Introdução aos Circuitos Elétricos

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1 1 / 47 Introdução aos Circuitos Elétricos Séries e Transformadas de Fourier Prof. Roberto Alves Braga Jr. Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa UFLA - Departamento de Engenharia

2 2 / 47 Séries e Transformadas de Fourier História Jean-Baptiste Joseph Fourier ( ), foi um matemático e físico francês conhecido principalmente pela elaboração das famosas Séries de Fourier, cujo impacto no desenvolvimento da matemática é ainda de grande importância nas várias áreas da engenharia. Além disso, realizou notáveis contribuições no campo da egiptologia e teve uma vida política muito ativa durante a revolução francesa, ao lado de Napoleão Bonaparte.

3 3 / 47 Sinais e Sistemas Sinais: conjunto de dados ou informação Sinal de telefone ou televisão Registro de vendas de uma corporação Índice BOVESPA Tensão ou corrente em um circuito Temperatura de uma sala Eletrocardiograma, etc

4 4 / 47 Sinais e Sistemas Sinais

5 5 / 47 Sinais e Sistemas Sistemas: entidades que processam os sinais, modificando-os ou extraindo informação Transmissores Válvulas Sistema auditivo Circuitos eletrônicos, etc

6 6 / 47 Sinais e Sistemas Sistemas:

7 7 / 47 Sinais e Sistemas Sistemas: Para obter a saída de um sistema no tempo discreto: utiliza-se a convolução: ou y[n] = + k= x[k] h[n k], y[n] = x[n] h[n], em que h é a resposta ao impulso do sistema. Em Laplace vimos que a convolução no tempo contínuo é igual a uma multiplicação em s: x(t) h(t) L X(s) H(s)

8 8 / 47 Sinais e Sistemas Sistemas: Convolução tempo discreto

9 9 / 47 Sinais e Sistemas Sistemas: Convolução tempo discreto

10 Sinais e Sistemas Sistemas: Convolução tempo contínuo A convolução no tempo contínuo é dada por: y(t) = + x(τ) h(t τ) dτ Exemplo: considere x(t) = e a t e h(t) = 1, portanto: y(t) = Em Laplace: t 0 e a τ dτ = 1 a e a τ t Y(s) = 1 1 s + a s = 1/a s 1/a s + a 0 = 1 a (1 e a t ) L 1 1 a (1 e a t ) 10 / 47

11 11 / 47 Sinais e Sistemas Sistemas: Convolução tempo contínuo

12 12 / 47 Sinais e Sistemas Classificação de Sinais: Contínuos e Discretos Analógicos e Digitais Periódicos e Não-periódicos x(t) = x(t + T 0 ), para todo t, sendo T 0 uma constante positiva Determinísticos e Aleatórios

13 13 / 47 Sinais e Sistemas Classificação de Sistemas: Contínuos e Discretos Analógicos e Digitais Lineares e Não-Lineares Causais e Não-Causais Estáveis e Instáveis Variantes ou Invariantes no tempo

14 14 / 47 Análise de Fourier Sinal contínuo e periódico: Série de Fourier Sinal discreto e periódico: Série de Fourier Discreta Sinal contínuo e não-periódico: Transformada de Fourier Sinal discreto e não-periódico: Transformada de Fourier Discreta

15 15 / 47 Séries de Fourier Considerando que a onda total é periódica (período T = 2π), os períodos de cada uma das ondas componentes é uma fração de T, ou seja, T i = T/n i em que n i é um número inteiro. Ou em frequência, ω i = n i ω

16 Séries de Fourier Considere um sinal periódico com frequência fundamental 2π, expresso na seguinte forma: +3 x(t)= a k e jk2πt, com a 0 =1, a 1 =a 1 = 1 4, a 2 =a 2 = 1 2, a 3 =a 3 = 1 3 k= 3 Assim, reescrevendo a equação anterior: x(t) = (ej2πt + e j2πt ) (ej4πt + e j4πt ) (ej6πt + e j6πt ) Lembrando das relações de Euler, cos θ = (ejθ + e jθ ) 2 e senθ = (ejθ e jθ ), j2 x(t) = cos 2πt + cos 4πt cos 6πt 16 / 47

