MAT146 - Cálculo I - Derivada das Inversas Trigonométricas

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1 MAT46 - Cálculo I - Derivada das Inversas Trigonométricas Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira

2 Vimos anteriormente que as funções trigonométricas não são inversíveis, mas podemos fazer restrições no domínio e/ou contradomínio de maneira a transformá-las em bijeções, ou seja, inversíveis.

3 Função Arco Seno Considere a função f : [ π 2, π ] [, ] 2 dada por f (x) = sen x. Esta função é inversível e sua inversa g : [, ] [ π 2, π ] 2 que denotaremos por g(x) = arcsen x.

4 Função Arco Seno Fazendo y = g(x), devemos encontrar y = dy. Observe que dx y = arcsen x se, e somente se, sen y = x. Utilizando derivação impĺıcita, obtemos cos y y =. Devemos observar primeiramente que, pela a igualdade acima, cos y 0. Daí y ± π e consequentemente x ±. Voltando à igualdade 2 y = cos y = cos(arcsen x).

5 Função Arco Seno Nosso objetivo agora é efetuar a composição cos(arcsen x). Fazendo α = arcsen x, devemos encontrar cos α. Observe que α = arcsen x se, e somente se, x = sen α. Daí, x 2 = sen 2 α x 2 = sen 2 α = cos 2 α cos α = ± x 2

6 Função Arco Seno Como α = arcsen x temos cos α > 0 e concluímos que y = ( π 2, π ), 2 cos(arcsen x) = cos α =, < x <. x 2

7 Função Arco Seno Uma maneira prática de se efetuar a composição apresentada acima é construir um triângulo retângulo com hipotenusa e um ângulo α tal que sen α = x. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos o outro cateto. Agora, basta encontrar cos α utilizando tal triângulo construído. α x 2 x sen α = x cos α = x 2 Note que este procedimento prático se restringe a α (0, π/2).

8 Função Arco Seno Exemplo Seja f (x) = arcsen(x 2 ). Determine f (x). Usando a regra da cadeia e sabendo a derivada da função arco seno, obtemos f (x) = (x 2 ) 2 2x = 2x x 4.

9 Função Arco Cosseno Analogamente ao caso anterior, temos que f : [0, π] [, ] dada por é inversível e sua inversa f (x) = cos x g : [, ] [0, π] será denotada por g(x) = arccos x.

10 Função Arco Cosseno Fazendo y = g(x), devemos encontrar y = dy. Note que dx y = arccos x se, e somente se, cos y = x. Derivando implicitamente, obtemos sen y y =. Devemos observar primeiramente que, pela a igualdade acima, sen y 0. Daí y ±π e desta forma, x ±. Voltando à igualdade y = sen y = sen(arccos x).

11 Função Arco Cosseno Devemos efetuar a composição sen(arccos x). Fazendo α = arccos x, vamos encontrar sen α. Observe que α = arccos x se, e somente se, x = cos α. Daí, x 2 = cos 2 α x 2 = cos 2 α = sen 2 α sen α = ± x 2

12 Função Arco Cosseno Como α = arccos x (0, π), temos sen α > 0 e podemos garantir que y = sen(arccos x) = sen α =, < x <. x 2

13 Função Arco Cosseno De maneira análoga ao caso anterior, podemos utilizar novamente um procedimento prático para efetuar a composição apresentada acima. Para isso, devemos construir um triângulo retângulo com hipotenusa e um ângulo α tal que cos α = x. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos o outro cateto. Agora, basta encontrar sen α utilizando tal triângulo construído. α x x 2 cos α = x sen α = x 2

14 Função Arco Cosseno Exemplo Derive f (x) = arccos(x 2 5). Pela regra da cadeia, segue que f (x) = (x 2 5) 2x 2 2x = x 4 + 0x 2 24

15 Função Arco Tangente Agora vamos considerar a função inversível ( f : π 2, π ) R 2 dada por Seja f (x) = tg x. g : R ( π 2, π ) 2 a sua inversa e a denotaremos por g(x) = arctg x.

16 Função Arco Tangente Fazendo y = g(x), devemos encontrar y = dy. Temos que dx y = arctg x se, e somente se, tg y = x. Derivando implicitamente, obtemos sec 2 y y =. Assim, y = sec 2 y = sec 2 (arctg x).

