Análise Matemática I /14 LEI. 1. Para as funções que se seguem, indique o domínio e o contradomínio: 4 x 2;

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1 Análise Matemática I - 03/4 Definição. Seja f uma função real de variável real. Define-se por domínio de f, comummente denotado por D f, o conjunto de todos os pontos onde f está definida, e por contradomínio ou imagem, o conjunto das imagens de todos os pontos do domínio, ou seja, D f = {y R : y = f(), D f}.. Para as funções que se seguem, indique o domínio e o contradomínio: (a) f() = ; (b) f() = 3 ; (c) f() = +6; (d) f() = 4 ; (e) f() = ; (f) f() = + ; (g) f() = ; (h) f() = ; (i) f() = +; (j) f() = 3 +; (k) f() = 4 ; (l) f() = e ; (m) f() = e ; (n) f() = e / ; (o) f() = ln(); (p) f() = ln( 3); (q) f() = sen(); (r) f() = cos(); (s) f() = tg(); (t) f() = cotg(); (u) f() = sen().. Apresente um esboço para o gráfico de cada uma das funções apresentadas no eercício anterior. 3. Indique o domínio e o contradomínio da função f, admitindo que f definida pela seguinte regra f() = e Localize o vértice da parábola dada por f() = Quais as soluções da equação + = Considere f() = ++. (a) Determine todos os valores reais que resolvem a equação f() = 0. (b) Identifique os pontos de interseção com os eios coordenados. (c) Determine a abcissa do vértice da parábola. (d) Faça o esboço gráfico de f. -/43-

2 Análise Matemática I - 03/4 7. Considere f() = 3. (a) Determine todos os valores reais que resolvem a equação f() = 0. (b) Identifique os pontos de interseção com os eios coordenados. (c) Determine a abcissa do vértice da parábola. (d) Faça o esboço gráfico de f. 8. Considere a parábola dada por f() = (a) Identifique os pontos de interseção com os eios coordenados. (b) Indique o sentido da concavidade. (c) Quantas raízes reais possui a parábola? Justifique a resposta dada. (d) Determine o vértice da parábola. (e) Qual o contradomínio de f? (f) Faça o esboço gráfico de f. 9. Uma epidemia está a espalhar-se sobre uma região de grande área. Os especialistas estimam que o número de indivíduos infetados pela doença é dado por uma função dependente do tempo, medido em relação ao ponto de referência que corresponde ao momento em que a doença foi detetada. Admite-se assim que a função que eprime o número de infetados é dada por n(t) = 0.05t onde n representa o número de indivíduos infectados (em centenas) e t é medido em dias. Deve salientar-se que a validade do modelo é apenas assumida para os primeiros trinta dias, subsequentes ao momento em que foi detetado o vírus. (a) Estime o número de indivíduos que se encontram afetados pelo vírus ao fim de 0 dias? (b) Qual o número de dias que decorrerá após a deteção do vírus, por forma a que se possa afirmar que 700 indivíduos estão infetados? -/43-

3 Análise Matemática I - 03/4 (c) Qual a interpretação que dá ao fator.4 que consta na equação do modelo? 0. Sabendo que = é uma das soluções da equação 3 + = 0, identifique todas as soluções da equação.. Determine todas as soluções reais para as equações que se seguem: (a) = 0; (b) 4 + = 0; (c) = 0; (d) 9 = 0.. Seja f() = (a) Indique o domínio da função f. (b) Determine os zeros da função f. (c) Simplifique a epressão f, procedendo à divisão dos polinómios. (d) O que pode dizer cerca do comportamento do gráfico quando se consideram valores infinitamente grandes positivos e infinitamente grandes negativos para? Definição. Uma função f : A B diz-se: par se f( ) = f(), para todo o A; ímpar se f( ) = f(), para todo o A. 3. Estude a paridade de cada uma das funções que se seguem: (a) f() = 3 ; (b) f() = 3 +4 ; (c) f() = ; (d) f() = 3; (e) f() = 3 3; (f) f() = 4; (g) f() = e ; + (h) f() = ; (i) f() = /43-

4 Análise Matemática I - 03/4 4. Sejam f() = ++ e h 0. (a) f(+) = f()+f()? (b) Determine f(+h) e f(+h). (c) f(+h) = f()+f(h)? (d) f(+h) = f()+h? (e) Determine f(+h) f(). Simplifique o resultado. h 5. Considere as funções f() = e g() = 3. Indique a epressão e o domínio para cada uma das seguintes funções: (a) (f +g)(); (b) (f g)(); (c) (f g)(); (d) (f/g)(). 6. Determine todos os pontos de interseção dos gráficos das funções f() = 3 + e g() =. 7. Sejam f() = + e g() =. Indique a epressão e o domínio para cada uma das seguintes funções: (a) (f g)(); (b) (g f)(). 8. Considere asfunções f() = 8 3 +eg() =. Indique aepressão e odomínio para cada uma das seguintes funções: (a) (f g)(); (b) (g f)(). 9. Sejam f() = e g() = + 4. Indique a epressão e o domínio para cada uma das seguintes funções: (a) (g f)(); (b) (f g)(); (c) (f/g)(); (d) (f g)(); (e) (g f)(); (f) (f f)(). -4/43-

5 Análise Matemática I - 03/4 Círculo Trigonométrico Os valores das funções trigonométricas podem igualmente ser obtidos através da análise ao círculo trigonométrico. Eio dos senos Eio das tangentes cotg(α) Eio das co-tangentes sen(α) tg(α) α 0 cos(α) Eio dos co-senos Da análise ao círculo trigonométrico é possível inferir as seguintes relações: sen(α) = cos(α) = cateto oposto hipotenusa ; cateto adjacente ; hipotenusa tg(α) = sen(α) cos(α) = cateto oposto cateto adjacente ; cotg(α) = tg(α) = cos(α) cateto adjacente = sen(α) cateto oposto ; sec(α) = cos(α) = hipotenusa cateto adjacente ; cosec(α) = sen(α) = hipotenusa cateto oposto ; sen (α)+cos (α) = (Fórmula fundamental da trigonometria). -5/43-

