Critérios de Avaliação A avaliação ao longo das actividades lectivas será periódica, sendo efectuados dois testes. Os testes serão nos dias 7 de Abril

Transcrição

1 Cálculo II Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica Mestrado Integrado em Engenharia Civil António Bento Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior 2014/2015 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 Bibliografia Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1 e 2, Reverté, 1993 Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I e II, Escolar Editora, 1989 Demidovitch, B., Problemas e exercícios de Análise Matemática, McGrawHill, 1977 Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 2, Projecto Euclides, IMPA, 1989 Lima, E. L., Análise Real, Vol. 2, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2004 Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983 Sarrico, C., Cálculo Diferencial e Integral, Esfera do Caos, 2009 Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Brooks/Cole Publishing Company, 2008 Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 2, McGrawHill, 1983 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

2 Critérios de Avaliação A avaliação ao longo das actividades lectivas será periódica, sendo efectuados dois testes. Os testes serão nos dias 7 de Abril de 2015 e 25 de Maio de Os dois testes serão cotados, cada um deles, para 10 valores. Designando por T 1 a nota do primeiro teste e por T 2 a nota do segundo teste, a classificação final será calculada da seguinte forma: se T 1 + T 2 for inferior a 16,5 valores, a classificação final será o arredondamento às unidades de T 1 + T 2 ; se T 1 + T 2 for superior ou igual a 16,5 valores, terá de ser feita uma prova oral; nessa prova oral será atribuída uma nota, que designaremos por P O, entre 0 e 20 valores; a classificação final será o arredondamento às unidades de { max 16, T } 1 + T 2 + P O. 2 São aprovados os alunos com classificação final igual ou superior a 10 valores. Todos os alunos são admitidos a exame. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 Atendimento O horário de atendimento será às quintas-feiras, das 16 horas às 18 horas, no gabinete 4.25 do Departamento de Matemática. Caso este horário não seja conveniente, pode ser combinado outro horário com o docente da cadeira através dos bento@ubi.pt António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

3 Índice 1 Séries 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 Índice 1 Séries Séries de números reais Séries de potências Série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

4 Índice 1 Séries Séries de números reais Definição, exemplos e primeiras propriedades Séries de termos não negativos Séries de termos sem sinal fixo Séries de potências Série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 Índice 1 Séries Séries de números reais Definição, exemplos e primeiras propriedades Séries de termos não negativos Séries de termos sem sinal fixo Séries de potências Série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

5 1.1.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades Paradoxo de Aquiles Numa corrida entre um atleta velocista (Aquiles) e uma tartaruga é dada uma vantagem inicial em termos de distância à tartaruga. Zenão defende que Aquiles jamais alcançará a tartaruga porque quando chegar ao ponto onde a tartaruga partiu, ela já terá percorrido uma nova distância; e quando Aquiles percorrer essa nova distância, a tartaruga já terá percorrido uma nova distância e assim sucessivamente. Este famoso paradoxo foi proposto por Zenão da Elea no século V a.c.. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Definição, exemplos e primeiras propriedades 200 m 40 m 8 m Suponhamos que a vantagem inicial que Aquiles dá à tartaruga é 200 m, que a velocidade de Aquiles é 5 m/s e que a velocidade da tartaruga é 1 m/s. Aquiles demora 200 = 40 s para chegar ao ponto de 5 onde a tartaruga partiu. Entretanto, a tartaruga percorreu 1 40 = 40 m. Em seguida, Aquiles demorou 40 = 8 s para chegar onde 5 a tartaruga estava e a tartaruga andou 1 8 = 8 m e assim sucessivamente... Será que Aquiles consegue alcançar a tartaruga? António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

6 1.1.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades No primeiro ponto, o ponto inicial da tartaruga, Aquiles percorreu 200 metros; no ponto seguinte Aquiles percorreu (no total) metros; no terceiro ponto Aquiles percorreu /5 = metros; no quarto ponto Aquiles percorreu metros; e assim sucessivamente. O paradoxo de Aquiles tem por detrás aquela que, provavelmente, foi a primeira série da história! António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Definição, exemplos e primeiras propriedades Se (a n ) é uma sucessão de números reais, chamaremos série gerada por (a n ) à expressão a 1 + a a n + obtida por adição (formal) dos termos da sucessão. A cada série fica associada uma sucessão (s n ), a que se chama sucessão das somas parciais de (a n ), definida por s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3. s n = a 1 + a a n. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

7 1.1.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades A série diz-se convergente ou divergente conforme seja convergente ou divergente a sucessão das somas parciais (s n ). Quando a série é convergente, o limite da sucessão (s n ) designa-se por soma ou valor da série. Para representarmos a série (ou a sua soma, quando exista) usam-se os símbolos a 1 + a a n + ; a n ; n=1 an e o contexto onde se usam estes símbolos indicará se estão a representar a série ou a sua soma. Dizemos que duas séries são da mesma natureza se são ambas convergentes ou ambas divergentes. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Definição, exemplos e primeiras propriedades Observação Em certos casos pode haver vantagem em que o primeiro valor que o índice n toma seja um inteiro diferente de um, o que não traz nenhuma dificuldade na teoria que irá ser exposta. Assim, n=2 1 n 1 e n=0 1 n + 1 designam a mesma série, enquanto que designa uma série diferente. n=6 1 n António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

8 1.1.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades Exemplo 2 Para a série, representamos abaixo os primeiros termos da n(n + 1) n=1 2 sucessão de termo geral a n = n(n + 1) e da sucessão (s n) das somas parciais 2 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 a 1 s 1 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 5 a 6 6 a 7 7 a 8 8 a 9 9 a Aparentemente a sucessão das somas parciais aproxima-se de 2... António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Definição, exemplos e primeiras propriedades Exemplo (continuação) De facto, atendendo a que a n = 2 n(n + 1) = 2 n 2 n + 1 conclui-se que s 1 = a 1 = 2 1 s 2 = a 1 + a 2 = = s 3 = a 1 + a 2 + a 3 = = s 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = = s n = a 1 + a a n = n 2 n + 1 = 2 2 n + 1 e portanto ( lim s n = lim 2 2 ) n + 1 Assim, a série é convergente e a sua soma é 2. = 2. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

