2 5 3 x 3 1. x 5 x 2

Transcrição

1 4 rimitivação Soluções. a , b + log, > 0, + c = 3 + = = 5 3 +, 5 3 d , e 4 3 = = + 3, 3 f , g 4 log3 + 4, h log + e, i log + sen, j tg, k e tg, l sen +, m cose, n , o, p arctgcos, q = + e = 4 arcsen, + r = + = + arcsen, s tg 3 = log cos, t = , u cos sen = 3 sen 3. 0

2 CDI-I o S 0/3. a ; b e +3 ; c log ; d 5 = 5 5 = ; e = + = + log + = log + ; 3 f = = arctg4 ; g cotg cos = = log sen ; sen h 3 sen sen = 3 sen sen cos = 3 sen sen = log 3 3sen ; tg i = tg = tg = log cos ; j arcsen e ; k α +, se α, log +, se α = ; α l cos cos = cos sen = cos cos sen = = sen 3 sen3 ; 3. a 3, b 3 cos + 3 3, c 3 log + 3, d 3 e, e + cos, f 3/ +, 3 g e sen, h +, i arctg j log arctg, k arctg, l arctg, m 3 3 arctg 3, n, arctg e o arcsen 3, 3 p arcsen, s senlog, t loglog.

3 CDI-I o S 0/3 4. a tg = sec = tg,, b cos, sen sen cos c = = log + sen, + sen + sen d cos cos + = = 4 sen +, e 3 tg3, f 4 sen4 6 sen6, g sen 3 cos 4 = sen cos cos 4 = sen cos 4 cos 6 = = 5 cos5 + 7 cos7 ; h tg 3 + tg 4 = sec tg + sec tg = sec tg tg + sec tg tg = tg + log cos + 3 tg3 tg + ; i tg + 3 tg3. 5. a Calculamos primeiro uma primitiva de 4+9 : = = 6 arctg 3. Temos então, para R, f = arctg 3 + c, com c R. ara determinar c temos 6 f 0 = c =, logo f = arctg b = log, para. Temos então log + c, se > g = log + c, se <. com c, c R. ara determinar as constantes, temos g0 = log + c = 0, logo c = 0, e g = log + c = 3, logo c = 3. c O domínio da secante é R\{ π +kπ : k Z}. Neste conjunto temos sec = tg, e portanto para ] π + k π, π + kπ[, para cada k Z, temos h = tg + c k. Como kπ ] π + k π, π + kπ[, temos que 0 + c k = k, ou seja, c k = k. 6. sen = cos, R, logo a forma geral das primitivas é F = cos + C, com C R.

4 CDI-I o S 0/3 7. a F0 = 0 + C = 0, logo C =. b lim + F não eiste, para qualquer C R, logo não eiste uma primitiva nas condições dadas. e +e = log+e, R, logo a forma geral das primitivas é F = log+e +C, com C R. a F0 = 0 log 3 + C = 0, logo C = log 3. b lim + F = +, para qualquer C R, logo não eiste uma primitiva nas condições dadas.. = arctgarctg, R, logo a forma geral das primitivas é + +arctg F = arctgarctg + C, com C R. a F0 = 0 C = 0. b lim + F = lim + arctgarctg + C = arctg π + C, logo C = arctg π. a = log, b = 3 3 3, + c = + log + + arctg, d = log + + arctg, e 8. a + temos + + = log arctg = +, f + + = arctg +.. Usando a decomposição em fracções simples + = A + B + + = A + B + = A + A + B + = A + B + A + logo A + B = 0 e A =, ou seja, A = e B =. Temos então + = + = log log + = log. + 3

5 CDI-I o S 0/3 b Usando a decomposição em fracções simples + + = A + B + C = A + B + C = A A + A + B B + C = A + B + A B + C + A = A + B + C, temos logo A + B = 0, A B + C =, A =, ou seja, A =, B =, C =. Temos então + = + = log log. c Usando a decomposição em fracções simples = A + B+C +4, temos = A + B + C + 4 = A + 4A + B + C + 4 = A + B + 4A + C + 4 logo A + B =, C = e 4A = 4, ou seja, A =, B =, C =. Temos então + 4 = = log + log arctg. d log log + 4, e log, + f log + +, g + log + + +, h + 4 log + arctg, i log arctg + log +. 4

6 CDI-I o S 0/3 9. a O domínio de é R \ {, 0}. A forma geral das primitivas desta função é: + log log + + C, se > 0, log log + + C, se < < 0, log log + C 3, se <, em que C, C, C 3 são constantes reais arbitrárias. b O domínio de + é R \ {0, }. A forma geral das primitivas desta função é: log log + C, se >, log log + + C, se 0 < <, log log + + C 3, se < 0, em que C, C, C 3 são constantes reais arbitrárias. c O domínio de + 4 é R \ {0}. A forma geral das primitivas desta função é: +4 log + log arctg + C, se > 0, log + log arctg + C, se < 0, em que C, C são constantes reais arbitrárias. d O domínio de + é R \ {0, }. A forma geral das primitivas desta função é: log log + / + C, se >, log log + / + C, se 0 < <, log log + / + C 3, se < 0, em que C, C, C 3 são constantes reais arbitrárias. 0. a + e + C, com C R b =, para R \ {, 0, }. Escrevendo = A + B + C + D + tem-se A =, B = 3, C =, D = verifique. Logo, + 3 = log log log + = 3 + log +. A forma geral da primitiva em ], + [ é G = 3 Tem-se 3 lim G = lim + + logo lim + G = 3 K = 3. + log + + log + K = log + K = K, K, com K R.

