MAT2453- Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I - POLI 1o. Semestre de a. Lista de Exercícios. x cos x. x 1+ x 4 dx 12. sec x dx 15.
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- Wagner Padilha Marques
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1 MAT45- Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I - POLI o. Semestre de - a. Lista de Eercícios I - Integrais Indefinidas Calcule as integrais indefinidas abaio: e. cos 7 4. tg 7 sen tg sec cos tg 9. tg sec (arcsen ). e. e +e 4. e +e. 8. ln +ln sen +cos sen e arctg e cos 9.. e. 4. sec 5. (+) 7. r ln, r R. arctg. cos 6. sen (ln ) arcsen sen cos sen sen cos cos ( )( )( ) ( ) ( ) e
2 46. ln(+ + ) ln 49. sen(ln ) a + b a + b 54. (+ ) cos cos 58. sen sen 6. sen ( ) cos 5( ) 6. sen 5 cos 6. sen 4 6. sen cos 5 cos 64. sen cos cos 6 () 66. sen sen cos 4 + ( + 4) ( +)(+) e (Sugestão: faça u = 6 ) arctg ln(+) +e ( + 4) II - Aplicações da Integral Definida. Calcule sen( + ).. Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h.. Calcule o volume do sólido cuja base é a astróide de equação + y = a e tal que as seções transversais por planos paralelos ao plano Oz são quadrados. ( π 4. Calcule lim sen π n n n + sen π ) (n )π +...+sen. n n 5. Calcule o comprimento do gráfico de f() = ln(cos ), para π Calcule a área da região interna ao laço formado pela curva y = (+). 7. Calcule a área da região do plano limitada pela elipse a + y b =.
3 8. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio O do conjunto a) A = {(, y) R : y, + y 5 e > }. b) A = {(, y) R : y e ( ) + y }. c) A = {(, y) R : e e y e }. d) A = {(, y) R : >, y e / y 4/ }. 9. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = da região delimitada pelas parábolas y = e y =.. Seja A = {(, y) R : e ln(+)+ y e + 4}. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y =.. O disco + y a é girado em torno da reta = b, com b > a, para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume.. Calcule o volume de uma calota esférica de altura h, h a, de uma esfera de raio a.. Determine o comprimento da curva y = cosh, Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco cilíndrico através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R.
4 III - Aplicações do Teorema Fundamental do Cálculo. Seja f uma função contínua em um intervalo[a, b] e sejam u() e v() funções diferenciáveis cujos valores estão em [a, b]. Prove que d v() f(t) dt = f(v()) dv du f(u()) u(). A fórmula acima é conhecida como Regra de Leibnitz.. Calcule g () onde (a) g() =. Seja F() = sen cos e t dt (b) g() = sen(t )dt +t dt. Calcule F() em termos de F(). 4. Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja y = y() = sen( t) f(t) dt Prove que y + y = f() e y() = y () =, para todo I. 5. Calcule lim 6. Mostre que f() = t + dt+ t dt é constante em (, ). Qual o valor dessa cons- + tante? 7. Seja f() = cos(t ) dt. e t dt / e t dt. Mostre que f () f() =, para todo R. 8. Seja F : [,+ [ R dada por F() = t dt. (a) Calcule o comprimento do gráfico de F entre = e = 4. (b) Calcule lim IV - Polinômio de Taylor F( ) F(8) sen( ). Utilizando o polinômio de Taylor de ordem, calcule um valor aproimado e avalie o erro: (a) 8, (b) ln(, ) (c) sen(, ). Mostre que: a) sen! IR b) e (+ + ) < para. 4
5 . Encontre o polinômio de Taylor de ordem 5 de f() = em volta de =. 4. a) Seja n natural ímpar. Mostre que para todo IR ( sen! + 5 5! n...+( ) b) Avalie sen() com erro, em módulo, inferior a 5. n ) n+ n! (n+)! 5. a) Determine o polinômio de Taylor de ordem n de f() = e em torno de =. b) Avalie e com erro em módulo inferior a 5. c) Mostre que para todo IR, e d) Avalie 6. Mostre que ( ! e com erro inferior a 5. ) n e n+ n! (n+)! ( cos( ) 5.! + 9.4! ).6! 5.7! 7. Seja I um intervalo aberto e seja f : I IR IR derivável até a ordem em I. Use o polinômio de Taylor de grau e a fórmula de Taylor para provar o teste da segunda derivada, isto é, prove que se a I é um ponto crítico de f e a) Se f () para todo I, então f tem mínimo em a. b) Se f () para todo I, então f tem máimo em a. V - Miscelânea. Seja f : R R uma função contínua e periódica de período L, isto é, f(+l) = f(), para todo R. Sejam n Z e a R. Mostre que. Calcule π/ sen cos + L f() cos L L ( nπ ) = a+l f() cos L L a em termos de A = π cos (+). ( nπ ). L. Trabalho. Quando uma força constante de intensidade F é aplicada na direção do movimento de um objeto e esse objeto é deslocado de uma distância d, definimos o trabalho W realizado pela força sobre o objeto por W = F.d, se a força age no sentido do movimento e por W = F.d, se ela age no sentido oposto. Suponha agora que um objeto está se movendo na direção positiva ao longo do eio, sujeito a uma força variável F(). Defina o trabalho W realizado pela força sobre o objeto quando este é deslocado de = a até = b, e encontre uma fórmula para calculá-lo. 5