9 1.1.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades Série harmónica A série n=1 designa-se por série harmónica. Consideremos ainda a respectiva sucessão das somas parciais e tomemos a subsucessão dessa com termos com índice da forma 2 k, ou seja, a subsucessão (s 2 k): 1 n s 2 = > 1 2 s 2 2 = s > = s 2 3 = s > = Em geral temos s 2 k > k 2. Como lim k 2 = +, concluímos que lim s n = + e, consequentemente, a série harmónica é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 Série geométrica Definição, exemplos e primeiras propriedades Dados a, r R, com a 0, e n 0 N 0, consideremos a série n=n 0 ar n que habitualmente se designa por série geométrica. O número r chama-se a razão da série. A sucessão (s n ) n n0 das somas parciais será, neste exemplo, dada por s n = ar n 0 + ar n0+1 + ar n ar n ( ) = ar n r + r r n n 0 = ar n 1 rn n se r 1 1 r a (n n 0 + 1) se r = 1. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

10 1.1.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades Série geométrica (continuação) Fazendo n tender para infinito em ar n 1 rn n se r 1 s n = 1 r ar n 0 (n n 0 + 1) se r = 1. resulta que a série geométrica é { convergente se r < 1, divergente se r 1. Além disso, quando r < 1 a sua soma é igual a ar n 0 1 r. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Definição, exemplos e primeiras propriedades Sejam a n e b n duas séries convergentes cujas somas são A e B, respectivamente. Então a série (an + b n ) é convergente e a sua soma é A + B. Se a n é uma série convergente e b n é uma série divergente, então (an + b n ) é uma série divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

11 1.1.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades Note-se no entanto que, se a n e b n são duas séries divergentes, a série (an + b n ) pode ser convergente ou divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Definição, exemplos e primeiras propriedades Seja a n uma série convergente cuja soma é A e seja λ um número real. Então a série (λan ) é convergente e a sua soma é λa. Seja a n uma série divergente e seja λ um número real diferente de zero. Então a série (λan ) é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

12 1.1.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades Exemplos a) A série + n=1 ( 1 n(n + 1) + 1 ) é convergente porque as séries 5 n 1 + n=1 1 n(n + 1) também são convergentes. Além disso, como + n=1 1 n(n + 1) = e + n= n=1 1 5 n 1 2 n(n + 1), podemos concluir que a sua soma é 1 pois já sabemos que soma da série é 2. Quanto à série n(n + 1) 5 = 1 + ( ) 1 n n 1 5 = é uma série n 5 n=1 n=1 geométrica de razão 1 5 e a sua soma é 1 1 1/5 = 5. Assim, a soma da série 4 + ( 1 n(n + 1) + 1 ) é n 1 4 = 9 4. n=1 n=0 n=0 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Definição, exemplos e primeiras propriedades Exemplos (continuação) b) A série é divergente porque a série + n=1 + n= n 1 = n=1 ( 7 3 n ) n ( ) 1 n 1 7 = 3 + n=0 ( 1 n 7 3) é convergente e a série é divergente. + n=1 1 n António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

13 1.1.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades Voltemos ao exemplo inicial de Aquiles e da tartaruga. A série envolvida neste exemplo é + n= n = + n=0 [ ( 1 n ] ) Como série geométrica de razão 1 5 é convergente pois 1 5 < 1 e a sua soma é /5 = 200 4/5 = 250, o ponto onde Aquiles ultrapassa a tartaruga é 250 m. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Definição, exemplos e primeiras propriedades Nem sempre é fácil calcular a soma de uma série convergente, não se conhecendo mesmo uma expressão para a soma de algumas séries bastante simples. Assim, no que se segue, vamos estudar critérios que nos permitem saber se uma série é ou não convergente, sem estarmos preocupados com a soma no caso da série ser convergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

14 1.1.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades Se a n é uma série convergente, então lim a n = 0. Assim, se (a n ) não converge para 0, a série a n é divergente. Por exemplo, a série n n + 1 ( ) n é divergente porque a sucessão converge para um. n + 1 n N No entanto, o recíproco deste teorema não é válido pois a série harmónica 1 n ( ) 1 é divergente apesar da sucessão n n N convergir para zero. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Definição, exemplos e primeiras propriedades Sejam a n e b n duas séries. Suponhamos que existe N N tal que a n = b n para qualquer número natural n > N. Então an e b n são da mesma natureza. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

15 Índice 1 Séries Séries de números reais Definição, exemplos e primeiras propriedades Séries de termos não negativos Séries de termos sem sinal fixo Séries de potências Série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos não negativos Nesta secção vamos estudar séries de números reais não negativos, ou seja, séries a n tais que a n 0 para cada n N. Obviamente, pelo que já vimos anteriormente, a teoria que vamos apresentar mantém-se válida se a n 0 a partir de certa ordem. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

16 1.1.2 Séries de termos não negativos Critério geral de comparação Sejam a n e b n séries de termos não negativos tais que 0 a n b n a partir de certa ordem. a) Se b n é convergente, então a n também é convergente. b) Se a n é divergente, então b n também é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério geral de comparação 1 a) Consideremos a série. Uma vez que n2 n=1 0 1 n 2 = 2 n(2n) 2 n(n + 1) para qualquer número natural n e, como vimos anteriormente, a série n=1 2 n(n + 1) é convergente, podemos afirmar que a série n=1 1 n 2 é convergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

17 1.1.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério geral de comparação (continuação) b) Estudemos a série Como n=1 1, α 2. nα 0 1 n α 1 para qualquer n N e qualquer α 2 n2 e a série 1 é convergente, a série n2 1 também é convergente quando α 2. nα António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério geral de comparação (continuação) c) A série pois e a série é divergente. n=1 1 é divergente para α 1 nα 0 1 n 1 para cada n N e para cada α 1 nα 1 n António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

