2. Funções. Definição: Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "2. Funções. Definição: Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que"

Transcrição

1 . Funções O conceito de unção está relacionado à idéia de associação de um elemento a outro, segundo uma regra especíica. Assim, por eemplo, podemos considerar o tamanho de uma população relacionado apenas ao tempo ou variando em unção da variação do tempo), ou associado ao tempo e ao espaço, ou a qualquer outro ator que interira na população em estudo; o preço de um produto pode estar associado apenas ao seu custo de produção, ou ao seu custo e à margem de lucro do abricante, ou ainda, ao seu custo, à margem de lucro do abricante e à demanda; o volume de uma esera pode estar associado apenas ao tamanho de seu raio, porém o raio pode variar com o tempo e assim, o volume estará variando também com a variação do tempo; e assim por diante. Como podemos observar, o conceito de unção envolve uma relação de dependência, onde um elemento depende de outro ou de vários outros, os quais podem variar livremente. Como a variação de um deles acarreta na variação do que depende dele, chamamo-nos de elementos variáveis ou simplesmente variáveis. Deste modo, para cada associação, temos uma variável dependente e uma ou mais, independentes. Chamaremos de unção à variável dependente e simplesmente de variáveis, às variáveis independentes, o que é bem intuitivo, uma vez que um elemento varia em unção da variação daquele do qual depende. O tratamento matemático destas relações acilita muito a análise e compreensão das mesmas, e por isso o estudo das unções matemáticas é tão importante em todas as áreas do conhecimento. Assim, trataremos nesta seção do estudo das unções elementares e mais utilizadas, considerando neste momento, apenas as unções que dependem de uma única variável e azendo uma abordagem mais compreensiva, sem preocupação com as demonstrações e o rigor matemático. Deinição: Uma unção matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que associa, a cada elemento de partida, denominado domínio, um único elemento de um conjunto de chegada, denominado contra-domínio. Os elementos do conjunto contra-domínio que são imagem de algum elemento do domínio constituem o conjunto imagem da unção. Da deinição acima podemos observar que uma unção matemática é uma relação particular entre dois conjuntos, onde a premissa básica é a de que cada elemento do domínio possui uma única imagem, segundo aquela regra ou unção. Do ponto de vista prático, podemos considerar, por eemplo, que se uma unção descreve a posição de um objeto em movimento, a qual varia com o tempo, é sabido que em um dado instante o objeto não poderá ocupar duas posições dierentes, 8

2 embora em dois instantes dierentes ele possa ocupar a mesma posição. Isso signiica que dois ou mais elementos do domínio podem ter a mesma imagem, porém um elemento não pode ter várias imagens dierentes. O esquema abaio ilustra tal situação, onde o diagrama da esquerda representa o gráico de uma unção, enquanto que o da direita não. A B A B t p t p t p Uma unção pode ser representada por vários meios, como por eemplo, o diagrama acima, ou uma epressão matemática, um gráico, uma epressão verbal, dentre outros. A epressão matemática e o gráico são as ormas mais utilizadas no estudo matemático. A epressão matemática de uma unção que a cada ponto t de um conjunto A associa um : A B. Neste caso, A é o domínio e B é o contra- t a t) ponto t) de um conjunto B é dada por: domínio de. O gráico de uma unção é o subconjunto do plano dado por: {, ) R : ) } G, o qual é posicionado num sistema de eios cartesianos, onde o eio horizontal contém a variável independente domínio), o eio vertical contém a variável dependente ) imagem), os eios se cruzam na origem e o sentido de crescimento se dá da esquerda para a direita e de baio para cima. Assim, o gráico de uma unção real descreve uma curva no plano, a qual representa o seu comportamento e acilita muito o seu entendimento. É, portanto, uma erramenta básica no estudo de cálculo. Na igura seguinte observamos dois gráicos, sendo que o da esquerda representa o gráico de uma unção, enquanto que o da direita não, uma vez que eistem valores de com dois correspondentes. 9

3 ) Como podemos ver, a representação gráica nos permite saber se um gráico representa ou não uma unção. Para isso basta traçarmos retas paralelas ao eio e ver quantas vezes estas retas interceptam a curva; se interceptar mais de um a vez, então a curva não é gráico de unção. Eemplos ) Durante um programa nacional de imunização da população contra uma orma virulenta de gripe, representantes do Ministério da Saúde constataram que o custo de vacinação de % da 0 população era de aproimadamente ) milhões de reais. 00 a) Qual é o domínio da unção )? b) Para que valores de, no conteto do problema, ) tem interpretação prática? c) Qual oi o custo para que os primeiros 0% da população ossem vacinados? d) Qual oi o custo para que os 0% restantes da população ossem vacinados? e) Qual a porcentagem vacinada da população, quando oram gastos 7, milhões de reais? ) Faça o gráico da unção, especiicando sua parte relevante, tendo em vista a situação prática do problema em questão. Solução: a) Dom ) { R : 00} b) Como representa o percentual da população a ser vacinada, segue que [ 0, 00]. c) Como queremos saber o custo para vacinar 0% da população, basta calcularmos 0): ) Portanto, o custo para vacinar os primeiros 0% da população é de 0 milhões de reais. 0

