Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda

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3 De modo intuitivo, uma função f : A B, com A,B R é dita contínua se variações suficientemente pequenas em x resultam em variações pequenas de f(x), ou equivalentemente, se para x suficientemente próximo de a tivermos que f(x) é próximo de f(a).

4 Exemplo de Descontinuidade

5 Exemplo de Descontinuidade

6 Vamos agora examinar um exemplo de função contínua, a função h(x) = x 2. Vamos nos concentrar em entender o porque dessa função ser contínua numa vizinhança do ponto x = 1. x x

7 Intuitivamente, quando tomamos valores de x diferentes de 1 porém cada vez mais próximos de 1, os valores de f(x) se aproximam de de f(1) = 1, e logo a função f(x) = x 2 é continua nesse ponto

8 Outro modo de analisar a continuidade é tomando uma sequência a n arbitrária que convirja a 1. Pela propriedade do limite da multiplicação temos que para f(x) = x 2 f(a n ) = a 2 n 1 Ou seja, independente de como nos aproximamos de a (a n a) os valores de f se aproximam de f(a) (f(a n ) f(a))

9 : Uma função f : A B é dita continua num ponto a A se para toda sequência x n A tal x n a então f(x n ) f(a) f(a) f(a n ) a a n

10 Uma função que é continua em todos os pontos do domínio é dita simplesmente contínua. Vamos provar que algumas funções simples são contínuas: Exemplo 1 A função constante f(x) = c é contínua.

11 Uma função que é continua em todos os pontos do domínio é dita simplesmente contínua. Vamos provar que algumas funções simples são contínuas: Exemplo 1 A função constante f(x) = c é contínua. Solução: Seja a n uma sequência tal que a n a. Como estamos considerando a função constante f(x) = c então f(a n ) = c e logo lim n f(a n) = c para toda sequência a n ou seja: lim c = c.

12 Exemplo 2 A função f(x) = x é contínua.

13 Exemplo 2 A função f(x) = x é contínua. Solução: Seja a n uma sequência real tal que a n a. Como f(x) = x temos que: lim f(a n) = lim a n = a para toda n n sequência a n ou seja: lim x = a.

14 As seguintes funções são contínuas: Funções Polinomiais. Funções Racionais. Funções Trigonométricas: sen(x), cos(x), tan(x) Funções Trigonométricas Inversas: arcsen(x), arccos(x), arctan(x) Funções Exponenciais: c x Funções Logarítmicas: log a (x)

15 De modo intuitivo dizemos que f(x) tende a L quando x tende a a se quando nos aproximamos de x então f(x) se aproxima de L. Podemos, de modo análogo a definição de continuidade, formalizar a definição de limite função usando sequências. f(a n) L a n a

16 Dada f : A B com A e B intervalos dos números reais, e a um número real tal que f(x) está definida em I\{a}, com I um intervalo aberto contendo a. Definição de Limite Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L se para toda sequência a n tal que a n I\{a} e a n a tivermos que f(a n ) converge a L. Denotaremos que o limite de f(x) quando x tende a a é L por: lim f(x) = L

17 Exemplo 1 lim c = c

18 Exemplo 1 lim c = c Solução: Seja a n uma sequência tal que a n a e a n a. Como estamos considerando a função constante f(x) = c então f(a n ) = c e logo lim n f(a n) = c para toda sequência a n ou seja: lim c = c.

19 Exemplo 2 lim x = a

20 Exemplo 2 lim x = a Solução: Seja a n uma sequência real tal que a n a e a n a. Como f(x) = x temos que: lim f(a n) = lim a n = a para toda n n sequência a n ou seja: lim x = a.

21 Exemplo 3 lim x 1 x 2 1 x 1

22 Exemplo 3 lim x 1 x 2 1 x 1 Solução: Observe inicialmente que a função f(x) = x2 1 = x +1 se x 1 x 1 e não está definida em x = 1. O fato da função não estar definida em x = 1 é indiferente para o cálculo do limite pois a definição na definição do mesmo só considera sequências a n cujos valores são distintas de 1 e tais que a n 1. Assim lim f(a an 2 n) = lim 1 n n a n 1 = lim (a n +1)(a n 1) = n a n 1 lim a n +1 = 2. n x 2 1 Logo, lim x 1 x 1 = 2

23 Exemplo 4 lim x 0 sen(x) = 0

24 Exemplo 4 lim x 0 sen(x) = 0 Solução: Seja a n uma sequência convergindo a 0, i.e, a n 0 então temos: a n sen(a n ) a n e pelo teorema do confronto temos que; lim n sen(a n) = 0 para toda sequência a n 0. E logo temos que lim x 0 sen(x) = 0