18 1.1.2 Séries de termos não negativos Séries de Dirichlet As séries n=1 1 n α, com α R, designam-se por séries de Dirichlet. Nos exemplos anteriores já estudámos a natureza destas séries quando α 1 e α 2. Quando 1 < α < 2, a série é convergente. Assim, + n=1 1 n α é { convergente se α > 1, divergente se α 1. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos não negativos Critério do limite Sejam a n e b n séries de termos não negativos com b n 0 para cada n N. a) Se lim a n b n = l com l 0 e l +, então as séries an e bn são da mesma natureza. b) Se lim a n b n = 0 e a série b n é convergente, então a série an também é convergente. c) Se lim a n b n = + e a série b n é divergente, então a série an também é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

19 1.1.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério do limite 3n a) A série 2n 4 é convergente porque + 3n + 1 n=1 3n n 4 + 3n e 1 > 0 para qualquer n N, n2 e lim 3n n 4 + 3n n 2 n=1 = lim 1 n 2 é convergente. 3n 4 + 4n 2 2n 4 + 3n + 1 = 3 2 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério do limite (continuação) b) Consideremos a série sen 1. É óbvio que n n=1 Como sen 1 n 0 e 1 n > 0 para cada n N. e n=1 1 n é divergente, n=1 lim sen 1 n sen 1 n 1 n = 1 também é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

20 1.1.2 Séries de termos não negativos Critério de D Alembert (para séries de termos positivos) Seja a n uma série de termos positivos tal que lim a n+1 a n = λ. a) Se λ < 1, então a n é convergente. b) Se λ > 1, então a n é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério de D Alembert a) Provemos que a série 2 n n! n n Como é convergente. É óbvio que 2 n n! > 0 qualquer que seja n N. nn lim a n+1 a n = lim 2 n+1 (n + 1)! (n + 1) n+1 2 n n! n n = lim 2 n+1 (n + 1)! n n 2(n + 1)nn 2 n = lim n! (n + 1) n+1 (n + 1) n+1 = lim 2nn (n + 1) n = lim 2 (n + 1) n /n n = lim 2 (1 + 1/n) n = 2 e < 1, pelo critério de D Alembert, a série 2 n n! n n é convergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

21 1.1.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério de D Alembert (continuação) b) A série n3 n é divergente. Como n3 n > 0 para cada n N e lim a n+1 (n + 1) 3n+1 = lim a n n 3 n = lim 3 n + 1 n = lim 3 ( ) n = 3 > 1, pelo critério de D Alembert a série n3 n é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos não negativos Critério de Cauchy (para séries de termos não negativos) Seja a n uma série de termos não negativos tal que lim n a n = λ. a) Se λ < 1, então a n é convergente. b) Se λ > 1, então a n é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

22 1.1.2 Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério de Cauchy a) Vejamos que a série é divergente. Como e ( n + 1 n ) n 2 (n ) n 2 lim n + 1 a n = lim n n ( ) n + 1 n 2 n 0 qualquer que seja n N ( n + 1 = lim n ) n = lim ( n) n = e > 1, pelo critério de Cauchy, a série ( ) n + 1 n 2 n é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos não negativos Exemplos de aplicação do critério de Cauchy (continuação) b) À série n 3 n também podemos aplicar o critério de Cauchy. Como n 3 n 0 para cada n N e lim n a n = lim n n 3 n = lim 3 n n = 3 1 = 3, o critério de Cauchy garante-nos que n 3 n é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

23 Índice 1 Séries Séries de números reais Definição, exemplos e primeiras propriedades Séries de termos não negativos Séries de termos sem sinal fixo Séries de potências Série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos sem sinal fixo Critério de Leibniz Se (a n ) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então a série é convergente. + n=1 ( 1) n a n António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

24 1.1.3 Séries de termos sem sinal fixo Observações a) Se (a n ) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então a n 0 para qualquer n N. b) As séries da forma + n=1 ( 1) n a n designam-se por séries alternadas. c) O critério de Leibniz também é válido para séries da forma + n=1 ( 1) n+1 a n ou da forma + n=k ( 1) n a n. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos sem sinal fixo Exemplos a) A sucessão de termo geral a n = 1 n é decrescente pois a n+1 a n = 1 n n para qualquer n N. Além disso, = n (n + 1) n(n + 1) = 1 n(n + 1) 0 lim a n = n + Pelo critério de Leibniz, a série lim n + 1 n = 1 + = 0. é convergente. + n=1 ( 1) n n António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

25 1.1.3 Séries de termos sem sinal fixo Exemplos (continuação) b) Estudemos a natureza da série + n=1 ( 1) n. Como n 2 1 (n + 1) 2 1 n 2 = n2 (n + 1) 2 n 2 (n + 1) 2 = n2 (n 2 + 2n + 1) n 2 (n + 1) 2 = 2n 1 n 2 (n + 1) 2 0 para qualquer n N, ou seja, a sucessão de termo geral a n = 1 n 2 é decrescente, e lim n + 1 n 2 = 1 (+ ) 2 = 1 + = 0, o critério de Leibniz garante-nos que a série é convergente. + n=1 ( 1) n n 2 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos sem sinal fixo Exemplos (continuação) c) Estudemos a natureza da série sucessão (a n ) é decrescente pois para qualquer n N. + n=1 a n+1 a n = n + 2 n + 1 n + 1 n (n + 2)n (n + 1)2 = n(n + 1) ( 1) n a n com a n = n + 1 n. A = n2 + 2n (n 2 + 2n + 1) n(n + 1) 1 = n(n + 1) 0 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