7 CDI-I o S 0/3. =, para R \ {}. A forma geral das primitivas é: + C, se >, + C, se <, em que C, C são constantes reais arbitrárias. Como F = 0, temos + C = 0 C =. Como lim + = 0, de lim + F = 0 tem-se C = 0.. Sendo + = log +, para todo o ], + [, temos ψ = log + + C. A condição ψ 0 =, resulta em C =. Usando primitivação por partes verifique! temos log + + = + log +, ou seja ψ = + log + + C. Dado que ψ0 =, obtém-se o resultado ψ = + log a e = e e = e, b arctg = arctg + = arctg = + + arctg, + c arcsen = arcsen = arcsen +, d sen = cos + cos = cos + sen, e 3 e = e = e e = e, f log 3 = log 3 3 log = log 3 3 log + 6 log = log 3 3 log + 6 log 6 = log 3 3 log + 6 log 6, g n log = n+ n+ log n+ n+ = n+ n+ log n+, n+ h 7 4 = = = log 4. 6

8 CDI-I o S 0/3 4. a e e + e /, b e sen cos /, c e + /, d arctg log +, e 3 3 log f arctg /4 3 /, g /, h log / + + log +, i 3 3 log 9 log + 7 3, j log log +, k sen cos, l sen logtg, m 3/ arcsen + 3 /3, n log + log +, + 5. c + = 6. o sh cos + ch sen, p +log 3 3 sen + log 3 cos, q coslog + senlog, r + 3 = + arctg arctg arctg. a e log e +, b 3 arctg 3, c arctg, d log arctg 6, e log 4 e, f arctg, e + +e g log cos + log tg +, h log log log, i 3 log 3 +, 7. a Fazendo a substituição = t = t, com > 0, 6, e t > 0, t 4, temos + + t + t 4 = t 4 t t =. t4 t Usando a decomposição em fracções simples: temos A =, B = 5, logo + t t4 t + t t4 t = A t + B 4 t 4 t 5 = t + 5 = 4 t log t 7

9 CDI-I o S 0/3 e assim, + 4 = log 4 5. b Fazendo a substituição 4 + = t = t 4, com > e t > 0, temos 4t = 4 + t 4 t 4t3 =. t 4 Usando a decomposição em fracções simples: 4t t 4 = 4t t t + t + = A t + B t + + Ct + D t +, temos A =, B =, C = 0, D =. Logo, 4t = t 4 t t + + t = log t + t + + arctg t e assim, = log arctg 4 +. c Fazendo a substituição e = t = log t, com R e t > 0, temos = + e + t. t Usando a decomposição em fracções simples: temos A =, B =, logo e assim, + t t + tt = A + t + B t = + t + = t log t + t = + e log e + e. d Fazendo a substituição e = t = log t, com R \ {0} e t > 0, t, temos e 3 t 3 t = =. + e e + t t t + t t 8

10 CDI-I o S 0/3 Usando a decomposição em fracções simples: temos A =, B = 0, C = D =, logo e assim t + t t = At + B + t + C t + D t t = + t t t + t + t + t = 4 log + t + log t t e 3 = + e e 4 log + e + log e e. e Fazendo a substituição log = t = e t, com R + \ {, e} e t R \ {0, }, temos log t t = log log e t tt et =. tt Usando a decomposição em fracções simples: t tt = A t + B t + C t temos A =, B = C =, logo t = tt t + t + t = log t t t e assim log log = log log log log log. f Fazendo a substituição sen = t = arcsen t, obtem-se verifique = sen cos sen + log + sen sen. 9

11 CDI-I o S 0/3 8. a log + sen sen, b, c + arcsen, d log + tg, e 3/ 3, f arcsen e, g + tg + sec, h arcsen, i log + sen sen, j 4 log + sen sen + 4 sen 4 + sen = log + sen cos + sen cos = log sec + tg + sec tg, k log + +, l log sen, m log + sen +, n log + e + e +, o log , 4 p + log a f = arctg + c, com c R; lim + f = π 8 + c, logo c = π 8. b g = log c, para > 6 E. 6.a; lim + g = +, logo não eiste g nas condições do enunciado. 0. ver E. 6.c. a, b arcsen +, por partes, por e. c senlog + coslog +, por partes, por e. d sen 4, 8 3 e 3 3/ arctg + log +, por partes, por e. 3 3 f log + log + log + log, substituição t = log, por e. g e 4 loge e +, substituição t = e, por e. h log +, substituição t =, por e. i sen 3 sen3, j 3 + sen + sen 4, k log, + 0

12 CDI-I o S 0/3 l log +3 +, m log log, n log + + log +, substituição t = e por partes, por e. o + e, por partes, por e. p sen log + sen sen + arctgsen, q log loglog log, r + arctg arctg + log +, s + log +, sen t log, cos + u + log sen, sen cos + v 3 arctg 3 3 cos, w log cos, log + ++ substituição t = +, por e., y arcsen + arcsen por partes, por e., z log 4 +sen + substituição t = sen, por e.. sen. log + e + π. sen