6 Análise Matemática I - 03/4 Da fórmula fundamental da trigonometria facilmente se conclui que: tg (α)+ = sec (α) e que +cotg (α) = cosec (α). Alguns valores que se devem memorizar são os que aparecem na seguinte tabela: α função 0 /6 /4 /3 / sen(α) 0 / / 3/ cos(α) tg(α) 0 cotg(α) + 3/ / / 0 3/ /3 0 SENO A função seno é uma função trigonométrica com domínio R e contradomínio [, ]. O gráfico da função é dado por: y Mostre que: (a) sen( ) = sen(), R; (b) sen() = sen()cos(), R; (c) sen () = cos(), R; (d) sen(k) = 0, k Z; (e) sen( ±) = cos(), R; (f) sen( ±) = sen(), R; -6/43-

7 ( y (g) sen()+sen(y) = cos ( y (h) sen() sen(y) = sen Parte-CálculoDiferencialem R Análise Matemática I - 03/4 ) sen ) cos ( +y ( +y ),,y R; ),,y R; (i) sen()sen(y) = cos( y) cos(+y),,y R; (j) sen()cos(y) = sen( y)+sen(+y),,y R. CO-SENO A função co-seno é uma função trigonométrica com domínio R e contradomínio[, ]. O gráfico que carateriza esta função é dado por: y 3 3. Mostre que: (a) cos( ) = cos(), R; (b) cos() = cos () sen (), R; (c) cos () = +cos(), R; (d) cos(k) = ( ) k, k Z; (e) As funções seno e co-seno são funções periódicas com período, ou seja, sen(+) = sen() e cos(+) = cos(), R; (f) cos( ±) = sen(), R; (g) cos( ±) = cos(), R; (h) cos()cos(y) = cos( y)+cos(+y),,y R; ( ) ( y +y (i) cos()+cos(y) = cos cos ( ) ( y +y (j) cos() cos(y) = sen sen ),,y R; ),,y R. -7/43-

8 Análise Matemática I - 03/4 TANGENTE A função tangente é uma função trigonométrica que traduz a razão entre o valor do seno e do co-seno, ou seja, tg() = sen(). Por essa razão, o domínio da função { cos() } tangente é dado por R\ +k,k Z e o contradomínio é R. O gráfico que carateriza a função tangente é o seguinte: y 3 3 CO-TANGENTE A função co-tangente é uma função trigonométrica que traduz a razão entre o valor do co-seno e do seno, ou seja, cotg() = cos() sen() =. Por conseguinte, o domínio tg() da função tangente é dado por R\{k,k Z} e o contradomínio é R. y 3 3-8/43-

9 Análise Matemática I - 03/4. Determine todos os valores de [0,] que satisfazem as seguintes equações: (a) sen ()+3cos() = 0; (b) cos ()+cos() = ; (c) sen ()+sen() = ; (d) sen()cos() sen() cos() = ; (e) cotg ()+cosec () = 0; (f) tg()+cotg() = cosec(). Funções hiperbólicas As funções hiperbólicas são análogas às funções trigonométricas ou circulares. À semelhança do círculo unitário, que é gerado pelos pontos (cos(t), sen(t)), os pontos (cosh(t), senh(t)) formam a metade direita da hipérbole equilátera, sendo a parte esquerda construída com os pontos ( cosh(t), senh(t)). As funções hiperbólicas tomam valores reais para um argumento real designado por ângulo hiperbólico. y cosh() senh : R R senh() = e e sech() csch() tgh() 0 cotgh() cosh : R [,+ [ cosh() = e +e tgh : R ],[ tgh() = senh() cosh() = e e + senh() cotgh : R\{0} R\[,] cotgh() = tgh() sech : R ]0,] sech() = cosh() csch : R\{0} R\{0} csch() = senh() -9/43-

10 Análise Matemática I - 03/4 3. Prove que: (a) senh( ) = senh(); (b) cosh( ) = cosh(); (c) cosh () senh () = ; (d) cosh() = senh()+; (e) tgh () = sech (); (f) e = cosh()+senh(); (g) e = cosh() senh(); (h) cotgh () = +csch (). Definição 3. Uma função f : A B diz-se injetiva sse não eistem dois, ou mais, objetos diferentes com a mesma imagem, ou seja, f é injetiva se e só se, A : f( ) f( ). Atendendo a esta definição é óbvio que nenhuma das funções trigonométricas elementares é injetiva. Nestes casos, para obter a função inversa, é necessário considerar uma restrição ao domínio onde a função seja injetiva. Definição 4. Uma função f : A B diz-se sobrejetiva se e somente se todo o elemento do conjunto de chegada, contradomínio, é imagem de, pelo menos, um objecto, ou seja, f é sobrejetiva sse y B, A : f() = y. (a) f() = não possui inversa; (b) f() = 3 possui inversa. 5. Prove que a função f() = a é inversa da função g() = log a (), com b, R, tais que b > 0, b e > Seja f uma função que admite inversa com f(3) = 5. Qual o valor de f (5)? Definição 5. Uma função que é simultaneamente injetiva e sobrejetiva diz-se bijetiva. Apenas é possível garantir a eistência de função inversa para uma função injetiva. 4. Utilize o teste da linha horizontal (prova de que a função é injectiva) para mostrar que: -0/43-

11 Análise Matemática I - 03/4 7. Obtenha a epressão para a inversa da função f() = + e indique o domínio de f. 8. Dada a função f() = 3, obtenha a epressão para f e indique o domínio da função obtida. O que pode dizer acerca do contradomínio da função f? 9. Prove que: (a) A função inversa de f() = é f () =. (b) A função inversa de f() = 3 é f () = 3. Funções trigonométricas inversas São as funções inversas das funções trigonométricas, por vezes são designadas por função de arco, uma vez que fornecem o arco que corresponde à função trigonométrica em causa. [ Assim, para a função seno escolhe-se a restrição ao domínio,, ], designada por restrição principal, visto que para esta restrição do domínio da função seno é possível garantir a bijetividade da função. Portanto, a inversa da função seno, arco-seno, define-se da seguinte forma: y / sen() [ sen : [,], ] arcsen() / / arcsen() / -/43-

12 Análise Matemática I - 03/4 Procedendo da mesma forma para as restantes funções trigonométricas temos que: para a função co-seno a restrição ao domínio que se considera é a que corresponde ao intervalo [0, ]; y arccos() cos : [,] [0,] / arccos() / cos() para a função tangente a restrição ao domínio que garante uma função bijetiva ] é a que é dada pelo intervalo, [ ; y tg() tg : R ], [ arctg() arctg() -/43-