26 1.1.3 Séries de termos sem sinal fixo Exemplos (continuação) c) (continuação) No entanto, como lim a n = n + n + 1 lim n + n n = lim n + n + 1 n = não podemos aplicar o critério de Leibniz pois lim a n 0. lim n + n = 1, Mas se lim a n = 1, a sucessão de termo geral ( 1) n a n é divergente pois a subsucessão dos termos de ordem par converge para 1 e a subsucessão dos termos de ordem ímpar converge para 1. Assim, a série + + ( 1) n a n = ( 1) n n + 1 é divergente. n n=1 n=1 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos sem sinal fixo Uma série módulos + + n=1 n=1 a n diz-se absolutamente convergente se a série dos a n é convergente. As séries absolutamente convergentes são convergentes, ou seja, se + n=1 a n é convergente, então + n=1 a n também é convergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

27 1.1.3 Séries de termos sem sinal fixo Observação O recíproco do resultado anterior não se verifica. A série + n=1 ( 1) n n é convergente, mas a sua série dos módulos + n=1 ( 1) n + n = n=1 é a série harmónica que já vimos ser divergente. 1 n As séries convergentes cuja série dos módulos é divergente dizem-se simplesmente convergentes, semi-convergentes ou condicionalmente convergentes. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos sem sinal fixo Exemplos a) Através do critério de Leibniz concluímos que a série + n=1 ( 1) n convergente. Uma outra forma de vermos que é convergente é através da série do módulos: + + n=1 ( 1) n + = n 2 n=1 1 n 2. 1 Ora a série é uma série de Dirichlet com α = 2 e, portanto, é n2 n=1 convergente. Logo + n=1 ( 1) n é absolutamente convergente e, portanto, é convergente. n 2 n 2 é António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

28 1.1.3 Séries de termos sem sinal fixo Exemplos (continuação) + cos n b) Estudemos a natureza da série n 2. Como, para qualquer + 2n + 3 n=1 n N, se tem 0 cos n n 2 + 2n + 3 = cos n n 2 + 2n n 2 + 2n n e a série é convergente, pelo critério geral de comparação, a série n2 n=1 + cos n n 2 + 2n + 3 é convergente. Logo n=1 + n=1 cos n n 2 + 2n + 3 é absolutamente convergente e, por conseguinte, é convergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos sem sinal fixo Exemplos (continuação) c) Consideremos a série e, como + n=1 + ( 1) n n + 1. A sua série dos módulos é n n=1 ( 1) n n + 1 = n n=1 n + 1 n lim n + n + 1 n n n 2 + n = lim n + n = pelo critério do limite, as séries + n=1 lim n + n + 1 n e n 2 (1 + 1/n) n 2 (1 + 2/n 2 ) = + n=1 lim n /n 1 + 2/n 2 = 1, 1, por serem séries de termos n positivos, são da mesma natureza. Como a série harmónica é divergente, a série + n=1 n + 1 n também é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

29 1.1.3 Séries de termos sem sinal fixo Exemplos (continuação) c) (continuação) Acabámos de ver que a série dos módulos de divergente. Vejamos, usando o critério de Leibniz, que a série convergente. Como e lim n + n + 1 n = lim n + n(1 + 1/n) n 2 (1 + 2/n 2 ) = lim n + + n=1 + ( 1) n n + 1 n é n=1 ( 1) n n + 1 n é 1 + 1/n n(1 + 2/n 2 ) = (1 + 0) = 0 n + 2 (n + 1) n + 1 n = = n 2 + 3n 1 ((n + 1) 2 + 2)(n 2 + 2) 0 para qualquer n N, pelo critério de Leibniz a série + n=1 ( 1) n n + 1 n é convergente. Assim, esta série é simplesmente convergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de termos sem sinal fixo Para séries de termos sem sinal fixo também temos um critério de d Alembert e um de Cauchy. Critério de D Alembert (para séries de termos sem sinal fixo) Seja a n uma série de termos não nulos tal que lim a n+1 a n = λ. a) Se λ < 1, então a n é absolutamente convergente. b) Se λ > 1, então a n é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

30 1.1.3 Séries de termos sem sinal fixo Critério de Cauchy (para séries de termos sem sinal fixo) Seja a n uma série tal que lim n a n = λ. a) Se λ < 1, então a n é absolutamente convergente. b) Se λ > 1, então a n é divergente. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 Índice 1 Séries Séries de números reais Séries de potências Série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

31 1.2 Séries de potências Sejam a 0, a 1,..., a n,... os termos de uma sucessão e a um número real. A série + n=0 a n (x a) n = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) a n (x a) n + designa-se por série de potências de x a. Dizemos que a série está centrada em a e que os números a n são os coeficientes da série. As séries + n=0 x n + n!, n=0 n n 2 (x 2)n e n=0 n(x π) n são séries de potências centradas, respectivamente, em 0, 2 e π. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Observações a) Há séries de potências que não começam em zero. Por exemplo, a série + n=1 1 n xn = tem de começar em um. Obviamente, tudo o que vamos estudar nesta secção contínua válido para estas séries. b) Uma série de potências pode convergir para determinados valores de x e divergir para outros. c) Quando x = a e n = 0 obtemos (x a) n = 0 0 que, apesar de não estar definido, no contexto das séries convencionamos ser igual a 1. d) Para x = a, tendo em conta a observação c), a série é sempre convergente. Aliás, se x = a temos + a n (x a) n = a 0. n=0 + n=1 x n n António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

32 Exemplos de séries de potências a) Estudemos a série de potências 1.2 Séries de potências + n=0 D Alembert à série dos módulos + x n + n + 1 = (quando x 0) temos n=0 x n. Aplicando o critério de n + 1 n=0 x n n + 1 lim n + x n+1 n + 2 x n n + 1 n = lim n + n + 2 x = lim n n n x = 1 x = x e, portanto, a série + n=0 é divergente se x > 1. x n n + 1 é absolutamente convergente para x < 1 e António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Exemplos de séries de potências (continuação) a) (continuação) Falta ver o que acontece quando x = 1. Se x = 1, então obtemos a série n + 1 = 1 n, n=0 n=1 isto é, obtemos a série harmónica que já vimos ser divergente. Para x = 1, temos a série alternada n=0 ( 1) n n + 1 = n=1 ( 1) n 1 n que é convergente (ver os exemplos do critério de Leibniz). Assim, esta série é convergente para x [ 1, 1[ e é divergente para x ], 1[ [1, + [. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