17 17 / 47 Séries de Fourier

18 Séries de Fourier As funções que reproduzem eventos periódicos no tempo podem ser representadas por uma somatória de senóides (cossenóides) por meio da série trigonométrica de Fourier: x(t) = a 0 + a n cos nω 0 t + b n sen nω 0 t n=1 sendo ω 0 a frequência fundamental, os coeficientes a n e b n podem ser calculados por (T = 2π): a 0 = 1 π x(t) dt, 2π π a n = 1 π x(t) cos nω 0 t dt, π π b n = 1 π x(t) sen nω 0 t dt π π Condições de existência: sinal limitado e com número finito de máximos, de mínimos e de descontinuidades em um período 18 / 47

19 19 / 47 Séries de Fourier Quando x(t) for real, a série trigonométrica de Fourier pode ser expressa em uma forma compacta: x(t) = C 0 + C n cos (nω 0 t + θ n ) n=1 em que C n e θ n são relacionados com a n e b n por: C 0 = a 0, C n = an 2 + b2 n, ( ) θ n = tan 1 bn a n

20 20 / 47 Séries de Fourier Exemplo: Onda quadrada { k se π < t < 0 x(t) = k se 0 < t < π Nesse caso, o período é T 0 = 2π e ω 0 = 2π/T 0 = 1 a 0 = 1 π x(t) dt, 2π π a 0 = 1 [ 0 π ] k dt + k dt 2π π 0 a 0 = 1 [0 k π + k π 0] = 0 2π = 1 2π 0 k t π + k t, π 0

21 21 / 47 Séries de Fourier Exemplo: Onda quadrada a n = 1 π x(t) cos nt dt, π π a n = 1 [ 0 π ] k cos nt dt + k cos nt dt = 1 0 sen nt k π π 0 π n + k π b n = 1 π x(t) sen nt dt, π π b n = 1 [ 0 π ] k sen nt dt + k sen nt dt = 1 0 cos nt k π π 0 π n k π b n = k 2k [cos 0 cos ( nπ) cos nπ + cos 0] = (1 cos nπ) n π nπ cos nπ = 1, se n for ímpar e cos nπ = 1, se n for par sen nt n cos nt n b 1 = 4k π, b 2 = 0, b 3 = 4k 3π, b 4 = 0, b 5 = 4k 5π,... π = 0 0 π, 0

22 22 / 47 Séries de Fourier Exemplo: Onda quadrada x(t) = 4k π 4k 4k sen (1 t) + 0 sen (2 t) + sen (3 t) + 0 sen (4 t) + sen (5 t) π 5π 4 π sen (1 t) 4 3π sen (3 t)

23 23 / 47 Séries de Fourier N = 3 N = 5 N = 100

24 24 / 47 Séries de Fourier Exemplo: Onda quadrada (k = 1) x(t) = 4 π Forma compacta: 4 4 sen (1 t) + 0 sen (2 t) + sen (3 t) + 0 sen (4 t) + sen (5 t) π 5π x(t) = C 0 + C n cos (nω 0 t + θ n ) n=1 em que C n e θ n são relacionados com a n e b n por: C 0 = a 0 = 0, C n = an 2 + b2 n, C 1 = 4 π, C 3 = 4 3π, C 5 = 4 5π ( ) θ n = tan 1 bn, θ 1 = π a n 2, θ 3 = π 2, θ 5 = π 2

25 25 / 47 Séries de Fourier Exemplo: Onda quadrada (k = 1) x(t) = 4 π cos (1 t 90 ) + 0 cos (2 t 90 ) + 4 3π cos (3 t 90 ) cos (4 t 90 ) + 4 5π cos (5 t 90 ) +... Representação gráfica da forma compacta:

26 26 / 47 Séries de Fourier Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal periódico: Nesse caso, o período é T 0 = π e ω 0 = 2π T = 2rad/s. Portanto, 0 + x(t) = a 0 + a n cos 2nt + b n sen 2nt n=1 a 0 = 1 π x(t) dt = 1 π e t/2 dt = 0, 504 π 0 π 0 a n = 2 π ( ) e t/2 2 cos 2nt dt = π n 2 b n = 2 π ( ) e t/2 8n sen 2nt dt = 0, 504 π n 2

27 27 / 47 Séries de Fourier Passando para a forma compacta: C 0 = a 0 = 0, 504 C n = an 2 + b2 n = 0, 504 0, 504 ( ) n 2 4 (1 + 16n 2 ) + 64n 2 2 (1 + 16n 2 ) = 2 ( ) θ n = tan 1 bn = tan 1 ( 4n) = tan 1 4n a n 2 x(t) = 0, , 504 cos (2nt n 2 tan 1 4n) n=1