13 Análise Matemática I - 03/4 para a função co-tangente considera-se a restrição ao domínio dada pelo intervalo ]0,[; y cotg() arccotg() cotg : R ]0,[ arccotg() 0 para a função secante a restrição ao domínio que garante uma função bijetiva é { a que é dada pelo intervalo [0,]\ ; } y { sec : R\],[ [0,]\ } arcsec() arcsec() 0 sec() -3/43-

14 Análise Matemática I - 03/4 para a função co-secante a restrição ao domínio que garante uma função bijetiva [ é a que é dada pelo intervalo, ] \{0}; y cosec : R\],[ [, ] \{0} arccsc() 0 arccsc() cosec() Algumas das propriedades importantes para as funções trigométricas inversas são: arcsec() = arccos(/); arccsc() = arcsen(/); arccos() = arcsen(); arccotg() = arctg(); arccsc() = arcsec(); arcsen( ) = arcsen(); arccos( ) = arccos(). 30. Prove as seguintes identidades: (a) sen(arccos()) = ; (d) tg(arcsen()) = ; (b) cos(arcsen()) = ; (c) cos(arctg()) = + ; (e) tg(arccos()) =. -4/43-

15 Análise Matemática I - 03/4 3. Seja f() = sen(+4) e g = f. Indique D g e D g. 3. Para cada uma das funções que se seguem, defina a função inversa: (a) f() = sen(+); ( ) (b) f() = tg ; (c) f() = cos()+. ( ) (d) f() = sen. 33. Indique o domínio e o contradomínio das seguintes funções: ) 3 ) (a) f() = arctg( ; (b) f() = arccotg(. Funções hiperbólicas inversas As inversas das funções hiperbólicas são funções hiperbólicas de área. Os seus nomes a derivam do facto de fornecerem a área de uma secção da hipérbole unitária y =, da mesma forma que as funções trigonométricas inversas fornecem o comprimento de arco de uma secção do círculo unitário +y =. y senh() senh : R R argsenh() argsenh() 0 y cosh() argcosh() cosh : [,+ [ R + 0 argcosh() 0 a Em Portugal usa-se argsenh(), que se designa por argumento do seno hiperbólico, no entanto, na notação internacional é comum utilizar-se a designação arsinh(), como designação de area sinus hyperbolicus. -5/43-

16 Análise Matemática I - 03/4 y tgh : ],[ R argtgh() argtgh() tgh() 0 y cotgh : R\[,] R\{0} argcotgh() argcotgh() cotgh() 0-6/43-

17 Análise Matemática I - 03/4 y csch : R\{0} R\{0} argcsch() 0 csch() argcsch() y sech : ]0,] [0,+ [ argsech() argsech() 0 sech() argsech() = argcosh(/); argcsch() = argsenh(/); argcotgh() = argtgh(/). Alguns dos resultados importantes para as funções hiperbólicas inversas são os seguintes: -7/43-

18 Análise Matemática I - 03/4 34. Prove que: ( (a) argsenh() = ln + ) + ; ( (b) argcosh() = ln + ), ; (c) argtgh() = ( ) + ln, < < ; ( + ) (d) argsech() = ln, 0 < ; (e) senh(argtgh()) = (f) cosh(argsenh()) = + ; (g) cosh(argtgh()) = (h) tgh(argsenh()) =, < < ;, < < ; + ; ( ( )) (i) sech argcosh =. Definição 6. Seja um valor real qualquer. Define-se por valor absoluto ou módulo de a função, se > 0 = ma{,} = 0, se = 0., se < Resolva, em R, as seguintes inequações: (a) < ; (b) < ; (c) < 000 ; (d) > ; (e) 3 4 ; (f) ( 4 ) 0; (g) < + ; (h) + < ; (i) + < ; (j) + + < + ; (k) +4 ; (l) /43-

19 Análise Matemática I - 03/4 Definição 7. Uma função real de variável real, f : D f R R, diz-se limitada se eiste um valor real L > 0 tal que f() L, para todo o ponto D f. 36. Averigúe quais das funções que se seguem são limitadas: (a) f() = +, [,]; (b) f() = 4, ],[; (c) f() = 4, ],[; (d) f() = sen(), ]0,/[; (e) f() = sen(3) cos(), [0,/4]; (f) f() = sen(4) cos(), [/4,/[. Definição 8. Seja X R e a R, diz-se que a é um ponto de acumulação de X quandotodo ointervalo centradoem a, ouseja, todo ointervalo daforma ]a ǫ,a+ǫ[, com ǫ > 0, contém um número infinito de pontos de X. Definição 9 (Cauchy). Seja f : D f R R uma função real de variável real, a um ponto de acumulação de D f e α R. Diz-se que f tende para α, quando tende para a, se, para todo o número real ε > 0, eiste δ > 0, tal que, para todo o que verifique as condições D f \ {a} a < δ, se garante que f() α < ε. Matematicamente escreve-se lim f() = α ε > 0, δ > 0 : ( D f \{a} a < δ) f() α < ε. a Definição 0. Seja f : D f R R uma função real de variável real, admitindo que D f não é limitado superiormente. Diz-se que o limite de f quando + é α se ε > 0, δ > 0 : ( D f > ) f() α < ε. δ e escreve-se lim f() = α. + Definição. Seja f : D f R R uma função real de variável real, admitindo que D f não é limitado inferiormente. Diz-se que o limite de f quando é α se ε > 0, δ > 0 : ( D f < ) f() α < ε. δ e escreve-se lim f() = α. -9/43-

20 Análise Matemática I - 03/4 Definição. Seja f : D f R R uma função real de variável real e a um ponto de acumulação de D f. Diz-se que o limite de f quando tenda para a é + se ε > 0, δ > 0 : ( D f a < δ) f() > ε. e escreve-se lim a f() = +. Definição 3. Seja f : D f R R uma função real de variável real e a um ponto de acumulação de D f. Diz-se que o limite de f quando tenda para a é se ε > 0, δ > 0 : ( D f a < δ) f() < ε. e escreve-se lim a f() =. 37. Prove, por definição, os seguintes limites: (a) lim 3+ = 7; (b) lim 4 = Determine cada um dos limites que se seguem: 3+ (a) lim ; + (b) lim + ; (a+)+a (c) lim a 3 a 3 ; (t+h) t (d) lim ; h 0 h (e) lim ; 3 (f) lim 4 ; (g) lim 0 ; ( (h) lim ( )tg (i) lim + ) ; + + ; sen() (j) lim ; 0 [ ( )] (k) lim sen ; + (l) lim + ; 3 (m) lim 4 ; + (n) lim ; 0 ( (+a) ) (o) lim,a R; + (p) lim + (+ 3 3 ) ; cos() cos(a) (q) lim,a R a a ( ( (r) lim ln + ) ) ; + (s) lim 0 cos(). -0/43-

