cálculos. TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE NO VERSO!

6 Página 6 Primeira prova - Unificada - 9/04/09 (continuação Transformadas de Laplace elementares. f L[f] s, s > 0 t m m! (m N s, s > 0 m+ e at s a, s > a sen(at cos(at e at sen(bt e at cos(bt senh(at cosh(at u a (tf(t a a s + a, s > 0 s s + a, s > 0 b (s a + b, s > 0 (s a (s a + b, s > 0 a s a, s > a s s a, s > a e as L[f](s e at f L[f](s a f (m (t s m L[f](s s m f(0... f (m (0 Integrais úteis. x m cos(αxdx = xm α sen(αx m x m sen(αxdx α x m sen(αxdx = xm α cos(αx + m x m cos(αxdx α O problema { y + λy = 0 y(0 = 0, y(l = 0 tem autovalores λ = n π /L, n N, e as autofunções correspondentes são ( nπx y n (x = sen. L