28 28 / 47 Séries de Fourier Na forma compacta: x(t) =0, , 244 cos (2t 75, 96 ) + 0, 125 cos (4t 82, 87 ) + 0, 084 cos (6t 85, 24 ) + 0, 063 cos (8t 86, 42 ) +... Representação gráfica da forma compacta:

29 29 / 47 Séries de Fourier Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal periódico: Nesse caso, o período é T 0 = 2 e ω 0 = 2π T = πrad/s. Portanto, 0 + x(t) = a 0 + a n cos nπt + b n sen nπt x(t) = { n=1 2At se 1/2 < t < 1/2 2A(1 t) se 1/2 < t < 3/2 a 0 = 1 3/2 x(t) dt = 0 2 1/2

30 30 / 47 Séries de Fourier Exemplo: Onda triangular: 3/2 a n = 2 2 1/2 b n = b n = Assim, x(t) cos nπt dt = 1/2 2At sen nπt dt + 1/2 ) 8A n 2 π 2 sen ( nπ 2 b n = 1/2 3/2 2At cos nπt dt + 2A(1 t) cos nπt dt = 0 1/2 1/2 3/2 2A(1 t) sen nπt dt 1/2 0 n par 8A n 2 π 2 n = 1, 5, 9, 13,... 8A n 2 π 2 n = 3, 7, 11, 15,... x(t) = 8A [ π 2 sen πt 1 ] 1 1 sen 3πt + sen 5πt sen 7πt +...

31 31 / 47 Séries de Fourier Na forma compacta, como sen kt = cos (kt 90 ) e sen kt = cos (kt + 90 ): x(t) = 8A [ π 2 cos (πt 90 ) cos (3πt + 90 ) cos (5πt 90 ) + 1 ] 49 cos (7πt + 90 ) +... Representação gráfica da forma compacta:

32 32 / 47 Séries de Fourier Exemplo: Expresse a seguinte série como uma série trigonométrica de Fourier e trace o espectro de amplitude e fase de x(t): x(t) = cos 2t + 4 sen 2t + 2 sen (3t + 30 ) cos (7t ) Na série trigonométrica compacta de Fourier, os termos em seno e cosseno de mesma frequência são combinados em um único termo e os termos são descritos em cossenos com amplitudes positivas. Assim, Portanto, 3 cos 2t + 4 sen 2t = 5 cos (2t 53, 13 ) sen (3t + 30 ) = cos (3t ) = cos (3t 60 ) cos (7t ) = cos (7t ) = 7t 30 x(t) = cos (2t 53, 13 ) + 2 cos (3t 60 ) + cos (7t 30 )

33 33 / 47 Séries de Fourier Na forma compacta, x(t) = cos (2t 53, 13 ) + 2 cos (3t 60 ) + cos (7t 30 ) Representação gráfica da forma compacta:

34 34 / 47 Séries de Fourier na Forma Exponencial Até agora foi estudada a forma trigonométrica da série de Fourier: x(t) = a 0 + a n cos nωt + b n sen nωt n=1 Usando as equações de Euler, n=1 cos θ = ( e jθ + e jθ) /2 sen θ = ( e jθ e jθ) /j2 podemos reescrever a forma trigonométrica na forma exponencial: x(t) = a 0 + n=1 a n ( e jnωt + e jnωt) 2 + ( e jnωt e jnωt) jb n 2 n=1

35 35 / 47 Séries de Fourier na Forma Exponencial Continuando: x(t) = a 0 + x(t) = a 0 + x(t) = n= n=1 n=1 a n jb n 2 a n jb n 2 e jnωt + e jnωt + a n jb n e jnωt = 2 n=1 n= n= 1 a n + jb n e jnωt 2 a n jb n e jnωt 2 C n e jnωt em que, C n = a n jb n 2 ou C n = 1 T 0 T 0 x(t) e jnωt dt

36 36 / 47 Séries de Fourier na Forma Exponencial Exemplo: Determine a série exponencial de Fourier do sinal periódico: Nesse caso, o período é T 0 = π e ω 0 = 2π T 0 = 2rad/s. Portanto, x(t) = C n e j2nt n= C n = 1 x(t) e j2nt dt = 1 π e t/2 e j2nt dt = 1 π e (1/2+j2nt)t dt, T 0 T 0 π 0 π 0 π 1 C n = π ( j2n ) 0, 504 e (1/2+j2n)t = 1 + j4n 0

37 37 / 47 Séries de Fourier x(t) = 0, 504 n= x(t) = 0, j4n ej2nt, [ j4 ej2t j8 ej4t j12 ej6t +... ] j4 e j2t j8 e j4t j12 e j6t +... Representação gráfica da forma compacta:

38 A Transformada de Fourier Até agora, apenas sinais periódicos foram abordados, o que fazer com sinais não-periódicos? Considere um sinal periódico x T0 (t) formado pela repetição de um sinal não-periódico x(t) em intervalos de T 0 segundos. O sinal periódico x T0 (t) pode ser representado por um série exponencial de Fourier. Se fizermos T 0 : lim x T 0 (t) = x(t) T 0 A série de Fourier que representa x T0 (t) também irá representar x(t) no limite de T 0. A série exponencial de Fourier para x T0 (t) é dada por: x T0 (t) = C n e jnω 0t n= e C n = 1 T0 /2 x T0 (t)e jnω0t dt T 0 T 0 /2 38 / 47

39 39 / 47 A Transformada de Fourier Uma vez que x T0 (t) = x(t) no intervalo ( T 0 /2, T 0 /2) e x(t) = 0 fora desse intervalo: C n = 1 T0 /2 x(t) e jnω0t dt = 1 x(t) e jnω0t dt T 0 T 0 /2 T 0 Define-se uma função contínua de ω por, Assim, X(jω) = x(t) e jωt dt, e, portanto, C n = 1 X(jnω 0 ) T 0 1 x T0 (t) = X(jnω 0 )e jnω0t = 1 X(jnω 0 )e jnω0t ω 0 T n= 0 2π n= Como T 0, x T0 (t) aproxima x(t), no limite, a equação anterior representa também x(t). Além disso, como ω 0 0 quando T 0, o lado direito da equação passa a ser uma integral e o espectro passa a ser contínuo.

40 40 / 47 A Transformada de Fourier Dessa forma, chega-se na Transformada de Fourier e sua inversa: F {x(t)} = X(jω) = F 1 {X(jω)} = x(t) = 1 2π x(t)e jωt dt X(jω)e jωt dω Relembrado a Transformada bilateral de Laplace: L{x(t)} = X(s) = x(t)e s t dt conclui-se que a transforma de Fourier é um caso especial da transformada de Laplace quando s = jω, ou seja, σ = 0 (s = σ + jω) no caso em que o eixo imaginário do plano s está inserido na região de convergência da transformada de Laplace.

41 41 / 47 A Transformada de Fourier Determine a transformada de Fourier de x(t) = e at. F {x(t)} = X(jω) = X(jω) = e (a+jω)t dt = 0 X(jω) = 1 a + jω, a > 0 x(t)e jωt dt = 1 a + jω e (a+jω)t e at e jωt dt 0 Expressando a + jω na forma polar como a 2 + ω 2 e jtan 1 (ω/a), X(jω) = 1 a 2 + ω 2 e jtan 1 (ω/a) Portanto, X(jω) = 1 a 2 + ω 2, e X(jω) = tan 1 ω a

42 42 / 47 A Transformada de Fourier A forma gráfica de X(jω) = 1 a 2 + ω 2, e X(jω) = tan 1 ω a é mostrada abaixo.

43 43 / 47 A Transformada de Fourier Determine a transformada de Fourier de x(t) = δ(t). F {x(t)} = X(jω) = δ(t)e jωt dt = 1 Qual a importância disso?

44 A Transformada de Fourier Determine a transformada de Fourier de um pulso retangular: x(t) = { 1 se T < t < T 0 se t > T O pulso retangular é absolutamente integrável (T < ): F {x(t)} = X(jω) = x(t)e jωt dt = X(jω) = 1 T jω e jωt = 2 ω T T sen(ωt), ω 0 e jωt dt T Para ω = 0, a integral se simplifica para 2T. O espectro de magnitude é: sen ωt X(jω) = 2 ω 44 / 47

45 45 / 47 A Transformada de Fourier O espectro de fase é dado por: X(jω) = 0 se π se sen (ωt) ω > 0 sen (ωt) ω < 0

46 46 / 47 A Transformada Discreta de Fourier A versão discreta da Transformada de Fourier é dada por: X(e jω ) = x[n] = 1 2π n= π x[n] e jωn X(e jω )e jωn dω π A Transformada Rápida de Fourier (FFT) reduz drasticamente o número de cálculos necessários para calcular a transformada discreta de Fourier, da ordem de N 2 para N log N

47 47 / 47 Simulações Computacionais Convolução no tempo discreto Convolução no tempo contínuo Séries de Fourier Transformada Rápida de Fourier (ex. função soma de senóides e a série Sunspots) Simulação que ilustra a relação entre entrada e saída de filtros

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