21 Análise Matemática I - 03/4 39. Estude os limites que se seguem em função do parâmetro a: (a) lim, para a =, a = 0, a =, a = + ; a 4 (b) lim a 3, para a R. Devem ainda ser do conhecimento geral os resultados que se seguem: sen(f()) f() f() 0 ; cos(f()) f() f() 0 0; ef() f() f() 0 ; ( + k ) f() f() f() ± ek. 40. Calcule cada um dos limites que se seguem: (a) lim 0 (+sin) ; sen()[cos()+sec()] (b) lim. 0 tg() ( ) sen(4) + (c) lim ; 0 ( ) sen() + (d) lim ; 0 ( ) + (e) lim ; + 3 ( ) + (f) lim ; + + ( (g) lim + 4 ; + ) ( ) + (h) lim ; + +3 (i) lim + (j) lim ( ) ; + ( ) + ; ( ) + (k) lim ; + (l) lim 0 (+sen()) ; (m) lim + (+ ) ; ( ) +3 sen() (n) lim 0 ; 3+ ( ) + (o) lim + ; + (p) lim 0 (cos()) ; (q) lim 0 + (sen()) ; (r) lim (sen()) ; 0 + (s) lim (cos()) ; 0 ln(+) (t) lim ; 0 (u) lim 0 + ( ln() (v) lim 0 +ln(). ) ; -/43-

22 Análise Matemática I - 03/4 Teorema (Teorema do limite das funções enquadradas). Suponha-se que h() f() g(), para todo o valor de pertencente a um intervalo aberto I D f, que c I, e que limh() = L = lim g(), c c então o limite lim c f() eiste e é igual a L. 4. Prove que: (a) lim 0 sen() = 0; sen() (b) lim = ; 0 (c) lim 0 cos() = ; cos() (d) lim = Determine o valor dos seguintes limites: (a) lim 0 tg() ; sen(4) (b) lim ; 0 tg () (c) lim ; 0 cos() cos() (d) lim ; 0 cos() cos() (e) lim 0 ; (f) lim sec(); (g) lim sen() ; (h) lim 4 (i) lim 4 sen() cos() ; tg() sen() cos(). 4 Definição 4. Seja f : D f R Rumafunçãorealde variável realeaumpontode acumulação de D f, com a D f. Diz-se que f é contínua no ponto = a, se eistem os limites laterais lim e lim e se a f() a +f(), lim a A função dir-se-á descontínua se: = lim = f(a). f() +f() a os limites laterais, lim e lim eistem, mas são diferentes (descontinuidade de primeira a f() a +f(), espécie); pelo menos um dos limites laterais, lim ou lim não eiste ou é infinito (descontinuidade de segunda a f() a +f(), espécie). -/43-

23 Análise Matemática I - 03/4 43. Considere-se a função sgn : R {,0,} definida da seguinte forma +, se > 0 y = sgn() = 0, se = 0,, se < 0 e a função y : R Z, definida por y() = = ma{p Z : p }, normalmente designada por chão de. Atendendo às definições de sgn() e de calcule, para as funções que se seguem, os valores de f(a+ε) e f(a ε), com 0 < ε : (a) f() = sgn( +), a = ; ( ) +3+ (b) f() = sgn, a = ; (c) f() =, a = ; (d) f() = sgn( +), a =. 44. Estude, quanto à continuidade, cada uma das funções que se seguem: (a) f() = ; (b) g() = + ; (c) h() = ; (d) t() =. 45. Determine o domínio de continuidade de cada uma das funções que se seguem, em função do parâmetro a, 3+ (a) f() =, se 0 ; a +, se > 0 sen(a), se 0 (b) g() =., se = 0 4 (c) h() =, se ; a, se = ( ) sen, se 0 (d) t() =. a, se = 0-3/43-

24 Análise Matemática I - 03/4 46. Considere a função f : R R definida por ln(+), > 0 f() = k+cos(), 0 Indique o valor de k para o qual a função é contínua no ponto = Considere a função f : R R definida por f() = e + e, 0 a, = 0 Indique o valor de a para o qual a função é contínua no ponto = 0. Definição 5. Admita-se que f é uma função real de variável real com domínio D f, f : D f R R, e que a é um ponto pertencente ao domínio de f, a D f. As derivadas laterais da função f no ponto = a definem-se por f (a f(a+h) f(a) ) = lim, () h 0 h e f (a + f(a+h) f(a) ) = lim. () h 0 + h Asepressões ()e ()definemasderivadasde f àesquerdaedireitadoponto = a, respetivamente. Se f (a ) e f (a + ) eistem e possuem o mesmo valor finito, então diz-se que a função f é diferenciável no ponto = a, verificando-se f (a) = f (a ) = f (a + ). Atendendo à definição de limite é possível eprimir f (a) da seguinte forma f f(a+h) f(a) f() f(a) (a) = lim = lim. h 0 h a a 48. Utilizando a definição, prove que, para a R, (a) se f() = a, então f () = 0; (b) se f() = a, então f () = a; -4/43-

25 Análise Matemática I - 03/4 (c) se f() = a k, então f () = ak k ; (d) se f() = [u()] k, então f () = ku ()[u()] k ; (e) se f() = e a, então f () = ae a ; (f) se f() = ln(a), então f () = ; (g) se f() = sen(a), então f () = acos(a); (h) se f() = cos(a), então f () = asen(a). 49. Obtenha, por definição, as derivadas de cada uma das funções que se seguem: (a) f() = ; (b) g() = 3 ; (c) h() = ; (d) t() = cos(). 50. Paraasfunçõesqueseseguem,obtenha,pordefinição,asderivadaslateraisem = 0. Concluaacercadaeistênciadederivada,paracadaumadasfunções,noponto = 0. (a) λ() = ; (b) γ() = ; (c) ϕ() = ; (d) φ() =. Teorema (Derivada da função composta). Seja h = f g uma função composta, onde g é derivável em e f é derivável em g(), então a função h é derivável em, com h () = (f g) () = f (g())g (). 5. Sendo f() = 3 e g() = 3, obtenha: (a) (f g)(); (b) (f g)(). 5. Determine a epressão de cada uma das derivadas que se seguem: (a) [ ( ) ] ; (b) [ ( ) 5 ] /43-

