Aula 15. Integrais inde nidas Antiderivadas. Sendo f(x) e F (x) de nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que

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1 Aula 5 Integrais inde nidas 5. Antiderivadas Sendo f() e F () de nidas em um intervalo I ½, dizemos que F e umaantiderivada ou uma rimitiva de f, emi, sef 0 () =f() ara todo I. Ou seja, F e antiderivada ou rimitiva de f se F e uma fun»c~ao cuja derivada e f. Como rimeiros eemlos, temos f() rimitiva de f() 3 3 e e sen cos Observa»c~ao 5. Se F e antiderivada de f em I, ec e uma constante, ent~ao F + c tamb em e uma antiderivada de f em I. De fato, se F 0 () =f(), aratodo I, ent~ao [F ()+c] 0 = F 0 () =f(), eortantof ()+c tamb em e uma antiderivada de f() em I. Assim, or eemlo 3, 3 +5e 3 s~ao rimitivas de 3. Veremos agora que, em um intervalo I, duas rimitivas de uma mesma fun»c~ao diferem entre si or uma constante. Proosi»c~ao 5. Se F e F s~ao antiderivadas de f, emi ½, ent~ao eiste c tal que F () =F ()+c, aratodo I. 5

2 Integrais indefinidas 6 Para demonstrar a roosi»c~ao 5., faremos uso do seguinte resultado. Lema 5. Se f e cont ³nua no intervalo [a; b] e f 0 () =0ara todo ]a; b[, ent~ao f e constante em [a; b], ou seja, eiste c tal que f() =c ara todo [a; b]. Poder ³amos aceitar o lema 5. como evidente e seguir adiante. No entanto, este lema e conseqäuência de um teorema imortante sobre fun»c~oes deriv aveis, conhecido como teorema do valor m edio. Como tornaremos a fazer uso do teorema do valor m edio mais adiante, julgamos oortuno cit a-lo agora. Teorema 5. (Teorema do valor m edio) Suonhamos que f e uma fun»c~ao cont ³nua no intervalo [a; b] e deriv avel no intervalo ]a; b[. Ent~ao eiste w ]a; b[ tal que f(b) f(a) b a = f 0 (w) Aceitaremos este teorema sem demonstra»c~ao, e faremos uma interreta»c~ao geom etrica de seu resultado. f(b) f(a) O quociente e a taa de varia»c~ao m edia, f, da fun»c~ao f, nointervalo [a; b], sendo = b a e f = f(b) b a f(a). Ele e o coe ciente angular da reta assando or A =(a; f(a)) e B =(b; f(b)). O teorema do valor m edio diz que essa taa de varia»c~ao m edia e tamb emataade varia»c~ao instantânea de f, emrela»c~ao a, df=, em algum onto w no interior do intervalo. Em termos geom etricos, a inclina»c~ao da reta AB coincide com a inclina»c~ao de uma reta tangente ao gr a co de f em um onto (w; f(w)), ara algum w ]a; b[. A gura 5. ilustra o teorema do valor m edio. f(b) y B f(a) A 0 a w b Figura 5.. f(b) (f(a) b a = f 0 (w). Uma interreta»c~ao cinem atica do teorema do valor m edio e a seguinte: a velocidade m edia de um onto m ovel, em movimento retil ³neo, no intervalo de temo [t ;t ], coincide com sua velocidade instantânea em algum instante t 0 ]t ;t [,isto e, s t = s(t ) s(t ) t t = s 0 (t 0 ) em um instante t 0,com t <t 0 <t