33 1.2 Séries de potências Exemplos de séries de potências (continuação) x n b) Consideremos a série de potências. Aplicando o critério de n! n=0 D Alembert à série dos módulos + x n + n! = x n n! (para x 0) tem-se lim n + x n+1 (n + 1)! x n n! = lim n + n=0 o que permite concluir que a série para todo o x R. + n=0 n! x = lim (n + 1)! n + + n=0 x n n! 1 x = 0 x = 0, n + 1 é absolutamente convergente António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Exemplos de séries de potências (continuação) c) Estudemos a natureza da série série dos módulos temos lim n + + n=0 n n x n = + n=0 nx n = lim n + nx n. Aplicando o critério de Cauchy à + n=0 n x n Assim, a série é absolutamente convergente para e é divergente para n n x = 1 x = x. x < 1 x < 1 x > 1 x ] 1, 1[. x > 1 x < 1 x > 1 x ], 1[ ]1, + [. Falta estudar a natureza da série quando x = 1 e quando x = 1. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

34 1.2 Séries de potências Exemplos de séries de potências (continuação) b) (continuação) Para x = 1 temos a série + n 1 n = que é divergente porque lim n=0 n + + n=0 + n=0 n n = +. Quando x = 1 tem-se n( 1) n = + n=0 ( 1) n n que também é divergente pois a sucessão (( 1) n n) n N é divergente (porque a subsucessão dos termos de ordem par converge para + e a subsucessão dos termos de ordem ímpar converge para ). Portanto, a série + nx n n=0 converge se x ] 1, 1[ e diverge se x ], 1] [1, + [. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Sejam a 0, a 1,..., a n,... os termos de uma sucessão e a um número real. Então a) existe um número real r 0 tal que a série de potências + n=0 a n (x a) n converge absolutamente quando x a < r e diverge quando x a > r; ou b) a série de potências + n=0 a n (x a) n converge absolutamente para qualquer x R. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

35 1.2 Séries de potências O número r do resultado anterior designa-se por raio de convergência da série de potências + n=0 a n (x a) n. Se estivermos no caso da alínea b) costuma-se fazer r = +. O conjunto dos x para os quais a série é convergente designa-se por intervalo de convergência da série de potências + n=0 a n (x a) n. Note-se que o intervalo de convergência de uma série de potências é um dos quatro intervalos seguintes: ]a r, a + r[, [a r, a + r[, ]a r, a + r] ou [a r, a + r]. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Observações a n+1 a) Do critério de D Alembert resulta que se lim n + a n De facto, supondo x a e a n 0 para qualquer n N, como lim n + an+1 (x a) n+1 a n (x a) n = λ, então r = 1 λ. a n+1 = lim x a = λ x a, n + a n pelo critério de D Alembert, a série é absolutamente convergente se λ x a < 1 x a < 1 λ. Além disso, se λ x a > 1 x a > 1 λ, a série é divergente. Logo r = 1 λ = lim n + a n a n+1. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

36 1.2 Séries de potências Observações (continuação) b) De forma análoga prova-se, usando o critério de Cauchy, que se lim n + n a n = λ, então r = 1 λ = lim n + 1 an. n António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Exemplos x n a) Já estudamos a natureza da série de potências n + 1 e n=0 provámos que o raio de convergência desta série é r = 1 e que o seu intervalo de convergência é [ 1, 1[. b) Num exemplo anterior vimos o raio de convergência da série de + x n potências é r = + e, consequentemente, o seu intervalo de n! n=0 convergência é ], + [= R. c) Também já vimos que a série + n=0 + nx n tem como raio de convergência r = 1 e o seu intervalo de convergência é ] 1, 1[. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

37 1.2 Séries de potências Exemplos (continuação) d) Estudemos a série de potências dos módulos + n=1 (x 1) n n 2 2 n + n=1 (x 1) n n 2 2 n + = n=1. Consideremos a série x 1 n n 2 2 n e apliquemos-lhe (para x 1) o critério de D Alembert lim n + x 1 n+1 (n + 1) 2 2 n+1 x 1 n n 2 2 n = lim n + = lim n + n 2 2 n x 1 n+1 (n + 1) 2 2 n+1 x 1 n 1 x 1 (1 + 1/n) 2 2 = x 1. 2 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Exemplos (continuação) d) (continuação) Assim, a série convergente quando + n=1 (x 1) n n 2 2 n é absolutamente x 1 2 < 1 x 1 < 2 x 1 < 2 x 1 > 2 x < 3 x > 1 x ] 1, 3[ e é divergente quando x 1 2 > 1 x ], 1[ ]3, + [. Falta ver o que acontece quando x = 1 e x = 3. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

38 1.2 Séries de potências Exemplos (continuação) d) (continuação) Quando x = 3 temos n=1 + n=1 (3 1) n n 2 2 n = + n=1 2 n + n 2 2 n = n=1 que é uma série de Dirichlet convergente. Quando x = 1 vem + ( 1 1) n + ( 2) n + n 2 2 n = n 2 2 n = ( 1) n 2 n + ( 1) n n 2 2 n = n 2, n=1 e esta série é convergente. Para vermos isso podemos usar o critério de Leibniz ou então ver que a sua série dos módulos + ( 1) n + n 2 = ( 1) n + 1 n 2 = n 2 n=1 n=1 n=1 n=1 é convergente. Assim, o raio de convergência da série e o seu intervalo de convergência é [ 1, 3]. 1 n 2 n=1 + n=1 (x 1) n n 2 2 n é r = 2 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Exemplos (continuação) e) Consideremos a série de potências dos módulos + n=1 + n=1 n n 2 (x 2)n = n n (x 2)n. Aplicando à série n=1 o critério de D Alembert (quando x 2) temos n + 1 (n + 1) lim 2 x 2 n n = lim n 2 x 2 n + 1 e, portanto, a série é convergente quando n n 2 x 2 n + 1 n 3 + n 2 + n + 1 n 3 + 2n 2 x 2 = x 2 + 2n x 2 < 1 x 2 < 1 x 2 > 1 x < 3 x > 1 x ]1, 3[ e é divergente para x 2 > 1 x ], 1[ ]3, + [. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