26 Análise Matemática I - 03/4 53. Sejam f,g duas funções diferenciáveis, verificando-se g(0) = /4, g (0) = e Calcule o valor de f (0). f() = ln ( tg ( +g() )) +e sen(g()). 54. Seja f : R R uma função diferenciável, com f(0) = f (0) =, e Calcule o valor de g (0). g() = arctg(f())+f (arctg()). 55. Assuma-se que h() = f (g()), onde f() e g() são duas funções diferenciáveis. Sabendo que g( ) =, g ( ) = 3 e que f () = 4, determine o valor de h ( ). 56. Seja f uma função par e diferenciável, com f() =, f () = e Calcule o valor de g (). g() = e arctg((f( )+)(f( ) )). 57. Seja g() = f ( sen () ) +f ( cos () ). Calcule o valor da derivada de g no ponto = Sabendoquef éumafunçãodiferenciável equef (0) =,indiqueovalordaderivada da função g() = f (+ln(+)) f ( (+) ) no ponto = 0. Teorema 3 (Derivada da função inversa). Seja f uma função diferenciável num intervalo I. Se f possuir inversa, tal que g = f, então g é diferenciável em todo o ponto que verifique a condição f () 0, verificando-se para y = f(), g (y) = f (). -6/43-

27 Análise Matemática I - 03/4 59. Utilizando o teorema de derivada da função inversa, prove que: (a) d d (arcsin()) = ; (d) d d (arcsin(u())) = u () (u()) ; (b) d d (arccos()) = ; (e) d d (arccos(u())) = u () (u()) ; (c) d d (arctg()) = + ; (f) d d (arctg(u())) = u () +(u()). 60. Determine, para cada uma das funções que se seguem, a epressão que define a função derivada: (a) f() = + + ; (b) g() = n + (+) n; (c) h() = 5 ; (d) s() = 3 a b 3, para a,b R; (e) w() = ln()log (); (f) φ() = ; (g) µ() = (ln()) ; (h) θ() = 3 3; (i) σ() = log 0 ( ); (j) () = 3 ln( +); (k) β() = ; (l) ι() = ( ln( +)). (m) t() = e cos(); (n) u() = e arcsen(); (o) v() = arctg() ; (p) ϕ() = tg() ; (q) ξ() = +cos() sen() ; (r) λ() = sen() cos() tg(); (s) γ() = e arctg() ; (t) ρ() = cos ( sen ( ) ) ; (u) ν() = cos(arcsen()); (v) ψ() = arctg(3+); (w) τ() = arccotg(5 ); () α() = sen(ln()); (y) ε() = arcsen(cos()). 6. Calcule os valores de f(0),f (0),f (0) e f (0), quando (a) f() = e ; (b) f() = sen (); (c) f() = e sen(); (d) f() = +. -7/43-

28 Análise Matemática I - 03/4 6. Seja f() = +. Quanto vale f ()? 63. Mostre que a função y y() = e satisfaz a equação diferencial ordinária y y +y = e. 64. Para cadaumadas funçõesque se seguem, determine aepressão que corresponde à derivada de ordem n, ou seja, à n-ésima derivada, (a) f() = 0 ; (b) h() = sen(); (c) s() = cos(); (d) u() = ln(). Teorema 4 (Fórmula de Leibniz). Sejam u, v duas funções contínuas com derivadas contínuas, pelo menos até à ordem n. Nestas condições, o produto uv será também umafunçãocontínuacomderivadascontínuas,pelomenosatéàordemn,eaderivada de ordem n da função produto pode ser obtida com d n n d n (u()v()) = r=0 ( ) n d r r d r [u()] d n r [v()] dn r = u()v (n) ()+nu ()v (n ) ()+ n(n ) u ()v (n ) nu (n ) ()v ()+u (n) ()v(). 65. Utilizando a fórmula de Leibniz, obtenha a epressão que define a derivada de ordem n de cada uma das seguintes funções: (a) f() = e ; (b) g() = ln(). 66. Seja (t) = t y(t) = e t. Determine d y d. -8/43-

29 Análise Matemática I - 03/4 67. Calcule as derivadas dy d e d y d, quando (t) = cos3 t e y(t) = sen 3 t. 68. Determine d dy, quando (t) = t y(t) = e t. 69. Para cadaumadas funçõesque se seguem, determine aepressão que corresponde a dy d e a d y d : (a) = ln(t) y = t 3 ; (b) = a(sen(t) tcos(t)) y = a(cos(t)+tsen(t)). Propriedades de funções contínuas num intervalo fechado Teorema 5(Bolzano). Seja f umafunçãocontínuanointervalo [a,b]eα Rumvalor ] que pertence ao intervalo min{f(a),f(b)},ma{f(a),f(b)} [. Então, eiste um valor c ]a,b[, tal que f(c) = α. Coralário 5.. Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] com f(a) f(b) < 0, então eiste um valor c ]a,b[, tal que f(c) = 0. Teorema 6 (Weierstraß). Toda a função contínua num intervalo fechado e não vazio possui nesse intervalo um máimo e um mínimo. 70. Seja dada a função real de variável real, se > f() =. +, se (a) Calcule f(0) e f(3). (b) Qual o valor lógico da proposição: c ]0,3[: f(c) = 3? (c) O resultado obtido na alínea anterior contraria o teorema do valor intermédio? Justifique a resposta dada. -9/43-