3 Integrais indefinidas 7 Por eemlo, se um carro, com velocidade vari avel, faz um ercurso de 80 km em duas horas, sua velocidade m edia e 80km =90km/h. Intuitivamente, sabemos que h em algum instante do ercurso, seu veloc ³metro acusar a a velocidade instant^anea de 90 km/h. Demonstra»c~ao do lema 5.. Suonhamos f 0 () =0ara todo I, sendo I ½ um intervalo. Mostraremos que, quaisquer que sejam e em I, <,tem-sef( )= f( ),eortantof e constanteemi. Temos f cont ³nua em [ ; ] e deriv avel em ] ; [. Pelo teorema do valor m edio, f( ) f( ) = f 0 (w) ara algum w ] ; [. Como f 0 (w) =0,temosf( )=f( ), e nossa demonstra»c~ao termina aqui. Demonstra»c~ao da roosi»c~ao 5.. Suonhamos que, F 0 () =F 0 () =f() ara todo I, I um intervalo de. Consideremos a fun»c~ao ' = F F. Ent~ao, ' 0 () =F 0 () F 0 () =f() f() =0,aratodo I. Pelo lema 5., ' e constante no intervalo I. Assim, eiste c tal que F () F () =c ara todo I. Portanto F () =F ()+c, aratodo I. De ni»c~ao 5. (Integral inde nida) Sendo F uma rimitiva de f no intervalo I, chama-se integral inde nida de f, no intervalo I, µa rimitiva gen erica de f em I, F ()+C, sendo C uma constante real gen erica. Denotamos tal fato or f() = F ()+C Nesta nota»c~ao, omite-se o intervalo I. 5. Integrais imediatas Coletaremos agora algumas integrais inde nidas cujo c alculo e imediato. Proosi»c~ao 5.. = + + C, se 6=. +. =lnjj

4 Integrais indefinidas 8 3. sen = cos 4. cos = sen 5. e = e 6. a = a (a>0;a6= ). ln a 7. sec =tg 8. cosec = cotg 9. sec tg =sec 0. cosec cotg = cosec. = arc tg +. =arcsen Para a dedu»c~ao das integrais acima, basta veri car que a derivada do segundo membro, em cada igualdade, e a fun»c~ao que se encontra sob o sinal de integra»c~ao. Como eemlos, µ + 0 se 6=, =( +) =. (ln jj) 0 ==: se >0, (ln jj) 0 =(ln) 0 ==; se <0, (ln jj) 0 =(ln( )) 0 = ( )0 ==. µ a (a ) 0 = a 0 ln a, logo = a ln a ln a ln a = a. 5.3 Maniula»c~oes elementares de integrais Suonhamos f() = F ()+C,e g() = G()+C.Ent~ao. [F ()+G()] 0 = F 0 ()+G 0 () =f()+g(), logo (f()+g()) = F ()+G()+C = f() + g() (C = C +C ).. Sendo k uma constante real, [k F ()] 0 = k F 0 () =k f(), logo kf() = kf()+c = k f() (kc = C)

5 Integrais indefinidas 9 eunimos os fatos acima, com outros tamb em uteis, na seguinte roosi»c~ao. Proosi»c~ao 5.3 Se f() = F ()+C e g() = G()+C, ent~ao, sendo a; b, a 6= 0,. [f()+g()] = F ()+G()+C. k f() = k F ()+C 3. f( + b) = F ( + b)+c 4. f( b) = F ( b)+c 5. f(b ) = F (b )+C 6. f(a) = a F (a)+c 7. f(a + b) = F (a + b)+c a Demonstra»c~ao. As duas rimeiras roriedades j a foram deduzidas acima. Das cinco roriedades restantes, as quatro rimeiras s~ao conseqäu^encias imediatas da ultima, a unica que deduziremos. Por hi otese, F 0 () =f(). Logo [F (a + b)] 0 = F 0 (a + b) (a + b) 0 = af(a + b), de onde µ 0 F (a + b) = af(a + b) =f(a + b). a a Portanto f(a + b) = F (a + b)+c. a 5.4 Eemlos elementares. cos = sen Logo, (a) cos 3= sen 3 + C 3 (b) cos 3¼ = sen 3¼ + C. e = e Logo, (a) e 5 = e 5 + C (b) e = e + C (c) e 5 = 5 e5 + C 3. Calcular tg.

6 Integrais indefinidas 30 sec =tg Temos cos +sen =, logo +tg =sec. Logo, tg = (sec ) = sec =tg + C 4. Calcular (5 cos + cos 5). (5 cos +cos5) =5 cos + cos 5 =5sen + sen 5 + C 5 5. Calcular sen cos. Temos sen =sen cos, logo sen cos = sen. Da ³ sen cos = sen = ( cos )+C = cos + C Calcular. µ + = + = + = = + = = = +lnjj + C = +lnjj + C 5.5 Integra»c~ao or mudan»ca de vari avel ou integra»c~ao or substitui»c~ao Suonhamos que f() = F ()+C (5.) Suonhamos que = '(t) e uma fun»c~ao deriv avel de t, arat em um intervalo I ½.

