Continuidade de uma função

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Margarida de Escobar Balsemão
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1 Continuidade de uma função Consideremos f : D f uma função real de variável real (f.r.v.r.) e a um ponto de acumulação de D f que pertence a D f. Diz-se que a função f é contínua em a se lim f x f a. x a Diz-se que a função f é contínua se f é contínua em qualquer ponto do seu domínio. Diz-se que f é contínua à direita em a se diz-se que f é contínua à esquerda em a se lim f x f a ; x a Da definição de limite segundo Cauchy, resulta que lim f x f a. x a f é contínua em a sse x : x D f x a f x f a Da definição de limite segundo Heine, resulta que f é contínua em a sse para qualquer sucessão x n, de elementos de D f, se x n a então f x n f a. Ana Matos - AMI 7/8 (versão de 26 de Março 8) Acet. Continuidade 1

2 Prolongamento por continuidade Sendo f e g duas funções com domínios D f e D g, diz-se que g é um prolongamento de f (ou que f é uma restrição de g) se D f D g e x D f, f x g x. Diz-se que f é prolongável por continuidade a a, sendo a um ponto de acumulação de D f que não pertence a D f, se existe um prolongamento de f, com domínio D f a, contínuo em a. Proposição: Seja f : D f e a um ponto de acumulação de D f, com a D f. f é prolongável por continuidade a a sse existe (e é finito) lim f x. x a Neste caso, o prolongamento por continuidade de f a a é a função definida por g : D f a g x f x, se x D f lim f x, se x a x a Exemplo: O prolongamento por continuidade de g : definida por g x sinx x sinx x, se x 1, se x. é a função Ana Matos - AMI 7/8 (versão de 26 de Março 8) Acet. Continuidade 2

3 Teoremas fundamentais das funções contínuas Se a, b D f, então diz-se que f é contínua no intervalo a, b se f é contínua em a, b, é contínua à direita em a e é contínua à esquerda em b. Teorema de Bolzano (ou do Valor Intermédio): Seja f : D f uma função contínua em a, b, com a b. Então, para qualquer k estritamente compreendido entre f a e f b, existe pelo menos um c a, b tal que f c k. Intuitivamente, uma função contínua num intervalo não passa de um valor a outro sem assumir todos os valores intermédios. Corolário 1: Se f é contínua no intervalo a, b e não se anula em algum ponto de a, b, então em todos os pontos de a,b a função f tem o mesmo sinal. Corolário 2: Se f é contínua no intervalo a, b e f a f b então f tem pelo menos um zero em a,b. Teorema de Weirstrass: Qualquer função contínua num intervalo a,b (fechado e limitado) tem máximo e mínimo nesse intervalo. Observação: Em qualquer um destes resultados, as condições são apenas condições suficientes; não são condições necessárias. Ana Matos - AMI 7/8 (versão de 26 de Março 8) Acet. Continuidade 3

4 Propriedades das funções contínuas (relativamente às operações) Proposição: Se f,g são funções contínuas em a e k, então: as funções kf, f g, f g, f g e f são contínuas em a; se g a, as funções 1 g e f g são contínuas em a. Proposição: Se f é uma função contínua em a e g é contínua em f a, então g fécontínua em a. Teorema (continuidade da função inversa): Se f : I é uma função contínua e estritamente monótona em I, então: f é invertível em I; f 1 é estritamente monótona; f 1 é contínua. Observação: O facto de f ser estritamente monótona em I garante que f é injectiva em I. Ana Matos - AMI 7/8 (versão de 26 de Março 8) Acet. Continuidade 4

5 Aplicação às funções trigonométricas inversas A função seno tem domínio econtradomínio 1, 1, é periódica (com período 2, é ímpar, anula-se em x k, com k ; não é injectiva nem sobrejectiva. Restringindo-a a,, temos a restrição principal do seno: 2 2 sen : 2, 1, 1, 2 que é contínua e estritamente crescente em,, logo 2 2 invertível e com inversa contínua e estritamente crescente em 1,1 : sen x arcsen x arcsen : 1, 1 2, 2 e y arcsen x sen y x y 2, 2 Ana Matos - AMI 7/8 (versão de 26 de Março 8) Acet. Continuidade 5

6 A função coseno tem domínio econtradomínio 1, 1, é periódica (com período 2, é par e anula-se para x k 2, com k ; não é injectiva nem sobrejectiva. Restringindo-a a,, temos a restrição principal do coseno: cos :, 1, 1, que é contínua e estritamente decrescente em,, logo é invertível e a sua inversa é contínua e estritamente decrescente em 1,1 : π 1 π cosx arccos x arccos : 1, 1, e y arccosx cosy x y, Ana Matos - AMI 7/8 (versão de 26 de Março 8) Acet. Continuidade 6

7 A função tangente, definida por tgx cosx senx, tem domínio \ k : k e contradomínio, é periódica (com 2 período, é ímpar e anula-se em x k, com k ; não é injectiva mas é sobrejectiva: Restringindo-a a, 2 2 tangente, temos a restrição principal da tg : 2,, 2 que é contínua e estritamente crescente em,, logo é 2 2 invertível e a sua inversa é contínua e estritamente crescente em : - - tg x arctg x arctg : 2, 2 e y arctg x tg y x y 2, 2 Ana Matos - AMI 7/8 (versão de 26 de Março 8) Acet. Continuidade 7

8 A função cotangente, definida por cotg x cosx senx, tem domínio \ k : k e contradomínio, é periódica (com período, é ímpar anula-se em x k, com k ; não é injectiva 2 mas é sobrejectiva: Restringindo-a a,, obtemos a restrição principal da cotangente: cotg :,, que é contínua e estritamente decrescente em,, logo é invertível e a sua inversa é contínua e estritamente decrescente em : π π cotg x arccotg x arccotg :, e y arccotg x cotg y x y, Ana Matos - AMI 7/8 (versão de 26 de Março 8) Acet. Continuidade 8

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