LISTA DE EXERCÍCIOS Valor: 0 a 1,5 Entrega em 28/novembro/2018 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
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1 Ministério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Curitiba Diretoria de Graduação e Educação Profissional Departamento Acadêmico de Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral Profª Silvana Heidemann Rocha LISTA DE EXERCÍCIOS Valor: 0 a, Entrega em 8/novembro/08 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Assuntos: Integral Indefinida; Integral Definida; Integral Imprópria; Aplicações (Obs.: Usar um software matemático para conferir suas resoluções. Sugestão: Symbolab) 0) Usando as propriedades e as técnicas de integração, bem como sabendo as integrais imediatas, determine as integrais indefinidas dadas abaio. (isto é, encontre a função primitiva. Não se esqueça de somar uma constante, pois, geometricamente, a solução de uma integral indefinida é uma família de curvas). Após, confira se encontrou o resultado correto. (isto é, diferencie a função primitiva e compare se a diferencial obtida é igual ao integrando. O integrando é tudo que vem após o sinal de integração) Observação: Derivada Diferencial Diferencial Equação Diferencial Diferenciação e integração são operações inversas, tais como, adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação e radiciação; eponenciação e logaritmação. i) = ii) = v) = vi) = i) ( + ) = 8 iii) = iv) 7 vii) = viii) ) + = i) = ii) ( + ) = iii) ( + ) = iv) ( ) = v) ( ) = vi) = vii) = viii) ( e ) e = i) = ) e = i) sen cos = ii) sen cos = iii) cos sen =
2 iv) ( a ) = v) = vi) + = vii) + = viii) tg sec = i) tg sec = sec ) = i) sec tg = ii) tg 6 ln iii) = iv) v) vi) = e vii) = + viii) = i) ( + ) = sen l) ( + + ) dt = li) t t t ( + cos ) cos lii) = + sen liii) 7 liv) sen lv) + cos lvi) tg = lvii) cot g = lviii) li) l) ln e li) = + e liv) + arctg lii) = + lv) liii) + arcsen lvi) = y y dz lvii) ( e + 8 ) dy = lviii) z li) ( e) = l) cos = li) sen = lii) cos = liii) sen = liv) cos sen = lv) sen cos = lvi) tg = lvii) sen cos = lviii) tg = li) tg = l) tg = li) sen = lii) cos = liii) sen = liv) tg =
3 lv) cotg = lvi) sec ( ) = lvii) cossec = lviii) cossec ( ) = li) = sec l) sec = li) sec( ) = lii) cos sec = liii) cossec( ) = liv) e = lv) e = lvi) e = lvii) e = lviii) e sen = li) e cos = c) cos = ci) cos = cii) e sen e = ciii) sen = civ) sen = cv) ( )cos = cvi) e = cvii) ln = cviii) ln = ci) sen (ln t ) dt = c) sec = ci) arcsen = t e cii) e e dt = t ciii) arctg = civ) arcsen = cv) sen cos = cvi) sen sen = cvii) sen 0 sen = cviii) ( sen ) ci) = + 6 c) = + ci) = cii) + = ciii) = civ) = cv) = cvi) + = + y cvii) dy = y ( ) c) ciii) + w cviii) w + dw 8 ci) 8 civ) ci) cii) cv) + 9 cvi) = cvii) cviii) ci) c) + 9 ci) 9 +
4 cii) + ciii) civ) cv) + cvi) + = cvii) 9 + cviii) + ci) = + cl) + cli) = + ( + + ) clii) = + + 0) Usando as propriedades e as técnicas de integração, bem como sabendo as integrais imediatas e o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule as integrais definidas dadas abaio: (Antes de aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo Diferencial e Integral, verifique se a função é contínua no intervalo de integração). a) ( + / c) ( ln + π + e ) = b) π (sen cos 6 π/ + e ) = d) (e sen) = π/ + tg ) = 0) Nas integrais abaio, justifique se é possível aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Caso seja possível aplicá-lo, resolva as integrais usando esse teorema. Caso contrário, resolva-as por meio dos procedimentos adequados para integrais impróprias: a) ( + π ) = b) (sen cos π 6 + tg ) 0 c) (e + + ) = d) e = + e e) =
5 0) Determine as respectivas áreas das regiões dadas a seguir. Esboce essas regiões. (Não se esqueça de desenhar um retângulo que epresse o elemento de aproimação da área; coloque as dimensões nesse retângulo) y = + a) R: { y = y = b) S: { y = 0 6 = y c) T: { = y y y = y y = + d) M: { y = y = 0) Esboce a região limitada pelas curvas a seguir, e calcule a área da região: (Não se esqueça de desenhar um retângulo que epresse o elemento de aproimação da área; coloque as dimensões nesse retângulo) a) y = e y = b) y = sen, y = sen, = 0 e = π/ c) y = e y = d) = y e = y e) y = e, y = e e y = f) y = ln, y = e e y = 0 06) Calcule o comprimento do arco da parábola semicúbica y = de (, ) a (, 8). Esboce o desenho. (Não se esqueça de desenhar um segmento de reta que epresse o elemento de aproimação do comprimento; coloque a base e a altura do triângulo retângulo utilizado para calcular esse segmento de reta) 07) Determine o volume do sólido obtido pela rotação, ao redor do eio, da região sob a curva y = de = 0 a =. Esboce o desenho. (Não se esqueça de desenhar um cilindro que epresse o elemento de aproimação do volume; coloque o raio da base e a altura desse cilindro) 08) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y =, y = 8 e = 0, ao redor do eio y. (Não se esqueça de desenhar um cilindro que epresse o elemento de aproimação do volume; coloque o raio da base e a altura desse cilindro) REFERÊNCIAS ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6 ed. V. Porto Alegre: Bookman, 000. FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. ed. São Paulo: Makron, 99. STEWART, J. Cálculo.. ed. V.. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 00.
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