7 Integrais indefinidas 3 Na aula 4 de nimos a diferencial de, como sendo = dt dt = '0 (t) dt No conteto daquela aula, a diferencial foi de nida como uma boa aroima»c~ao de, quando dt = t e su cientemente equeno. Neste ca ³tulo, a diferencial ter a um sentido simb olico, sendo emregada quando realizamos troca de vari aveis no c alculo de integrais. Suonhamos de nida em I a fun»c~ao comosta f('(t)). Como veremos agora, odemos substituir = '(t) na eress~ao 5., fazendo = ' 0 (t) dt, ou seja, de 5. obtemos f('(t)) ' 0 (t) dt = F ('(t)) + C (5.) De fato, alicando deriva»c~ao em cadeia, d d [F ('(t))] = [F ()] dt dt = F 0 () ' 0 (t) = F 0 ('(t)) ' 0 (t) = f('(t)) ' 0 (t) logo, f('(t)) ' 0 (t) dt = F ('(t)) Portanto f() = F ()+C =) f('(t)) ' 0 (t) dt = F ('(t)) + C ela mudan»ca de vari avel = '(t), tomando-se = ' 0 (t) dt. Na r atica, quando calculamos f('(t))' 0 (t) dt, tendo-seasconsidera»c~oes acima, assamos ela seqäu^encia de igualdades: f('(t))' 0 (t) dt = f() = F ()+C = F ('(t)) + C Algumas vezes, no entanto, fazendo = '(t), assamosorumaseqäu^encia de igualdades f() = f('(t))' 0 (t) dt = F ('(t)) + C = F ()+C fazendo uso da integral \mais comlicada" f('(t)' 0 (t) dt ara nalmente calcular f(). Isto eoqueocorreemsubstitui»c~oes trigonom etricas, assunto que ser a estudado adiante.

8 Integrais indefinidas 3 Neste caso, estamos assumindo imlicitamente que f('(t)) ' 0 (t) dt = F ('(t)) + C =) f() = F ()+C o que e justi cado desde que ossamos tamb em eressar tamb em t = Ã(), como fun»c~ao inversa e deriv avel de = '(t), ara que ossamos, ao nal dos c alculos, obter a integral inde nida como fun»c~ao de, a artir de sua eress~ao em fun»c~ao de t. Eemlo 5. Calcular 3. Solu»c~ao. Come»camos fazendo a substitui»c~ao u =3. Ent~ao du = du =(3 )0 =. Portanto = du. Assim, temos = 3 Eemlo 5. Calcular tg. µ du = u = u = + C = u + C = 3 + C sen Solu»c~ao. tg = cos. Como (cos ) 0 = sen, tomamosu =cos, e teremos du =(cos) 0 = sen. Assim, sen tg = cos = Eemlo 5.3 Calcular sec. u = du = u =+ + + C du = ln juj + C = ln j cos j + C u Solu»c~ao. Calcularemos esta integral or uma substitui»c~ao que requer um truque eserto. sec (sec +tg) sec +sec tg sec = = sec +tg sec +tg Alicamos a mudan»ca de vari avel u =sec +tg eteremosdu =(sec +tg) 0 =(sec tg +sec ). Logo, sec = du =lnjuj + C =lnj sec +tgj u

9 Integrais indefinidas 33 Eemlo 5.4 Calcular cosec. Solu»c~ao. Imitando o truque usado no eemlo anterior, o leitor oder a mostrar que cosec = ln j cosec + cotg j Eemlo 5.5 Calcular +5. Solu»c~ao. Note que ( +5) 0 =. Isto sugere fazermos u = +5, de onde du =,ouseja,= du. Temos ent~ao +5 = u du = u = du = u = + C = +5+C 5.6 Amliando nossa tabela de integrais imediatas Com a nalidade de dinamizar o c alculo de integrais inde nidas, amliaremos a lista de integrais imediatas da se»c~ao 5., adotando como integrais \imediatas" as quatro seguintes, que deduziremos em seguida. Proosi»c~ao 5.4 Sendo a > 0, e 6= 0,. a + = a arc tg a. a = a ln a + a 3. a = arc sen a 4. Demonstra»c~ao. + =lnj + + j + C Fazendo a a + = a +( a = y, temos = ady,eent~ao a + = a ) a +y dy = a y + dy = a arc tg y + C = a arc tg a + C