30 Análise Matemática I - 03/4 7. Considere a seguinte função real de variável real p() = (a) Prove que p possui pelo menos um zero no intervalo [0,[. (b) Localize, em intervalos de amplitude igual à unidade com limites inteiros, os restantes zeros do polinómio. Justifique os resultados obtidos. 7. Para cada um dos casos que de seguida se apresentam, identifique aqueles em que é (a) f() =, com ],3]; (b) f() =, com [0,3]; (c) f() =, com [,]; 4 (d) f() =, com [0,[. Teorema 7 (Rolle). Seja f umafunçãocontínuanointervalo [a,b]ederivável em]a,b[. Se f(a) = f(b), então eiste um ponto c ]a,b[, tal que f (c) = 0. Coralário 7.. Se a e b são zeros de uma função f, contínua num intervalo [a,b] e derivável em ]a,b[, então a derivada de f possui, pelo menos, um zero em ]a,b[. Coralário 7.. Se f é uma função derivável num intervalo ]a,b[, de tal forma que a e b são zeros consecutivos para a derivada, ou seja, f () 0, ]a,b[ e f (a) = 0 = f (b), então f não possui mais do que um zero em ]a,b[. 73. Seja dada a função real de variável real 3, se 3 h() =., se = 3 (a) Verifique que h() = h(3). (b) Mostre que, para todos os pontos onde está definida a derivada, se verifica h () > 0. (c) Os resultados anteriores contradizem o teorema de Rolle? Justifique. possível aplicar o teorema de Weierstrass, e, para esses, calcule os máimos e mínimos: -30/43-

31 Análise Matemática I - 03/4 74. Considere a função real de variável real ( f() = sen + ). 4 (a) Mostre que estão reunidas as condições para se aplicar o teorema de Rolle no [ intervalo 0, ]. [ (b) Determine o valor de c 0, ], para o qual se verifica f (c) = Considere a seguinte função real de variável real 3, se < g() =. 6, se (a) Represente graficamente a restrição de g ao intervalo [, 3]. (b) Verifique que g() = g(3). (c) Justifiquearazãopelaqualnãoeiste nenhumzero daderivada de g nointervalo ],3[. 76. Dada a função real de variável real f() =, diga por que razão não se pode aplicar o teorema de Rolle no intervalo [,3]. 77. Repita o eercício anterior com a função f() = 3, no intervalo [,]. 78. Prove que afunção real de variável real p() = possui um únicozero no intervalo ], 3[. 79. Prove que a equação = 0 possui três soluções reais distintas. Situe-as em intervalos cujos etremos sejam números inteiros consecutivos. 80. Prove que = 0 é a única solução para a equação arctg()+( +3) = Prove que = é a única solução para a equação e = 3. -3/43-

32 Análise Matemática I - 03/4 Teorema8(Lagrangeoudovalormédioparaaderivada). Sef éumafunçãocontínua no intervalo [a,b] e derivável em ]a,b[, então eiste um ponto c ]a,b[, tal que f (c) = f(b) f(a). b a Coralário 8.. Se f éumafunçãocomderivada nulaemtodosospontosdointervalo ]a, b[, então f é constante nesse intervalo. Coralário 8.. Duas funções com igual derivada são iguais a menos de uma constante. Coralário 8.3. Se f éumafunçãocomderivada positivaemtodosospontosdointervalo ]a, b[, então f é crescente nesse intervalo. Coralário 8.4. Se f é uma função com derivada negativa em todos os pontos do intervalo ]a, b[, então f é decrescente nesse intervalo. 8. Considere a seguinte função 3, se = 0 f() = +3+a, se 0 < < m+b, se Quais os valores de a,m e b que garantem que f satisfaz as hipóteses do teorema de Lagrange no intervalo [0, ]? 83. Mostre que a função f() = 3 verifica as condições do teorema de Lagrange no intervalo [, ]. 84. Mostre que a função g() = 3 não verifica as condições do teorema de Lagrange no intervalo [, ]. 85. Prove que: (a) arcsen() >, para > 0; (b) e +; ( ) + (c) + < ln <, para > 0; (d) ln(+) < ln()+, para > 0. -3/43-

33 Regra de L Hôpital a - Caso Parte-CálculoDiferencialem R Análise Matemática I - 03/4 Sejam f() e g() duas funções diferenciáveis nos conjuntos onde estão definidas. Suponha-se ainda que lim f() = lim g() = 0, a a com g () 0, para todo o numavizinhança do ponto a. Então: f () f() Se o limite lim a g eiste, o limite lim também eiste, verificando-se () a g() f() lim a g() = lim f () a g (). Seasfunções f e g satisfazemasmesmascondiçõesque asfunções f e g, pode f () inferir-se que, a eistência do limite lim a g, implica a eistência do limite () f() f() lim, com lim a g() a g() = lim f () a g () = lim f () a g. Este resultado é válido para () ordens de derivadas superiores. Os dois resultados anteriores continuam válidos quando se considera a = + ou a =. a Aregra de L Hôpital,também conhecidaporregra de Bernoulli, foi apresentada no primeirolivrode teto sobre cálculo diferencial, "Analyse des Infiniment Petits pour l Intelligence des Lignes Courbes", publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l Hôpital, em 696, com o objetivo de calcular o limitede frações nos casos em que há indeterminações do tipo 0 0 ou. 86. Com base nos resultados enunciados, calcule os seguintes limites: 3+ (a) lim ; + (b) lim + ; cos() sen() (c) lim 0 3 ; (d) lim /3 sen(3) cos() ; e sen() e cos() (e) lim /4 sen() cos() ; (f) lim 4 3 ; + 3 sen() (g) lim ; 0 (h) lim 0 (i) lim 0 + ; + / ; sen() (j) lim ; 0 cos() (k) lim ; 0 cos() (l) lim 0 ; e (m) lim ; 0 e (n) lim /43-

34 Regra de L Hôpital - Caso Parte-CálculoDiferencialem R Análise Matemática I - 03/4 Sejam f() e g() duas funções deriváveis nos conjuntos onde estão definidas. Suponha-se ainda que com g () 0, para todo o. Então: lim f() = lim g() =, a a f () f() A eistência do limite lim a g, implica a eistência do limite lim () a g(), verificando-se f() lim a g() = lim f () a g (). Seasfunções f e g satisfazemasmesmascondiçõesque asfunções f e g, pode f () concluir-se que, se o limite lim a g eiste, ficagarantidaaeistênciadolimite () f() f() lim, com lim a g() a g() = lim f () a g () = lim f () a g. Este resultado é válido para () ordens de derivadas superiores. Os dois resultados anteriores continuam válidos quando se considera a = + ou a =. 87. Calcule os seguintes limites: tg() (a) lim / tg(5) ; ln(sen(5)) (b) lim 0 + ln(sen()) ; n (c) lim + e,n N; ln(senh()) (d) lim 0 + ln(sen()) ; ln (e) lim 0 + ln() (f) lim + 4 ; sec() (g) lim / +tg() ; e (h) lim ; ( e a e b),a,b R; ln() ln() (i) lim + ; ln(+) (j) lim + log () ; (k) lim + ln (l) lim 0 + log () log 3 (+3) ; ( + ) ln() ln(e ) (m) lim ; 0 + ln() ln(sec()) (n) lim / +tg() ; (o) lim / ln(tg()) sec() ; e +t (p) lim + e t. ; -34/43-

