2 5 3 x 3 1. x 5 x 2

Transcrição

1 4 rimitivação 4. rimitivação Soluções. a + 4 4, b + ln, > 0, + c = + = = 5 +, 5 d + 4, e 4 = + = +, f e, g ln +, h, e i + ln, j 4 cosh/4, k cos, l tg, m cotg, n arctg, o arctg/, p = = 4 arcsen, q tg = sec = tg. 0

2 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES. a 4 ln + 4, b ln + e, c ln + sen, d e, e e /, f e e, g e tg, h sen +, i cose, j 4 + 4, k + e, l 6, m , n + sh, + o arctgcos, p = + = + arcsen, q ln cos, r = , s cos sen = sen, t sen = + sen w ln + ch, arctgln. sen cos = ln + sen, u + sen 5 sen5, v cos = sec,. a ; b e + ; c ln ; d 5 = 5 = ; e = + = + ln + = ln + ; f = = arctg4 ; g cotg cos = = ln sen ; sen h sen sen = sen sen cos = sen sen = tg i = tg = tg = ln cos ; j arcsen e ; k α +, se α, ln +, se α = ; α ln sen ; l cos cos = cos sen = cos cos sen = = sen sen, ou por partes.

3 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES 4. a, b cos +, c ln +, d e, e + cos, f / +, g e sen, h +, i arctg j ln arctg, k arctg, l arctg, m arctg, n, arctg e o arcsen, 5. p arcsen, s senln, t lnln. a cos cos + = = 4 sen +, b sen cos 4 = sen cos cos 4 = sen cos 4 cos 6 = = 5 cos5 + 7 cos7 ; c 4 sen4 6 sen6, d 4 cos sen = sen = 8 sen4, e ch, f sh + sh, g tg + tg 4 = sec tg + sec tg = sec tg tg + sec tg tg = tg + ln cos + tg tg + ; h tg, i tg + tg. 6. a Calculamos primeiro uma primitiva de : = = 6 arctg. Temos então, para R, f = arctg + c, com c R. ara determinar c temos 6 f 0 = c =, logo f = arctg +. 6 b = ln, para. Temos então ln + c, se > g = ln + c, se <.

4 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES com c, c R. ara determinar as constantes, temos g0 = ln + c = 0, logo c = 0, e g = ln + c =, logo c =. c O domínio da secante é R\{ π +kπ : k Z}. Neste conjunto temos sec = tg, e portanto para ] π + k π, π + kπ[, para cada k Z, temos h = tg + c k. Como kπ ] π + k π, π + kπ[, temos que 0 + c k = k, ou seja, c k = k. 7. sen = cos, R, logo a forma geral das primitivas é F = cos + C, com C R. a F0 = 0 + C = 0, logo C =. b lim + F não eiste, para qualquer C R, logo não eiste uma primitiva nas condições dadas. 8. e +e = ln + e, R, logo a forma geral das primitivas é F = ln + e + C, com C R. a F0 = 0 ln + C = 0, logo C = ln. b lim + F = +, para qualquer C R, logo não eiste uma primitiva nas condições dadas.. = arctgarctg, R, logo a forma geral das primitivas é + +arctg F = arctgarctg + C, com C R. a F0 = 0 C = 0. b lim + F = lim + arctgarctg + C = arctg π + C, logo C = arctg π. a = ln, b =, + c = + ln + + arctg, d = ln + + arctg, e 9. a + temos + + = ln arctg = +, f + + = arctg +.. Usando a decomposição em fracções simples + = A + B + + = A + B + = A + A + B + = A + B + A + logo A + B = 0 e A =, ou seja, A = e B =. Temos então = + = ln ln + = ln. + +

5 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES b Usando a decomposição em fracções simples + + = A + B + C = A + B + C = A A + A + B B + C = A + B + A B + C + A = A + B + C, temos logo A + B = 0, A B + C =, A =, ou seja, A =, B =, C =. Temos então + = + = ln ln. c Usando a decomposição em fracções simples = A + B+C +4, temos = A + B + C + 4 = A + 4A + B + C + 4 = A + B + 4A + C + 4 logo A + B =, C = e 4A = 4, ou seja, A =, B =, C =. Temos então + 4 = = ln + ln arctg. d ln ln + 4, e ln, + f ln + +, g + ln + + +, h + 4 ln + arctg, i ln arctg + ln +, j ln ln arctg +, k. 4

6 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES 0. a O domínio de é R \ {, 0}. A forma geral das primitivas desta função é: + ln ln + + C, se > 0, ln ln + + C, se < < 0, ln ln + C, se <, em que C, C, C são constantes reais arbitrárias. b O domínio de + é R \ {0, }. A forma geral das primitivas desta função é: ln ln + C, se >, ln ln + + C, se 0 < <, ln ln + + C, se < 0, em que C, C, C são constantes reais arbitrárias. c O domínio de + 4 é R \ {0}. A forma geral das primitivas desta função é: +4 ln + ln arctg + C, se > 0, ln + ln arctg + C, se < 0, em que C, C são constantes reais arbitrárias. d O domínio de + é R \ {0, }. A forma geral das primitivas desta função é: ln ln + / + C, se >, ln ln + / + C, se 0 < <, ln ln + / + C, se < 0, em que C, C, C são constantes reais arbitrárias.. a + e + C, com C R. + + b =, para R \ {, 0, }. Escrevendo = A + B + C + D + tem-se A =, B =, C =, D = verifique. Logo, + = ln ln ln + = + ln +. A forma geral da primitiva em ], + [ é G = + ln + K, com K R. Tem-se + lim G = lim + ln + K = ln + K = K, logo lim + G = K =. 5