39 1.2 Séries de potências Exemplos (continuação) e) (continuação) Se x = 3, obtemos a série + n=1 n n (3 2)n = + n=1 n n 2 + 1, que por ser uma série de termos positivos, estudaremos a sua natureza recorrendo ao critério do limite, fazendo a comparação com a série harmónica. Como lim n n n = lim n2 n = 1 concluímos que para x = 3 a série tem a mesma natureza da série harmónica e, portanto, diverge. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Exemplos (continuação) e) (continuação) Além disso, se x = 1 obtemos a série sucessão de termo geral a n = a n+1 a n = n n n=1 é decrescente visto que ( 1) n n n A n + 1 (n + 1) n n = n 2 n + 1 ((n + 1) 2 + 1)(n 2 + 1) < 0 para todo o n N. Por outro lado, uma vez que temos lim a n = n + lim n + = lim n + n n = lim n + n n(n + 1/n) 1 n + 1/n = = 1 + = 0 podemos concluir pelo critério de Leibniz que, para x = 1, a série converge. Assim, a série converge para x [1, 3[ e diverge para x ], 1[ [3 + [. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

40 1.2 Séries de potências No intervalo de convergência I de uma série de potências + n=0 a n (x a) n fica bem definida a função f : I R dada por f(x) = + n=0 a n (x a) n = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) a n (x a) n +. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Propriedades da função f(x) = + n=0 a n (x a) n Seja + n=0 a n (x a) n uma série de potências com raio de convergência r e com intervalo de convergência I. Consideremos a função f : I R definida por f(x) = + n=0 a n (x a) n. Então a) a função f é contínua em I; b) a função f é de classe C em ]a r, a + r[; António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

41 1.2 Séries de potências Propriedades da função f(x) = + n=0 a n (x a) n (continuação) c) para cada x ]a r, a + r[ tem-se f (x) = + n=0 [a n (x a) n ], ou seja, f (x) = = + n=1 + n=0 na n (x a) n 1 (n + 1)a n+1 (x a) n = a 1 + 2a 2 (x a) + 3a 3 (x a) na n (x a) n 1 + António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Propriedades da função f(x) = + n=0 a n (x a) n (continuação) d) para cada x ]a r, a + r[ tem-se f(x) dx = [ + n=0 (x a) n+1 ] a n + C n + 1 = C + a 0 (x a) + a 1 2 (x a)2 + a 2 3 (x a) a n n + 1 (x a)n+1 + ou seja, a função g dada por g(x) = + n=0 a n (x a) n+1 n + 1 é uma primitiva de f. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

42 1.2 Séries de potências Exemplos a) Seja f : R \ {1} R a função dada por f(x) = 1 1 x. Quando estudámos a série geométrica vimos que para cada x ] 1, 1[ temos + n=0 x n = 1 1 x = f(x). Verificamos então que f admite um desenvolvimento em série de potências de x no intervalo ] 1, 1[. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Exemplos (continuação) b) Como ( ) 1 = 1 (1 x) 1(1 x) 1 x (1 x) 2 = 0(1 x) 1( 1) (1 x) 2 = usando o exemplo anterior e uma das propriedades anteriores, temos, para x ] 1, 1[, ( ) 1 1 (1 x) 2 = = 1 x = + n=1 nx n 1 = + n=0 + n=0 (x n ) (n + 1)x n 1 (1 x) 2, António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

43 1.2 Séries de potências Exemplos (continuação) c) O estudo que fizemos da série geométrica permite-nos concluir, para cada x ] 1, 1[, que x = ( x) = ( x) n = n=0 Como ln(1 + x) é uma primitiva de ln(1 + x) = C + + n= x tem-se + ( 1) n xn+1 n=0 n + 1 ( 1) n x n. para algum C R. Como ln(1 + 0) = 0, tem-se C = 0 e, por conseguinte, ln(1 + x) = + ( 1) n xn+1 n=0 n + 1 para qualquer x ] 1, 1[. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Séries de potências Exemplos (continuação) d) Usando novamente a série geométrica, para x ] 1, 1[, temos x 2 = ( x 2 ) = ( x 2 ) n = n=0 + n=0 ( 1) n x 2n e, pelas propriedades estudadas, tem-se para x ] 1, 1[ arctg x = C + + ( 1) n x2n+1 n=0 2n + 1 para algum C R. Como arctg 0 = 0, concluímos que C = 0 e, portanto, arctg x = + ( 1) n x2n+1 n=0 2n + 1 para x ] 1, 1[. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

44 Índice 1 Séries Séries de números reais Séries de potências Série de Taylor 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Série de Taylor Seja f : D R uma função de classe C. Se f puder ser escrita na forma para f(x) = + n=0 a n (x a) n = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) a n (x a) n + x ]a r, a + r[ D, com r > 0, dizemos que f admite uma representação em série de potências de x a no intervalo ]a r, a + r[. As funções que admitem uma representação em série de potências num intervalo não degenerado da forma ]a r, a + r[ dizem-se funções analíticas no ponto a. Dada uma função analítica num ponto a, como calcular os coeficientes a n? António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

45 1.3 Série de Taylor Se para cada x ]a r, a + r[ se tem f(x) = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) a n (x a) n + então f(a) = a 0. Derivando obtemos f (x) = a 1 + 2a 2 (x a) + 3a 3 (x a) na n (x a) n 1 + e, portanto, f (a) = a 1. Derivando novamente obtemos f (x) = 2 a a 3 (x a) + + n (n 1) a n (x a) n 2 + o que implica f (a) = 2 a 2. Iterando o processo obtemos f (n) (a) = n! a n a n = f (n) (a) n! para cada n N 0 (com f (0) = f). Assim, f(x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n + n! António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Série de Taylor Esta última fórmula faz-nos lembrar o polinómio de Taylor e a fórmula de Taylor: Fórmula de Taylor (com resto de Lagrange) Sejam I um intervalo, f : I R uma função de classe C n, n + 1 vezes diferenciável em int I e a um ponto de I. Para cada x I \ {a}, existe c estritamente entre a e x tal que f(x) = f(a) + f (a) (x a) + f (a) 2! onde (x a) f (n) (a) n! R n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x a)n+1. (x a) n + R n (x) António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