35 Análise Matemática I - 03/4 Para os casos em que no cálculo do limite aparece uma indeterminação do tipo: 0,,,0 0 ou 0, deveiniciar-seocálculopelareduçãoaumaindeterminaçãodotipo 0 0 ou,podendo, posteriormente, aplicar-se a regra de l Hôpital descrita anteriormente. 0 Admita-se, sem perda de generalidade, que lim a f() = 0 e que lim a g() =, então: f() lim f()g() = lim a a /g() g() lim f()g() = lim a a /f() ( ) 0 0 ( ) f() Se lim f() =, lim g() = e lim =, então: a a a g() [ ] f() lim f() g() = lim a a g() g() (0 ) Se lim a f() =, lim a g() = e y() = (f()) g(), então: lim y() = lim a a eln(y()) = e lim g()ln(f()) a (0 ) 0 0 Se lim a f() = 0, lim a g() = 0 e y() = (f()) g(), então: lim y() = lim a a eln(y()) = e lim g()ln(f()) a (0 ) 0 Se lim a f() =, lim a g() = 0 e y() = (f()) g(), então: lim y() = lim a a eln(y()) = e lim g()ln(f()) a (0 ) -35/43-

36 Análise Matemática I - 03/4 88. Calcule os limites que se seguem: ( ) (a) lim / tg(); cos() (b) lim / ln ( + ); [ (c) lim 0 ln(+) + ] ; ( ) (d) lim sen ; + (e) lim e 3 ; [ 3 (f) lim ] ; 4 [ ] (g) lim ln() ; arctg( ) (h) lim + [ ln(3e )]; ( ) (i) lim sen ; (j) lim 0 + ; ( ) (k) lim ; 0 + (l) lim + / ; (m) lim 0 + (cotg())tg() ; (n) lim 0 + (tg())sen() ; (o) lim + (+)/ ; ( ) (p) lim cos + ; (q) lim / (sen() cos())tg() ; (r) lim / (+cos())sec() ; (s) lim /4 (sen() cos())sen( 4) ; + (t) lim [ln(3+)]+ ; ( (u) lim + ) / ; + (v) lim 0 + ( ) tg() ; (w) lim (e +3) ; 0 () lim 0 + (cotg())sen(). 89. Calcule os limites que se seguem: (a) lim 0 (cos()) 3/ ; cos() sen() (b) lim 0 3 ; cosh() (c) lim 0 cos() ; (d) lim /4 sec () tg() ; +cos(4) e (e) lim + 5; / (f) lim 0 cotg(/) ; (g) lim 0 ( cos())cotg(); (h) lim arcsen()cotg(); 0 (i) lim ln() ; (j) lim ln()ln( ); (k) lim 0 + ; (l) lim 0 +sen() ; (m) lim + / ; (n) lim 0 +(cotg())sen() ; (o) lim 0 +(cotg())/ln(). -36/43-

37 Análise Matemática I - 03/4 Monotonia Definição 6. Seja f : D f R R uma função real de variável real e, I D f, com <. Se f é uma função crescente no intervalo I, então f( ) < f( ). Se f é uma função decrescente no intervalo I, então f( ) > f( ). Teorema 9. Seja f : D f R R uma função real de variável real, eistindo f (a), a D f. Se f (a) > 0, então a função f é crescente em = a; Se f (a) < 0, então a função f é decrescente em = a; Se f (a) = 0, então a função f não é crescente nem decrescente em = a. 90. Determine os intervalos de crescimento para cada uma das funções que se seguem: (a) f() = cos(); (b) f() = arctg(); (c) f() = ; (d) f() = ; (e) f() = (+) ; (f) f() = Para cada uma das funções que se seguem, determine os intervalos de decrescimento: (a) f() = e ; (b) f() = 5 5 ln() 5 5 ; (c) f() = + ; (d) f() = arccotg ( ) Identifique os intervalos de monotonia das funções que se seguem: (a) f() = ; (b) h() = 3 3 ; (c) f() = + ; (d) f() = arctg(); (e) f() = ; (f) s() = e 4 ; (g) t() = ln(); (h) u() = e. -37/43-

38 Análise Matemática I - 03/4 Máimos e Mínimos Locais e Globais Definição 7. Seja f : D f R R uma função real de variável real. Se f(a) f(), D f, então o ponto = a diz-se é um ponto de mínimo global para a função f, sendo f(a) o mínimo global da função. Se f(b) f(), D f, então o ponto = b diz-se um ponto de máimo global para a função f, sendo f(b) o máimo global da função. Definição 8. Seja f : D f R R uma função real de variável real. Se f(a) f(), ]a δ,a+δ[, para algum δ > 0, então o ponto = a diz-se é um ponto de mínimo local ou relativo para a função f. Se f(b) f(), ]b ε,b +ε[, para algum ε > 0, então o ponto = b diz-se é um ponto de máimo local ou relativo para a função f. Teorema 0 (Valor Etremo). Se f é uma função contínua num intervalo fechado I = [a,b], então f atinge em I um máimo e um mínimo. Teorema (Fermat). Se f é uma função que possui um máimo e um mínimo local num ponto c e se f (c) eiste, então f (c) = 0. Definição 9. Seja f : D f R R uma função real de variável real. Diz-se que = c é um ponto crítico para f, se f (c) = 0 ou se não eiste f (c). No caso em que f (c) = 0, o ponto = c designa-se por ponto estacionário. Teorema. Seja f : D f R R uma função real de variável real que admite um ponto estacionário em = a. Admita-se ainda a eistência de f (a). Se f (a) > 0, então o ponto = a é umponto de mínimo localpara a função f; Se f (a) < 0, entãooponto = a éumponto de máimo localparaafunção f; Sef (a) = 0,entãodeverecorrer-seáepansãoemsériedeTaylorparaafunção f em torno do ponto = a para se poder inferir quantoàclassificaçãodo ponto. -38/43-