7 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES. =, para R \ {}. A forma geral das primitivas é: + C, se >, + C, se <, em que C, C são constantes reais arbitrárias. Como F = 0, temos + C = 0 C =. Como lim + = 0, de lim + F = 0 tem-se C = 0.. Sendo + = ln +, para todo o ], + [, temos 4. ψ = ln + + C. A condição ψ 0 =, resulta em C =. Usando primitivação por partes verifique! temos ln + + = + ln +, ou seja ψ = + ln + + C. Dado que ψ0 =, obtém-se o resultado ψ = + ln + +. a e e + e /, b e sen cos /, c e + /, d arctg ln +, e ln f + 4 arctg /4 /, g /, h ln / + + ln +, i ln 9 ln + 7, j ln ln +, k sen cos, l sen lntg, m / arcsen + /, n ln + + ln, + o sh cos + ch sen, p + ln sen + ln cos, q cosln + senln, r + + arctg. 6

8 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES 5. a e = e e = e, b arctg = arctg + = arctg = + + arctg, + c arcsen = arcsen = arcsen +, d sen = cos + cos = cos + sen, e e = e = e e = e, f ln = ln ln = ln ln + 6 ln = ln ln + 6 ln 6 = ln ln + 6 ln 6, 7. c + = g n ln = n+ n+ ln n+ n+ = h 7 4 = 4 4 = = + arctg arctg n+ n+ ln n+, n+ = ln a Fazendo a substituição = t = t, com > 0, 6, e t > 0, t 4, temos + + t + t 4 = t 4 t t =. t4 t Usando a decomposição em fracções simples: temos A =, B = 5, logo + t t4 t e assim, + t t4 t = A t + B 4 t 4 t 5 = t + 5 = 4 t ln t + 4 = ln 4 5. b Fazendo a substituição 4 + = t = t 4, com > e t > 0, temos 4t = 4 + t 4 t 4t =. t 4 7

9 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES Usando a decomposição em fracções simples: 4t t 4 = 4t t t + t + = A t + B t + + Ct + D t +, temos A =, B =, C = 0, D =. Logo, 4t = t 4 t t + + t = ln t + t + + arctg t e assim, = ln arctg 4 +. c Fazendo a substituição e = t = ln t, com R e t > 0, temos = + e + t. t Usando a decomposição em fracções simples: temos A =, B =, logo e assim, + t t + tt = A + t + B t = + t + = t ln t + t = + e ln e + e. d Fazendo a substituição e = t = ln t, com R \ {0} e t > 0, t, temos e t t = =. + e e + t t t + t t Usando a decomposição em fracções simples: t + t t = At + B + t + C t + D t temos A =, B = 0, C = D =, logo t = + t t t + t + t + t = 4 ln + t + ln t t 8

10 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES e assim e = + e e 4 ln + e + ln e e. e Fazendo a substituição ln = t = e t, com R + \ {, e} e t R \ {0, }, temos ln t t = ln ln e t tt et =. tt Usando a decomposição em fracções simples: t tt = A t + B t + C t temos A =, B = C =, logo t = tt t + t + t = ln t t t e assim ln ln = ln ln ln ln ln. f Fazendo a substituição sen = t = arcsen t, obtem-se verifique = sen cos sen + ln + sen sen. g e ln e +, h arctg, i arctg, j ln arctg 6, k ln 4 e, l arctg, e + +e m ln cos + ln tg +, n ln ln ln, o ln +. 9

11 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES 0. a ln + sen sen, b, c + arcsen, d ln + tg, e /, f arcsen e, g + tg + sec, h arcsen + sen, i ln sen, j 4 ln + sen sen + 4 sen 4 + sen = ln + sen cos + sen cos = ln sec + tg + sec tg, k ln + +, l ln sen, m ln + sen +, n ln + e + e +, o ln , 4 p + ln a f = arctg + c, com c R; lim + f = π 8 + c, logo c = π 8. b g = ln c, para > 6 E. 9.a; lim + g = +, logo não eiste g nas condições do enunciado.. ver E. 9.c 4. ln + e + π. 5. a, b arcsen +, por partes, por e. c senln + cosln +, por partes, por e. d sen 4, 8 e / arctg + ln +, por partes, por e. f ln + ln + ln + ln, substituição t = ln, por e. g e 4 lne e +, substituição t = e, por e. h ln +, substituição t =, por e. i sen sen, 40

12 CDI-I o Sem. 04/5 LEIC-A 4.. RIMITIVAÇÃO SOLUÇÕES j + sen + sen 4, k ln, + l ln + +, m ln ln, n ln + + ln +, substituição t = e por partes, por e. o + e, por partes, por e. p sen ln + sen sen + arctgsen, q ln lnln ln, r + arctg arctg + ln +, s + ln +, sen t ln, cos + u + ln sen, sen cos + v arctg cos, w ln cos, ln + ++ substituição t = +, por e., y arcsen + arcsen por partes, por e., z ln 4 +sen + substituição t = sen, por e.. sen sen 4