17 Função Arco Tangente Devemos efetuar a composição sec(arctg x). Fazendo α = arctg x, devemos encontrar sec α. Observe que α = arctg x se, e somente se, x = tg α. Daí, x 2 = tg 2 α + x 2 = + tg 2 α = sec 2 α sec 2 α = x 2 +

18 Função Arco Tangente Assim, y = sec 2 (arctg x) = sec 2 α = x 2 +, x R.

19 Função Arco Tangente Neste caso, o método prático consiste em construir um triângulo retângulo com um cateto medindo e um ângulo α tal que tg α = x. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos o outro cateto. Agora, basta encontrar sec α utilizando tal triângulo construído. x 2 + x tg α = x α sec α = x 2 +

20 Função Arco Tangente Exemplo ( ) Derive f (x) = arctg. Para derivar esta função utilizamos a x + regra da cadeia e a regra de derivação do quociente. Desta maneira, f (x) = ( ) 2 + x + ( ) x + (x + ) 2 = (x + ) 2 + (x + ) 2 = x 2 + 2x + 2

21 Função Arco Cotangente A função dada por é inversível e sua inversa é denotada por f : (0, π) R f (x) = cotg x g : R (0, π) g(x) = arccot x.

22 Função Arco Cotangente Fazendo y = g(x), devemos encontrar y = dy dx. Temos Derivando implicitamente, y = arccot x se, e somente se, cotg y = x. cossec 2 y y =. Assim, y = cossec 2 y = cossec 2 (arccot x).

23 Função Arco Cotangente Devemos efetuar a composição cossec(arccot x). Fazendo α = arccot x, devemos encontrar cossec α. Observe que α = arccot x se, e somente se, x = cotg α. Daí, x 2 = cotg 2 α + x 2 = + cotg 2 α = cossec 2 α cossec 2 α = x 2 +

24 Função Arco Cotangente Assim, y = cossec 2 (arccot x) = cossec 2 α = x 2 +, x R.

25 Função Arco Cotangente Exemplo Determine f (x) para f (x) = x 3 arccot regra do produto, obtemos ( x ) f (x) = 3x 2 arctg 3 ( x ) = 3x 2 arctg 3 ( ) 3 x. Pela regra da cadeia e + x 3 ( x + 3 x 3 3 ( + x 2 ) 9 ( x ) = 3x 2 arctg 3x x 2. ) 2 3

26 Função Arco Secante A função f : [ 0, π ) ( π ] 2 2, π (, ] [, ) dada por é inversível e sua inversa f (x) = sec x g : (, ] [, ) [ 0, π ) ( π ] 2 2, π é denotada por g(x) = arcsec x.

27 Função Arco Secante Se y = g(x), devemos encontrar y = dy dx. Assim, Derivando implicitamente, y = arcsec x se, e somente se, sec y = x. secy tg y y =. Daí, tg y 0, ou seja, y 0 e y π. Logo, y = = sec y tg y = sec(arcsec x) tg(arcsec x) x tg(arcsec x).

28 Função Arco Secante Devemos efetuar a composição tg(arcsec x). Fazendo α = arcsec x, devemos encontrar tg α. Observe que α = arcsec x se, e somente se, x = sec α. Daí, x 2 = sec 2 α x 2 = sec 2 α = tg 2 α tg α = ± x 2

29 Função Arco Secante Assim, y = = = = x tg(arcsec x) x tg α ±x x 2 x x, x >. 2

30 Função Arco Secante Exemplo Encontre f (x), onde f (x) = arcsec(3e x ). Utilizaremos a regra da cadeia. Assim, f (x) = = = 3e x (3e x ) 2 3ex e x e x 9e 2x 9e 2x

31 Função Arco Cossecante A função f : [ π ) ( 2, 0 0, π ] (, ] [, ) 2 dada por é inversível e sua inversa f (x) = cossec x g : (, ] [, ) [ π ) ( 2, 0 0, π ] 2 é denotada por g(x) = arccossec x.

32 Função Arco Cossecante Se y = g(x), devemos encontrar y = dy dx. Daí, y = arccossec x se, e somente se, cossec y = x. Derivando implicitamente, cossec y cotg y y =. Assim, cotg y 0, ou seja, y ± π 2.

33 Função Arco Cossecante Daí, y = cossec y cotg y = cossec(arccossec x) cotg(arccossec x) = x cotg(arccossec x).

34 Função Arco Cossecante Devemos efetuar a composição cotg(arccossec x). Fazendo α = arccossec x, devemos encontrar cotg α. Observe que α = arccossec x se, e somente se, x = cossec α. Daí, x 2 = cossec 2 α x 2 = cossec 2 α = cotg 2 α cotg α = ± x 2

35 Função Arco Cossecante Assim, y = x cotg(arccossec x) = x cotg α = ±x x 2 = x x, 2 x >.

36 Função Arco Cossecante Exemplo Determine f (x), onde f (x) = x arccossec. Utilizaremos a regra do x produto e a regra da cadeia. f (x) = arccossec ( x + x ( ) 2 ) x 2 x x = arccossec x + x x 2 x 2 x x 2 = arccossec x + x x 2

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