46 1.3 Série de Taylor Recordemos que a p n (x) = f(a) + f (a) (x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) n! (x a) n chamamos polinómio de Taylor de grau n da função f em torno de x = a e a R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)! resto Lagrange de ordem n da função f em torno de x = a. Se a = 0 a fórmula de Taylor designa-se por fórmula de Mac-Laurin e o polinómio de Taylor designa-se por polinómio de Mac-Laurin. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Série de Taylor Dada uma função f : D R de classe C, designa-se por série de Taylor de f em a a série + n=0 f (n) (a) (x a) n n! = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! No caso particular em que a = 0 obtemos a série (x a) f (n) (a) (x a) n + n! + n=0 f (n) (0) n! x n = f(0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x f (n) (0) x n + n! que se designa por série de MacLaurin de f. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

47 1.3 Série de Taylor Pelo que foi visto anteriormente, uma função f de classe C é analítica num ponto a interior ao domínio se existe r > 0 tal que f(x) = + n=0 f (n) (a) (x a) n n! para cada x ]a r, a + r[. Assim, da fórmula de Taylor resulta imediatamente o seguinte resultado. Seja f : D R uma função de classe C e seja R n (x) o resto de Lagrange de ordem n da função f em torno de x = a D. Se existir r > 0 tal que para cada x ]a r, a + r[ D se tem lim R n(x) = 0, n + então a função f é analítica em x = a. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Série de Taylor Exemplos a) A função exponencial, f(x) = e x, é de classe C e f (n) (x) = e x o que implica f (n) (0) = 1 para qualquer n N. A fórmula de Maclaurin com resto de Lagrange será e x = 1 + x + x2 2! + + xn n! + R n(x), com R n (x) = ec x n+1 (n + 1)! e onde c é um número entre 0 e x. Como e c x n+1 (n + 1)! emax{0,x} x n+1, (n + 1)! temos lim R n(x) = n + lim n + e c x n+1 (n + 1)! = 0 e, por conseguinte, a função exponencial é analítica em torno da origem e e x = 1 + x + x2 2! + + xn n! + = + António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 n=0 x n n!.

48 1.3 Série de Taylor Exemplos (continuação) b) A função seno, f(x) = sen x, é de classe C e cos x se n = 4k 3, k N; f (n) sen x se n = 4k 2, k N; (x) = cos x se n = 4k 1, k N; sen x se n = 4k, k N; pelo que f (n) (0) = { 0 se n = 2k, n N; ( 1) k+1 se n = 2k 1, n N. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Série de Taylor Exemplos (continuação) b) (continuação) Assim, a fórmula de Maclaurin, com resto de Lagrange, da função seno é com sen x = x x3 3! + x5 5! + + ( 1)n x 2n+1 (2n + 1)! + R 2n+1(x), R 2n+1 (x) = ( 1)n sen c x 2n+2 (2n + 2)! e c um número entre 0 e x. Como lim R 2n+1(x) = 0, a função n + seno é analítica em torno da origem e sen x = x x3 3! + x5 5! + + ( 1)n x 2n+1 (2n + 1)! + = + n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)!. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

49 1.3 Série de Taylor Exemplos (continuação) c) De modo semelhante prova-se que a função coseno é analítica na origem e que cos x = 1 x2 2! + x4 4! + + ( 1)n x 2n (2n)! + = + n=0 ( 1) n x 2n (2n)!. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Série de Taylor Façamos uma lista das principais séries de Taylor deduzidas neste capítulo. e x = + sen x = cos x = n=0 + x n n!, x R ( 1) n (2n + 1)!, x R n=0 + ( 1) n x2n n= x = ln(1 + x) = arc tg x = x2n+1 (2n)!, n=0 + ( 1) n xn+1 x R x n, x ] 1, 1[ n=0 + ( 1) n x2n+1 n=0, x ] 1, 1] n + 1, x [ 1, 1] 2n + 1 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

50 Observação 1.3 Série de Taylor Nem todas as funções de classe C num dado intervalo aberto são analíticas nesse intervalo. Por exemplo, se f : R R é a função definida por { e 1/x 2 se x 0 f(x) = 0 se x = 0 pode provar-se que f é de classe C e f (n) (0) = 0. Obviamente, a sua série de MacLaurin + n=0 f (n) (0) n! x n = f(0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x f (n) (0) x n + n! é identicamente nula e, portanto, é diferente de f em qualquer intervalo da forma ] r, r[, r > 0. Logo f não é analítica em x = 0. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 Índice 1 Séries 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade Breves noções de topologia em R n Funções de R n em R m Limites Continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

51 Índice 1 Séries 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade Breves noções de topologia em R n Os espaços R n Distância, norma e produto interno Bolas e conjuntos limitados Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto Conjuntos abertos e conjuntos fechados Funções de R n em R m Limites Continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 Índice 1 Séries 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade Breves noções de topologia em R n Os espaços R n Distância, norma e produto interno Bolas e conjuntos limitados Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto Conjuntos abertos e conjuntos fechados Funções de R n em R m Limites Continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

52 2.1.1 Os espaços R n Recordemos que se identifica o conjunto R dos números reais com a recta 0 a António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Os espaços R n Os elementos do conjunto R 2 = {(x 1, x 2 ) : x 1, x 2 R} podem ser representados no plano da seguinte forma x 2 b P (a, b) a x 1 Representação geométrica de um ponto de R 2 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