39 Análise Matemática I - 03/4 93. Averigúe a eistência de etremos para as funções que se seguem: (a) f() = + ; (b) g() = 3 3 ; (c) h() = ( ) (+) ; (d) s() = + ; (e) t() = 4 ; (f) u() = ln() ; (g) v() = e ; (h) w() = Dada a função real de variável real f() = 4 +, determine etremos relativos de f. 95. Considerando a função real de variável real determine etremos relativos de g. g() = 9, 96. Seja f() = e Determine os máimos e mínimos locais de f. 97. Uma empresa que se dedica à produção de embalagens pretende produzir uma embalagemcomumabasequadradaeumaáreadesuperfície iguala08cm. Quaisdevem ser as dimensões a utilizar na construção da embalagem, por forma a que se garanta o volume máimo? 98. Determine as dimensões do maior retângulo que se pode inscrever totalmente num semi-círculo de raio Num dia escolhido ao arbítrio, a taa do fluo de tráfego (em carros por hora) numa auto-estrada é dado por F = 00v 00+v, onde v representa a velocidade do tráfego em quilómetros por hora. Qual a velocidade que maimiza a taa do fluo nesta auto-estrada? -39/43-

40 Análise Matemática I - 03/4 Pontos de infleão e concavidades Com base na análise ao sinal da segunda derivada da função é possível estabelecer o sentido da concavidade para o gráfico da mesma. Teorema 3. Seja f : D f R R uma função derivável em I D f. Pode concluirse que: se f é estritamente crescente em I, então f será côncava em I; se f é estritamente decrescente em I, então f será convea em I. Coralário 3.. Seja f : D f R R uma função para a qual eiste derivada até, pelo menos, à ordem em I D f. Conclui-se que: se f () > 0, I, então f é côncava em I, ou seja, o gráfico de f possui concavidade voltada para cima em I; se f () < 0, I, então f é convea em I, ou seja, o gráfico de f possui concavidade voltada para baio em I. Definição 0. Seja f : D f R R uma função que admite derivada até, pelo menos, à terceira ordem. Um ponto = a, a D f, diz-se um ponto de infleão para o gráfico de f, se f (a) = 0, f (a) 0 e os sinais de f à esquerda e à direita do ponto = a são diferentes. Teorema 4. Se = c é um ponto de infleão para o gráfico de uma função f, então f (c) = 0 ou não eiste f em = c. 00. Determine os pontos de infleão para os gráficos de cada uma das funções que se seguem: (a) f() = ln(); (b) g() = + ; (c) h() = + 4 ; (d) t() = 3 + ; (e) s() = e ; (f) u() = ; (g) v() = e ; (h) ϕ() = /43-

41 Análise Matemática I - 03/4 0. Indique os intervalos onde o gráfico de cada uma das funções que se seguem possui concavidade voltada para cima: (a) f() = ln(); (b) g() = + ; (c) h() = + 4 ; (d) s() = e. 0. Indique os intervalos onde o gráfico de cada uma das funções que se seguem possui concavidade voltada para baio: (a) t() = 3 + ; (b) u() = ; (c) v() = e ; (d) ϕ() = Seja f() = +. Determine os pontos de infleão do gráfico da função f. 04. Considerando f() = +, determine os pontos de infleão do gráfico da função f. 05. Seja f() =. Estude o sinal da derivada de segunda ordem e apresente as respetivas conclusões acerca das concavidades do gráfico da função. 06. Considerando f() = 6+3 ( ). Estude o sinal da derivada de segunda ordem e apresente as respetivas conclusões acerca das concavidades do gráfico da função. -4/43-

42 Análise Matemática I - 03/4 Assíntotas O gráfico de uma função pode ter assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas. Definição. Uma reta de equação y = b diz-se uma assíntota horizontal para o gráfico da função f, se lim f() = b ou lim f() = b. + Definição. Uma reta de equação = a diz-se uma assíntota vertical para o gráfico da função f, se lim = ± ou lim = ±. a f() a +f() Definição 3. Uma reta de equação y = m + b, com m 0, diz-se uma assíntota oblíqua para o gráfico da função f, se lim (f() (m+b)) = 0 ou lim (f() (m+b)) = 0. + O declive da assíntota oblíqua, m, m 0, obtém-se calculando os limites f() lim e/ou f() lim +. O valor de b é dado pelo valor dos limites lim [f() m] e/ou lim [f() m]. + Se m = 0 e se eiste, pelo menos, um dos limites b = lim [f() m] ou b = lim [f() m], + então o gráfico de f possui uma assíntota horizontal. 07. Identifique, para cada uma das funções que se seguem, as assíntotas: (a) f() = ( ) ; (b) g() = + ; (c) h() = 3+ ; (d) s() = ; e ( ) (e) t() = ln() ; ( (f) u() = ln e+ ) ; (g) γ() = 8 4 ; (h) φ() =. 08. Seja f a função definida por f() = ( ). Determine as assíntotas de f, caso eistam. -4/43-

43 Análise Matemática I - 03/4 09. Faça o estudo completo de cada uma das funções que se seguem, indicando: Domínio; Domínio de continuidade; Pontos de intersecção com os eios; Paridade; Derivada; Domínio da derivada; Pontos estacionários; Intervalos de monotonia; Máimos e mínimos locais/globais; Pontos de infleão; Sentidos de concavidade; Assíntotas; Esboço gráfico; Contradomínio. (a) f() = ln(); (b) g() = + ; (c) h() = + 4 ; (d) t() = 3 + ; (e) s() = e ; (f) u() = ; (g) v() = e ; (h) ϕ() = 3 + ; (i) γ() = ln ( 4 ) ; (j) µ() = cos() +sen() ; (k) φ() = ln ( + ) ; (l) η() = (+) + ; (m) ζ() = +4 ; (n) ι() = 8 +4 ; (o) β() = 4 +4 ; (p) ν() = 4 + ; (q) δ() = ( ) ; (r) θ() = ; (s) ω() = /3 ( 4). -43/43-