Equações Diferenciais com Derivadas Parciais

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Luís Ximenes de Sintra
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Chamam-se equações principais da física matemática às seguintes equações diferenciais com derivadas parciais de segunda ordem: 2/13 2 u t 2 = a 2 2 u x 2 Equação da onda.

2 Chamam-se equações principais da física matemática às seguintes equações diferenciais com derivadas parciais de segunda ordem: 2/13 2 u t 2 = a 2 2 u x 2 Equação da onda. Problemas relacionados com vibrações transversais de uma corda, oscilação de corrente eléctrica num fio, etc. u t = a 2 2 u x 2 Equação do calor ou de Fourier. Problemas de difusão do calor, filtração de líquidos ou gases em meios porosos, etc. 2 u x + 2 u = 0 2 y 2 Equação de Laplace. Problemas em campos eléctricos e magnéticos, de hidrodinâmica, etc. (onde u designa um campo escalar num domínio D R 2 e a uma constante)

3 3/13 Exemplo. Problema da corda vibrante Constituição da equação diferencial; Condições de fronteira; Resolução pelo método de separação de variáveis.

4 Seja u(x, y) campo escalar. Chama-se equação às derivadas parciais de 2 a ordem, linear, a uma equação na forma: 4/13 A 2 u x 2 + B 2 u y 2 + C 2 u x y + D u x + E u y + F u = G com os coeficientes A, B, C, D, E, F, G funções de (x, y), e os coeficientes A, B, C não todos nulos. 1). Se G(x, y) = 0, a equação diz-se homogénea. 2). Se os coeficientes A, B, C são todos nulos, a equação designa-se de 1 a ordem.

5 Exemplo Seja 2 u = 2x y. x y A solução, u(x, y) = x 2 y y 2 x + H(x) + G(y) chama-se a solução geral da equação diferencial. 5/13 Para (por exemplo) G(y) = y 7 y e H(x) = sen(x) a função u(x, y) = x 2 y y 2 x + sen(x) + y 7 y designa-se de solução particular da equação diferencial. Nota: Podem existir outras soluções que não se podem obter da solução geral. A estas chamaremos soluções singulares.

6 6/13 Problema Determinar a solução geral da equação u x = 4 u, pelo método da y separação de variáveis. Determine uma solução particular que satisfaça a condição de fronteira; a) u(0, y) = 8e 3y ; b) u(0, y) = 4e 5y ; c) u(0, y) = 8e 3y + 4e 5y.

7 7/13 Teorema Se u 1, u 2,..., u n são soluções de uma equação às derivadas parciais linear e homogénea, então u = c 1 u 1 + c 2 u c n u n é também solução. (c 1,..., c n, constantes) Teorema A solução geral de uma equação às derivadas parciais não homogénea obtém-se pela soma da solução geral da equação homogénea associada com uma solução particular da equação não homogénea.

8 Ordinárias. Recordar que... 8/13 Equações diferenciais de 1 a ordem - variáveis separadas. y (x) = f(x)g(y) Solução geral obtém-se da expressão: 1 g(y) dy = f(x)dx

9 Ordinárias. Recordar que... Equações diferenciais de 2 a ordem, homogénea com coeficientes constantes. 9/13 y (x) + py (x) + qy(x) = 0 Equação característica: k 2 + pk + q = 0 Pela fórmula resolvente: k 1 = p 2 + p 2 4 q e k 1 = p 2 p 2 4 q Expressão da solução geral: Se k 1 e k 2 são raízes reais e distintas: y = C 1 e k 1x + C 2 e k 2x Se k 1 = k 2, y = C 1 e k 1x + C 2 xe k 1x Se k 1 e k 2 são raízes complexas (k 1 = α + iβ e k 2 = α iβ), y = e αx (C 1 cos(βx) + C 2 sen(βx)) (Nota: C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.)

10 10/13 Tabela com algumas das equações diferenciais ordinárias e respectivas soluções gerais. Equação Solução Geral y = ky y(t) = P e kt y + ω 2 y = 0 y(x) = Acos(ωx) + Bsen(ωx) y ω 2 y = 0 y(x) = Acosh(ωx) + Bsenh(ωx) senh(x) = ex e x 2, cosh(x) = ex +e x 2, A, B e P constantes.

11 11/13 Exemplos: u t = u a2 2 equação do calor; x2 A função u(x, t) = Ae λt (Bcos(ωx) + Csen(ωx)) é solução com variáveis separadas.

12 Exemplos: 2 u t = u 2 a2 2 equação da onda. x2 12/13 A função u(x, t) = (Acos(aωt) + Bsen(aωt))(Ccos(ωx) + Csen(ωx) é solução com variáveis separadas. Considerando as condições iniciais, u(0, t) = 0 e u(l, t) = 0, cada uma das funções ( ( anπ ) ( anπ )) ( nπ ) u n (x, t) = A n cos t + B n sen t C n sen l l l x (n inteiro) é solução.

13 Exemplos: 2 u t = u 2 a2 2 equação da onda. x2 u(x, t) = a n sen( nπ l x)cos(anπ t) + b n sen( nπ l l x)sen(anπ t) l n=1 Se a série é convergente e derivando termo a termo em ordem a x e a t as séries são convergentes, u(x, t) é solução da equação da onda. Considerando as condições de fronteira, u(x, 0) = φ(x) e u t (x, 0) = ψ(x), x [0, l], se φ(x)e ψ(x) admitem desenvolvimento em séries de senos, então: a n coincidem com os coeficientes de Fourier de φ(x) e b n = l anπ c n onde c n são os coeficientes de Fourier de ψ(x). 13/13

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