10 Integrais indefinidas 34 Para deduzir a segunda integral, lan»camos m~ao da decomosi»c~ao Assim sendo, a = a a = a a + + a a a + + a = ln ja + j a a = ja + j ln a ja j + C = a ln ja j + C a ln a + a + C Para deduzir a terceira integral, fazemos uso da integral inde nida =arcsen + C e rocedemos a uma mudan»ca de vari avel, tal como no c alculo da rimeira integral acima. O leitor oder a comletar os detalhes. Para deduzir a quarta integral, aelaremos ara um recurso nada honroso. Mostraremos que (ln j + + j) 0 = + De fato, sendo u = + +, e sendo ( w) 0 = w w0,temos (ln j + + j) 0 =(lnjuj) 0 = u u0 = + + ( + + ) 0 = + + ( + = + =) = = Nossa tabela de integrais imediatas Adotaremos como integrais imediatas as integrais da tabela 5. dada a seguir. Esta tabela inclui as integrais imediatas da roosi»c~ao 5., as integrais calculadas nos eemlos 5.3 e 5.4, e as integrais da roosi»c~ao 5.4.

11 Integrais indefinidas 35 Tabela 5.. Tabela amliada de integrais imediatas (nas ultimas linhas, a>0 e 6= 0). = + + C, ( 6= ) + sen = cos + C =lnjj + C cos =sen + C e = e + C sec =tg + C a = a ln a (a>0;a6= ) cosec = cotg + C sec tg =sec + C cosec cotg = cosec + C sec =lnj sec +tgj + C cosec = ln j cosec + cotg j + C tg = ln j cos j + C cotg =lnj sen j + C = arc tg + C + a + = a arc tg a + C a =arcsen a + C =arcsen + C a = a ln a + a + =lnj + + j + C 5.7 Problemas Calcule as seguintes integrais inde nidas, utilizando, quando necess ario, mudan»ca de vari aveis. Semre que julgar conveniente, fa»ca uso da tabela de integrais inde nidas da tabela 5... ( + ). esosta ³ 3. esosta esosta. 5

12 Integrais indefinidas ³ + 3. esosta cos a sen a. esosta. a 6. ln. esosta. ln 7. cotg 3. esosta. sen esosta. ln j3 7j tg. esosta. ln j cos j 0. cotg(5 7). esosta. ln j sen(5 7)j 5. cotg 3. esosta. 3lnj sen 3 j. tg ' sec 'd'. esosta. tg ' Sugest~ao. Fa»ca u =tg'. 3. e cotg e. esosta. ln j sen e j Sugest~ao. Fa»ca u = e. 4. sen cos. esosta. sen3 3 Sugest~ao. Fa»ca u = sen. 5. cos 3 sen. esosta. cos esosta. +3+C. Sugest~ao. Fa»ca u = esosta C. 8. sen cos 3. esosta. cos 9. cotg sen. esosta. cotg 0. cos. esosta. tg +C. tg. sen +sen. esosta. + sen Sugest~ao. Fa»ca u =+sen.. arc sen. esosta. arc sen 3. arccos. esosta. arccos esosta. ln( + )+C esosta. ln( + +3)+C. 6. cos. esosta. ln( sen +3)+C. sen esosta. ln j ln j Sugest~ao. Fa»ca u =ln. ln 8. ( +) 4. esosta. ( +) 5 5

13 Integrais indefinidas tg 4. esosta. tg3 3 tg + Sugest~ao. Mostre que tg 4 =tg tg =sec tg sec cos (3 tg +). esosta. ln j3tg +j 3 3. tg 3. esosta. tg4 cos 4 3. e. esosta. e 33. a a. esosta. lna 34. e. esosta. ln( e 4 4e )+C esosta. arc tg( )+C esosta. 3 arc sen( 3)+C esosta. 3 arc sen esosta. arc tg esosta. ln esosta. ln( + +9)+C esosta ln Sugest~ao. Fa»ca 6 =( 3 ),eent~ao u = esosta. arc sen Sugest~ao. Fa»ca u = esosta. arc tg 4 +a 4 a a 44. cos. esosta. arc tg sen a +sen a a 45.. esosta. arc sen(ln )+C. ln 46. arccos. esosta. (arccos ) arc tg +. esosta. ln( + ) (arc tg ) esosta. 4 3 ( + )3 49. cos 3. esosta. sen 4 sen 3sen 3 Sugest~ao. Fa»ca cos 3 sen 4 sen. sen 4 = cos cos = ( sen )cos sen 4, eent~ao u =