53 2.1.1 Os espaços R n Os elementos do conjunto R 3 = {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1, x 2, x 3 R} podem ser representados no espaço da seguinte forma x 3 c P (a, b, c) b x 2 a x 1 Representação geométrica de um ponto de R 3 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Os espaços R n Podemos generalizar este género de conjuntos para qualquer número natural n. Assim, definimos o conjunto R n utilizando o produto cartesiano, ou seja, R n = R R R }{{} n vezes é o conjunto formado por todos os elementos da forma x = (x 1,..., x n ) onde x i é um número real para i = 1,..., n. A cada elemento x i chamamos i-ésima coordenada de x. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

54 2.1.1 Os espaços R n Em R n vamos considerar duas operações, a adição (entre elementos de R n ) e a multiplicação de um número real por um elemento de R n, definidas, para cada x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) em R n e para cada λ R, da seguinte forma: x + y = (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) e λx = λ (x 1,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ). António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Os espaços R n A adição e a multiplicação verificam, para cada x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) e z = (z 1,..., z n ) em R n e para cada λ, µ em R, as seguintes propriedades: a) x + y = y + x; b) x + (y + z) = (x + y) + z; c) (0,..., 0) R n é o elemento neutro da adição; d) x = ( x 1,..., x n ) é o simétrico de x = (x 1,..., x n ), já que x + ( x) = (0,..., 0); e) λ (µx) = (λµ) x; f) λ (x + y) = λx + λy; g) (λ + µ) x = λx + µx; h) 1 x = x. Por se verificarem estas propriedades, é costume dizer que R n é um espaço vectorial. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

55 2.1.1 Os espaços R n Associada a estas operações está uma outra operação, a subtracção, que é definida, para cada em R n, por x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) x y = (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) = (x 1 y 1,..., x n y n ). Sempre que não haja perigo de confusão, representaremos um elemento genérico de R 2 por (x, y) em vez de (x 1, x 2 ). Da mesma forma, um elemento genérico de R 3 será por vezes representado por (x, y, z) em vez de (x 1, x 2, x 3 ). António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 Índice 1 Séries 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade Breves noções de topologia em R n Os espaços R n Distância, norma e produto interno Bolas e conjuntos limitados Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto Conjuntos abertos e conjuntos fechados Funções de R n em R m Limites Continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

56 2.1.2 Distância, norma e produto interno Em R, observando a figura que se segue x y x y Distância entre dois números reais x e y verificamos que a distância entre dois números reais x e y é dada por d(x, y) = x y. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Distância, norma e produto interno Vejamos como calcular a distância entre dois elementos de R 2. Para isso consideremos dois pontos x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ) e façamos a sua representação geométrica. x 2 d(x, y) x 2 y 2 y 2 x 1 y 1 y 1 x 1 Distância entre dois pontos de R 2 Pelo teorema de Pitágoras concluímos que a distância entre x e y é dada por d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

57 2.1.2 Distância, norma e produto interno Do mesmo modo, a distância entre dois pontos x = (x 1, x 2, x 3 ) e y = (y 1, y 2, y 3 ) é dada por d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2. x = (x 1, x 2, x 3 ) y = (y 1, y 2, y 3 ) Distância entre dois pontos de R 3 António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Distância, norma e produto interno De um modo geral, dados x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) em R n, a distância entre x e y calcula-se usando a seguinte fórmula: d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

58 2.1.2 Distância, norma e produto interno Associado à definição de distância temos o conceito de norma. Dado x = (x 1,..., x n ) R n, a norma de x é dada por x = x x x2 n. Repare-se que se representarmos por 0 o vector nulo (0,..., 0) temos x = x 0 = d(x, 0) pelo que a norma de x = (x 1,..., x n ) é apenas o comprimento do vector x, tal como ilustra a figura seguinte no caso particular de R 2 : x 2 x = (x 1, x 2 ) Além disso, dados x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) em R n, temos x 1 d(x, y) = x y. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Distância, norma e produto interno Para quaisquer x, y R n e para qualquer λ R, as seguintes propriedades são verdadeiras: a) x 0 b) x = 0 se e só se x = 0; c) λx = λ x ; d) x + y x + y. (desigualdade triangular) As três primeiras propriedades apresentadas anteriormente são fáceis de verificar. Já a última propriedade é mais difícil de provar. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

59 2.1.2 Distância, norma e produto interno Outro conceito importante nos espaços R n é o de produto interno. Dados x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, define-se o produto interno da seguinte forma: x, y = n x i y i i=1 = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Distância, norma e produto interno Propriedades do produto interno Para quaisquer x, y, z R n e para qualquer λ R tem-se a) x + y, z = x, z + y, z ; b) x, y + z = x, y + x, z ; c) λx, y = λ x, y ; d) x, λy = λ x, y ; e) x, y = y, x ; f) x, x 0; g) x, x = 0 se e só se x = 0. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

60 2.1.2 Distância, norma e produto interno Para cada x = (x 1,..., x n ) R n temos x, x = x 1 x 1 + x 2 x x n x n = x x x2 n = x, ou seja, a norma pode ser definida à custa do produto interno. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / Distância, norma e produto interno É de referir que para quaisquer x, y R n se tem ou seja, ou ainda, x, y x, x y, y n x i y i n n x 2 i. yi 2, i=1 i=1 i=1 x, y x y. Esta desigualdade designa-se por desigualdade de Cauchy-Schwarz. Além disso, a igualdade só se verifica quando x e y são linearmente dependentes, ou seja, se x = λy para algum λ R. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475

61 2.1.2 Distância, norma e produto interno Em R 2 ou em R 3 tem-se x, y = x y cos θ, onde θ é o ângulo formado pelos vectores não nulos x e y. António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475 Índice 1 Séries 2 Funções de R n em R m : limites e continuidade Breves noções de topologia em R n Os espaços R n Distância, norma e produto interno Bolas e conjuntos limitados Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto Conjuntos abertos e conjuntos fechados Funções de R n em R m Limites Continuidade 3 Cálculo diferencial em R n 4 Cálculo integral em R n 5 Integrais de linha António Bento (UBI) Cálculo II 2014/ / 475