Séries Potências II. por Abílio Lemos. Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática UFV. Aulas de MAT

Transcrição

1 Séries Potências II por Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática-CCE Aulas de MAT e 28 de setembro de 2018

2 Se a série de potências c n (x a) n tiver um raio de convergência R > 0, então a função f definida por f (x) = c 0 + c 1 (x a) + = c n (x a) n é diferenciável (e portanto contínua) no intervalo (a R, a + R) e (i) f (x) = c 1 + 2c 2 (x a) + = nc n (x a) n 1 ; n=1 (ii) f (x) dx = (x a) 2 (x a) n+1 C + c 0 (x a) + c 1 + = C + c n, 2 n + 1 onde c 0 dx = c 0 x + K 1 é reescrito como c 0 (x a) + K, ou seja, K = K 1 + ac 0.

3 Observações: (1) Os raios de convergência das séries de potências em (i) e (ii) são iguais a R; (2) Os intervalos de convergência em (i) e (ii) podem ser diferentes do intervalo de convergência de c n (x a) n. Notação: ( ) d (i) c n (x a) n d = dx dx (c n(x a) n ); ( ) (ii) c n (x a) n dx = c n (x a) n dx.

4 Exemplo: Encontre uma representação em séries de potência para as funções abaixo e detrermine os respectivos raios de convergência. (a) f (x) = arctg x; (b) f (x) = ln (1 x); (c) f (x) = ln (1 + x); 1 (d) f (x) = (1 x) 2 ; Exemplo: Quanto vale a soma n=1 1 n2 n?

5 Suponhamos que f é uma função que pode ser representado por uma série de potências, ou seja, f (x) = c n (x a) n, x a < R. Note que f (a) = c 0 e f (x) = c 1 + 2c 2 (x a) + 3c 3 (x a) 2 +, ou seja, f (a) = c 1. Prosseguindo temos f (x) = 2c c 3 (x a) +, ou seja, c 2 = f (a)/2. Em geral,temos c n = f (n) (a)/n!. Esta fórmula vale para n = 0 se adotarmos f (0) = f.

6 Teorema: Se f tiver uma representação em série de potências em x a, isto é, f (x) = c n(x a) n, x a < R, então seus coeficientes são dados pela fórmula c n = f (n) f (n) (a) (a)/n!, ou seja, f (x) = (x a) n. n! Esta série é chamada série de Taylor da função f centrada em a. Para a = 0 esta série é chamada série de Maclaurin. Exemplo: Encontre a série de Maclaurin das funções abaixo e os respectivos raios de convergência. (a) f (x) = e x ; (b) f (x) = sen x; (c) f (x) = cos x. Exemplo: Quanto vale a soma 1 n!? n=1

7 Podemos escrever a série de Taylor das somas parciais n f (i) (a) S n (x) = (x a) i. Assim, i! i=0 f (x) = S n (x) + R n (x), S n (x) é chamado polinômio de Taylor de grau n centrado em a e R n (x) é chamado resto da série de Taylor. Se mostrarmos que lim n R n (x) = 0, então teremos o seguinte resultado. Teorema: Se f (x) = S n (x) + R n (x) e lim n R n (x) = 0 para x a < R, então f é igual à soma de sua série de Taylor no intervalo (a R, a + R).

8 Para mostrar que lim n R n (x) = 0 para uma função específica f, geralmente usamos o seguinte fato. Desigualdade de Taylor: Se f (n+1) (x) M para x a d, então o resto R n (x) satisfaz a desigualdade R n (x) M x a n+1, para x a d. (n + 1)! Pelo teste da razão a série (x a) n+1 (n+1)! x e portanto lim n x a n+1 (n+1)! é convergente para todo = 0. Como 0 R n (x) M x a n+1 (n+1)!, segue pelo teorema do confronto que lim n R n (x) = 0, e consequentemente lim n R n (x) = 0.

9 Exemplo: Prove que as funções abaixo são iguais à soma de sua série de Maclaurin. (a) f (x) = e x ; (b) f (x) = sen x; (c) f (x) = cos x. Exemplo: Encontre a série de Taylor para f (x) = e x em a = 2.

10 Sabemos, do teorema binomial, que k ( ) k (a + b) k = a k n b n, n onde ( ( k 0) = 1 e k ) k(k 1)(k 2) (k (n 1)) n =, n! n = 1,..., k. Fazendo a = 1 e b = x, temos k ( ) k (1 + x) k = x k. n Newton estendeu essa ideia para k real usando série de Maclaurin, obtendo f (x) = (1 + x) k f (n) (0) = x n n! = 1 + n=1 k(k 1)(k 2) (k (n 1)) x n. n!

11 Usando o teste da razão, podemos provar que a série binomial converge se x < 1 e diverge se x > 1. Se x = 1, então a série converge para 1 K 0 e se x = 1 ou x = 1, então a série converge para K 0. Exemplo: Encontre a série de Maclaurin para as funções abaixo e os respectivos raios de convergência. 1 (a) f (x) = ; 4 x (b) f (x) = x; 1 (c) f (x) = (1 + x) 2.