COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA MÓDULO 1. Equações Diferenciais com Derivadas Parciais

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1 Complementos de Matemática 1 COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA MÓDULO 1 Séries de Fourier Equações Diferenciais com Derivadas Parciais

2 Complementos de Matemática 2 Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) viveu na época de Napoleão, para quem trabalhou na França e no Egipto ocupado

3 Complementos de Matemática 3 pelos franceses. Imortalizado pelas séries trigonométricas que introduziu em Fourier foi levado a desenvolver as (suas) séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos, admitindo que essa propagação teria forma ondulatória e que a forma mais simples de uma onda é uma função senoidal; Existe uma vasta classe de funções, periódicas, que podem ser decompostas como soma (infinita) de senos e cossenos.

4 Complementos de Matemática 4

5 Complementos de Matemática 5 Definição Seja f uma função real de variável real, periódica de período 2π. Então, a expressão a 0 + a 1 cos(x) + b 1 sen(x) + a 2 cos(2x) + b 2 sen(2x) +... ou, sob a forma mais compacta a k=1 (a k cos(kx) + b k sen(kx)). (1) designa-se série de Fourier de f e os coeficientes a 0, a k, e b k, k = 1, 2,..., coeficientes de Fourier de f, com

6 Complementos de Matemática 6 a 0 = 1 2π f(x) dx a k = 1 π f(x) cos(kx) dx b k = 1 π f(x)sen(kx) dx

7 Complementos de Matemática 7 Função periódica Seja f : R R uma função. Diz-se que f é periódica de período T 0 se f(x + T) = f(x), x D f. Ao menor valor de T nestas condições chama-se período fundamental ou simplesmente período. Determinação dos coeficientes de Fourier de f Suponhamos que a função f, periódica e de período 2π, pode ser representada por uma série convergente para f(x), no intervalo [, π], isto é, que

8 Complementos de Matemática 8 f(x) = a k=1 (a k cos(kx) + b k sen(kx)). Determinar a 0 Integrando ambos os membros ( f(x) dx = f(x) dx = a 0 dx + + k=1 ( a k=1 a k cos(kx) dx + (a k cos(kx) + b k sen(kx)) ) ) b k sen(kx) dx dx

9 Complementos de Matemática 9 π f(x) dx = a 2 cos(2x) dx + a 0 dx + a 1 cos(x) dx + b 2 sen(2x) dx +... b 1 sen(x) dx + calculando cada um dos integrais do segundo membro a 0 dx = a 0 2π a 1 cos(x) dx = a 1 [sen(x)] π = 0 b 1 sen(x) dx = b 1 [ cos(x)] π = 0

10 Complementos de Matemática 10 [ ] sen(2x) π a 2 cos(2x) dx = a 2 2 [ b 2 sen(2x) dx = b 2 cos(2x) ] π 2 = 0 = 0... assim, f(x) dx = a 0 2π a 0 = 1 2π f(x) dx Determinar a 1 Multiplicando ambos os membros por cos(x) e depois integrando

11 Complementos de Matemática 11 ambos os membros π + f(x)cos(x) dx = a 0 cos(x) dx + a 2 cos(2x)cos(x) dx + a 1 cos 2 (x) dx + b 1 sen(x)cos(x) dx b 2 sen(2x)cos(x) dx +... calculando cada um dos integrais do segundo membro a 0 cos(x) dx = a 0 0 = 0 a 1 cos 2 (x) dx = a 1 [ sen(x) 2 + x 2 ] π = a 1 π

12 Complementos de Matemática 12 b 1 sen(x)cos(x) dx = 0 a 2 cos(2x)cos(x) dx = 0 b 2 sen(2x)cos(x) dx = 0... assim, f(x)cos(x) dx = a 1 π a 1 = 1 π f(x) cos(x) dx.