6 4. Energia cinética. Use as notações do eercício anterior, a segunda lei de Newton e a regra da cadeia dv dt = dv dt = v dv para mostrar que o trabalho realizado por uma força F atuando sobre uma partícula de massa m que se moveu de até é W = F() = mv mv, onde v e v são as velocidades do corpo em e. Em Física, a epressão mv é chamada de energia cinética de um corpo em movimento com velocidade v. Portanto, o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética do corpo e podemos determinar o trabalho calculando esta variação. 5. Suponha que uma partícula se desloca ao longo do eio, segundo uma função horária : [t, t ] R e sob ação de uma força f() i, dada f : R R contínua. Admita que a dinâmica da partícula é governada por um modelo relativístico: sua massa m depende da sua velocidade v, segundo a função m : ( c, c) R definida por (dados c > velocidade da luz e m > massa de repouso): m(v) = e sua função horária satisfaz a equação diferencial: m ( ), v c d ( m( (t)) (t) ) = f ( (t) ). dt Mostre que, se interpretarmos o trabalho f() realizado pela força f quando a partícula se desloca de = (t ) a = (t ) como variação de energia E, e se m = m ( (t ) ) m ( (t ) ), então: E = m c. Sugestão: Use o teorema de mudança de variáveis na integral de Riemann e o teorema fundamental do cálculo. 6. Determine o volume da intersecção de dois cilindros, ambos de raio R e cujos eios são ortogonais. 7. Mostre que 7 π = 4 ( ) Calcule o comprimento da astróide + y = a. 6
7 9. Seja f() = dt, R. +t 4 (a) Mostre que f é crescente e ímpar. (b) Mostre que f() f()+,. (Sugestão: Integre +t 4 (c) Mostre que lim f() eiste e é um número real positivo. (d) Esboce o gráfico de f(), localizando seu ponto de infleão. t de a.). Seja f : R\{} R dada por f() =. Estude as integrais de Riemann impróprias: (a) f() I - Integrais Indefinidas (b) f() RESPOSTAS ) k e ) + k ) 7sen 7+k 4) tg +k 5) 7 ln +k 6) 4 tg4 +k 7) cos ( 5 cos )+k 8) ln cos +k 9) tg +ln cos +k ) ln(+ )+k ) arctg + k ) arctg +k ) ( ) + k 4) ln sec +tg +k 5) +ln +k 6) ( + ) 6 + k 7) ln( + 8+)+k 8) (ln ) + k 9) ln arcsen +k ) ln(+e )+k ) ln(+cos )+k ) e + k ) 4 (+e ) 4 + k 4) cos +k 5) e arctg + k 6) (+) ( + )+k 7) { cos +sen +k 8) e (sen +cos )+k r+ r+ r+ ln + k, se r = 9) (r+) (ln ) (ln ) ( ln )+k ) + k, se r = ) ( )e + k ) arctg + arctg +k ) arcsen + + k 4) sec tg + ln sec +tg +k 5) (+sen cos )+k 6) sen 5 sen5 +k 7) 8 ( 4sen 4)+k 8) ln +sen +k 9) 6 ln 5 ln + ln +k 4) 6 + arctg( 6 )+k 4) ln ln +k 4) ln + 4 ln(+( ) )+ + arctg( )+k 7
8 4) arcsen + k 44) 8 ( ) + 8 arcsen +k 45) ( )e + k 46) ln(+ + ) + + k 47) ln k 48) (ln )+k 49) (sen(ln ) cos(ln ))+k 5) ln 4 +k 5) ln + ln( + +)+ arctg( + )+k 5) a + b + a b ln( b a + a +b a )+k 5) b ln( b a + a +b a )+k ++ ln( + +) +k 54) 55) + + arcsen( + )+k 56) arctg( )+k 57) sen sen +k 58) cos + cos 5 cos5 +k 59) sen ln sen +k sen 6) 4 cos8 ( ) cos6 ( )+k 6) tg + ln tg tg 4tg 4 k 6) 8 4 sen()+ sen(4)+k 6) sen 5 sen5 + 7 sen7 +k 64) 6 64 sen(4)+ 48 sen ()+k 65) sen(6)+ 64 sen() 44 sen (6)+k 66) cotg 5 cotg5 +k 67) tg+ tg cotg()+k 68) arcsen + + k 69) ln 6 +k 7) 6 ln 6 ln( + 4) 64 arctg + 4 ( +4) + k 7) arctg + ln ln + + k 7) arcsen( ) ( ) + + k 7) ln + +ln( +)+ arctg( )+k 74) ln(+e )+k 75) ln(+) + ln ln(+)+k 76) ( + )e + k 77) 4 ln 4 8 ln( + 4) 6 arctg( ) + k II - Aplicações da Integral Definida a ln(+ ) πab. 8. (a) 5 5 π. (b) π 6. (c) π (e e ). (d) 5π π. III - Aplicações do Teorema Fundamental do Cálculo. F() π. V - Miscelânea. ( π+ + A) R. 8. 6a. [. π (e + ). (πb)(πa ).. πh (a h ).. senh4 + senh. ] ln (+) =... 8
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