Sistemas Lineares. Aula 9 Transformada de Fourier

Transcrição

1 Sistemas Lineares Aula 9 Transformada de Fourier

2 Séries de Fourier A Série de Fourier representa um sinal periódico como uma combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas. Como consequência da periodicidade, estes sinais possuem espectro de linha com linhas equidistantes. O espaçamento entre linhas é igual à frequência fundamental, a qual por sua vez determina a quantidade de linhas do espectro por unidade de frequência.

3 Séries de Fourier Portanto, se o período cresce de modo ilimitado, o espaçamento das linhas tende a zero. No limite, quando o período for infinito, o sinal torna-se não periódico e seu espectro torna-se contínuo, mais especificamente, torna-se o envelope do espectro de linha do sinal periódico correspondente

4 Operação transformada A fim de se realizar uma operação de transformação, devese inicialmente modelar matematicamente o sinal. Objetivo: - Série de Fourier; - Transformada de Fourier; - Relação entre ambas.

5 Fasores e espectro de linhas Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão: v(t) Acos( ot ) Utilizando-se da relação de Euler, tal que: e j cos( ) jsen( )

6 Representação fasorial Podemos expressar o sinal senoidal por um fasor, tal como na figura abaixo: Acos( o t ) Re(A.e j t j t ) ARe(e o o )

7 Espectro de amplitudes e espectro de fases Alternativamente, pode-se representar o sinal senoidal pelos seus espectros de amplitudes e de fases, tal como na figura. Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase

8 Observações: A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve ser sempre positiva. Assim, um sinal descrito por deve ser re-escrito como utilizado + ou -. v( t) Acos( t ) v(t) Acos( 0t ). É indiferente se é tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser expressa em radianos. Lembrar que = 2..f em rad/s e f em Hz. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido anti-horário. Formas de onda cosseno e seno são genericamente denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que sen( t) cos( t / 2) ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasado de /2 (ou, 90 0 ). 0

9 Exemplo Dado o sinal: s( t) 7 10cos( 40 t 60 ) 4sen( 120 t) Cuja forma de onda é: Determinar o seu espectro de frequência (amplitude e fase)

10 Solução O sinal pode ser reescrito como: s( t) 7 cos(2 0t) 10 cos(2 20t 120 ) 4cos(2 60t 90 ) Assim, o seu espectro de frequências será:

11 Transformada de Fourier Seja uma função x(t) não periódica e de duração finita, têm-se o par de Transformadas: F x t F 1 X ω X ω = x t. e jωt dt x t = 1 2π X ω. e jωt dω Para que as integrais convirjam, devem observadas as condições de Dirichlet.

12 Condições de Dirichlet As Séries e a Transformada de Fourier existirão se x(t): for integrável em módulo no intervalo de um período tiver um número finito de máximos e mínimos dentro de um intervalo de tempo tem um número finito de descontinuidades (finitas) dentro de qualquer intervalo de tempo Estas condições são suficientes, mas não necessárias.

13 Exemplos Exemplo 1: transformada direta

14 Exemplos Exemplo 2: transformada inversa

15 Tabela de Transformadas

16 Tabela de Transformadas

17 Propriedades

18 Propriedades

19 Teorema de Parseval De acordo com o Teorema de Parseval podemos determinar a potência e a energia de um sinal através dos pares: F x t Domínio do Tempo (t) F 1 X ω Domínio da Frequência (ω) Px = 1 To To x t ²dt Px = n= D n ² Ex = x t ²dt Ex = 1 2π X ω ²dω

20 Resposta em Frequência H ω Para um SLIT, temos: y t = x τ h t τ dτ = x t h t F y t Y ω = X ω. H(ω) H ω = Y(ω) X ω H ω é a Resposta em Frequência do sistema. H ω = H ω ejθ ω Fase da resposta em frequência Magnitude da resposta em frequência H ω = Y ω / X ω θ H ω = θ Y ω θ X ω

21 Exercícios para estudo Livro Lathi Cap. 6 (Problemas): Exemplos das seções 6.1 a 6.4 Livro Lathi Cap. 7 (Problemas): Exemplos das seções 7. 1 a 7.3

22 Bibliografia LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. Ed. Porto Alegre: Bookman, p. ISBN HAYKIN, Simon S. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, p.