25 Propriedades Algébricas do Limite. Seja c um número real e f,g duas funções reais tais que tais que lim f(x) = A e lim g(x) = B. Então: lim lim lim lim (f(x)+g(x)) = A+B. (f(x) g(x)) = A B. (f(x) g(x)) = AB. (cf(x)) = ca. (Limite da Soma) (Limite da Diferença) (Limite do Produto) ( ) f(x) Se lim g(x) = B 0 então lim = A. (Limite do g(x) B Quociente) f(x) = A. (Limite do Módulo ) lim lim (f(x)n ) = A n f(x) = A lim (Limite de Potências) (Limite da Raiz)

26 Exemplo 1 Calcule lim x 2 x 3 +3x +2

27 Exemplo 1 Calcule lim x 2 x 3 +3x +2 Solução: lim x 2 x3 +3x +2 = lim x 3 + lim 3x + lim 2 por 19 (1) x 2 x 2 x 2 ( ) 3 = lim x +3 lim x + lim 2 por 19 e(2) 19 x 2 x 2 x 2 = = 16 (3)

28 Exemplo 2 Calcule lim x 4 +2 x 2 +1

29 Exemplo 2 Calcule lim x 4 +2 x 2 +1 Solução: Se lim x então x 4 +2 lim x 2 +1 = = ( lim x 4 +2 ) lim (x2 +1) lim x4 + lim 2 lim x2 + lim 1 = a4 +2 a 2 +1 por 19 (4) por 19 (5) por 19 (6)

30 Exemplo 3 lim x 2 2x 2 8x +8 x 2 +x 6

31 2x 2 8x +8 Exemplo 3 lim x 2 x 2 +x 6 Solução: x 2 6x +8 lim x 2 x 2 +x 6 lim (x 2)(x 4) x 2 (x 2)(x +3) Agora para o cálculo do limite x 2 e logo x 2 6x +8 lim x 2 x 2 +x 6 = lim (x 2)(x 4) x 2 (x 2)(x +3) = lim x 4 x 2 x +3 = 2 5

32 Limite da Composta. Seja f uma função contínua em b e lim lim f(g(x) = f(b). gx = b então

33 sen(x 2 +4x +π)+2 Exemplo 4 lim x 0 cos(x 3 +x 5 = 2 )

34 sen(x 2 +4x +π)+2 Exemplo 4 lim x 0 cos(x 3 +x 5 = 2 ) Solução: Como já dissemos as funções sen(x) e cos(x) são contínuas em todos os pontos. Além disso temos: ( lim x 2 +4x +π ) = π e lim x 3 +x 5 = 0 x 0 x 0 Logo, lim x 0 sen(x2 +4x+π)+2 = sen(lim x 2 +4x+π)+2 = sen(π)+2 = 2 x 0 lim x 0 cos(x3 +x 5 ) = cos(lim x 3 +x 5 ) = cos(0) = 1 x 0 E assim temos que: ( sen(x 2 +4x +π)+2 lim sen(x 2 +4x +π)+2 ) x 0 lim x 0 cos(x 3 +x 5 = ) lim x 0 cos(x3 +x 5 = 2 )

35 Teorema (do Confronto) Dadas f,g,h funções definidas num intervalo contendo o ponto a e tais que f(x) g(x) h(x) nesse intervalo. Se lim f(x) = L = lim h(x), então lim g(x) = L h L g f a

36 Exemplo 6 Mostre que lim x 0 x 2 sen 1 x = 0

37 Exemplo 6 Mostre que lim x 0 x 2 sen 1 x = 0 y = x 2 y = x 2 sen 1 x y = x 2

38 Solução: Como temos que 1 sen 1 x 1 x 2 x 2 sen 1 x x2 Como lim x 2 = lim x 0 n 0 x2 = 0, pelo teorema do confronto temos que lim x 0 x2 sen 1 x = 0

39 Exemplo 7 Mostre que sen(x) lim = 1 (Limite Fundamental) x 0 x

40 Exemplo 7 Mostre que sen(x) lim = 1 (Limite Fundamental) x 0 x Solução: Como já demonstramos para 0 < x < π 2 desigualdades: valem as 0 < cos(x) < senx x < 1 cos(x). E como lim cos(x) = 1 = lim x 0 temos o limite desejado. 1 x 0 cos(x) pelo Teorema do Confronto

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