13 Complementos de Matemática 13 De modo análogo b 1 = 1 π f(x)sen(x) dx. E, em geral, a k = 1 π b k = 1 π f(x) cos(kx) dx f(x)sen(kx) dx. Conclusão, se f(x), f(x)sen(kx) e f(x) cos(kx) são integráveis então os coeficientes de Fourier existem.

14 Complementos de Matemática 14 Função periódica de período 2L Sendo f(x) uma função periódica, de período 2L e f(x) = f ( ) L então, a função f π t tem período 2π. a 0 = 1 2π a k = 1 π b k = 1 π f f f ( ) L π t dt ( ) L π t cos(kt) dt ( ) L π t sen(kt) dt. ( ) L π t

15 Complementos de Matemática 15 Como x = L π t, t = π L x e dt = π dx, vem L a 0 = 1 2L L L f(x) dx a k = 1 L b k = 1 L L L L L f(x) cos kπx L dx f(x)sen kπx L dx Assim, a série de Fourier de f(x) de período 2L é dada por a k=1 ( a k cos kπx L + b ksen kπx ). (2) L

16 Complementos de Matemática 16 Condições de convergência de uma série de Fourier Teorema Supondo que f, é uma função periódica de período 2L e que f(x) e f (x) são seccionalmente contínuas em ] L, L[, então a série de Fourier de f é convergente e a soma da série coincide com: f(x) se a função é contínua no ponto x; f(x+ 0 ) + f(x 0 ), se x 0 é um ponto de descontinuidade. 2

17 Complementos de Matemática 17 a b a Uma função é seccionalmente contínua num intervalo I, limitado, se: Tem um número finito de pontos de descontinuidade; Os limites laterais existem e são finitos; No intervalo de pontos de descontinuidade consecutivos, a função é contínua. b f(x + 0 ) = lim x x + 0 f(x) e f(x 0 ) = lim x x 0 f(x)

18 Complementos de Matemática 18 Séries de Fourier de Funções Impares e Pares Seja f uma função ímpar periódica de período 2L, então os coeficientes de Fourier, a 0 = 0, pois como f é ímpar, L L f(x) dx = 0 a k = 0, porque f(x)cos kπx L é ímpar.

19 Complementos de Matemática 19 b k = 2 L L 0 f(x)sen kπx L dx, porque f(x)sen kπx L é par. Neste caso, quando f é ímpar e periódica de período 2L, f(x) = + k=1 b k sen kπx L (3)

20 Complementos de Matemática 20 Seja f uma função par periódica de período 2L, então os coeficientes de Fourier, a 0 = 1 L L 0 f(x) dx, L L pois como f é par, L f(x) dx = 2 0 f(x) dx a k = 2 L L 0 f(x) cos kπx L dx, porque f(x) cos kπx L é par.

21 Complementos de Matemática 21 b k = 0, porque f(x) sen kπx L é ímpar. Neste caso, quando f é par e periódica de período 2L, f(x) = a k=1 a k cos kπx L. (4)

22 Complementos de Matemática 22 Desenvolvimento em série de Fourier de funções não periódicas Seja f : [a, b] uma função seccionalmente diferenciável. Considere-se uma função f, periódica de período 2L, com 2L b a e seccionalmente diferenciável tal que f(x) = f(x), x [a, b]. Desenvolvendo em série de Fourier a função f, temos + ( a 0 + a k cos kπx L + b k sen kπx ) = 1 L 2 [ f(x + ) + f(x )] k=1 todos os pontos de x [a, b] = 1 2 [f(x+ ) + f(x )], em ( f diz-se um prolongamento de f).

23 Complementos de Matemática 23 Um caso particular importante, quando f[0, L] R, de entre os inúmeros prolongamentos, pode-se escolher um prolongamento por uma função ímpar ou por par. Exemplo: f 1 é um prolongamento por uma função par e f 2 por uma função ímpar. Desenvolvendo f 1 em série de Fourier, teríamos uma série de cosenos e f 2 uma série de senos.