4 d) O custo para que os 0% restantes da população sejam vacinados é igual ao custo para vacinar a população total menos o custo para vacinar os primeiros 0%, ou seja, 00) 0). Como 0) já é conhecido, basta calcularmos 00): ) Portanto, 00) 0) 00. Logo, o custo para vacinar os 0% restantes da população é de 00 milhões de reais. e) A pergunta que se az é: qual o valor de para que se tenha ) 7,? Para respondê-la, basta resolvermos a equação: 0 7, 0 7,00 ) 0 + 7,) , , 0. Portanto, oram vacinados 0% da população quando haviam gastado 7, milhões de reais. ) O gráico da esquerda mostra o comportamento da unção matemática, sem se preocupar com o problema ísico. Já o da direita considera como domínio apenas o intervalo de interesse. Fizemos uma comparação do gráico com a reta e podemos observar que após os primeiros 0% vacinados, o custo cresce mais rapidamente.

5 . Funções lineares: são unções cujos gráicos descrevem retas no plano e são epressas por : R R a a + b sendo a e b constantes e o domínio, todos os reais. Observe que se b 0, então o gráico é uma reta passando pela origem, enquanto que se a 0, o gráico é uma reta paralela ao eio, interceptando o eio em b e, neste caso, é dita unção constante. a é dito coeiciente angular da reta e se or positivo, a reta tem sentido crescente; caso contrário, decrescente. b é o coeiciente linear. Muitos problemas não apresentam a epressão da unção e az parte da solução, encontrá-la. Isso é chamado de modelagem matemática e consiste em encontrar uma unção matemática que represente um determinado enômeno ísico, químico, biológico, econômico, etc. No caso da unção ser linear, basta conhecermos dois pontos pertencentes ao seu gráico para determinarmos a unção, pois já vimos que o gráico de toda unção linear é uma reta. Com a Geometria Euclidiana aprendemos que por dois pontos passa uma única reta e a Geometria Analítica nos diz como epressar esta reta em linguagem matemática. Logo, basta relembrarmos como se az isso... O coeiciente angular de uma reta r é deinido como sendo a tangente do ângulo α ) que esta reta az com a reta horizontal que a intercepta. Se estivermos considerando um sistema de coordenadas, esta reta horizontal coincide com o eio-. Observando a igura abaio, notamos que, dados dois ponto P e Q e a reta que passa por eles, podemos construir um triângulo retângulo a partir de uma reta paralela ao eio-, passando por P, e uma reta paralela ao eio-, passando por Q. Das relações sobre triângulos, segue que cateto oposto tg α ) cateto adjascente. Portanto, o coeiciente angular de r, que chamaremos de a, é dado por a. Mas este mesmo raciocínio

6 vale para quaisquer dois pontos sobre r, ou seja, se tomarmos um ponto genérico, ), também teremos a. Desta igualdade resulta que a ) ou a ), o que é equivalente a da reta. a + b, onde b a a. Esta é a chamada equação reduzida Eemplos: ) A temperatura em graus Fahrenheit é uma unção linear da temperatura em graus Celsius. Use o ato de que 0 o C o F e 00 o C o F para escrever uma unção que orneça a conversão de temperatura de uma graduação para outra. Use a unção obtida para converter graus Celsius em graus Fahrenheit e 8 graus Fahrenheit em graus Celsius. Solução: Seja c a medida Celsius e Fc) a medida Fahrenheit. Como a unção solicitada é linear e os pontos 0, ) e 00, ) pertencem à reta que é o gráico da unção, segue que seu coeiciente 80 angular é então dado por a, 8. Como a equação da reta pode ser dada por a ) 0, onde a é o coeiciente angular e 0, 0 ) é um ponto pertencente à ela, segue 0 que a unção solicitada pode ser dada por F c),8 c +. Assim, para converter graus Celsius em Fahrenheit basta substituir c por e obter F) 9, ou seja, o C 9 o F. De modo análogo veriicamos que 8 o F 0 o C. Vejamos o gráico desta e outras unções lineares: ),8 + )

7 ) -- ) ) - )-. Funções quadráticas: são unções cujos gráicos são parábolas e são epressas por : R R a a + b + c onde a, b e c são constantes e a 0. Dom). Eemplos: ) - ) - +

8 ) + + ) Funções cúbicas: são unções cujos gráicos recebem o mesmo nome e são epressas por : R R a a + b onde a, b, c e d são constantes e a 0. Dom). Eemplos: ) + c + d ) ) ) - 0, Funções polinomiais: são unções descritas por polinômios, ou seja, unções do tipo ) a L a, onde n N. n n n + an + + a + 0

9 . Funções racionais: são unções dadas pelo quociente entre dois polinômios, ou seja, P ) ), onde P) e Q) são polinômios. Dom ) { R : Q ) 0}. Q ) Eemplos: )/ ) /-) ) -)/ +) ) +-) -9) / +-)+) Observe que ao trabalharmos com unções racionais devemos tomar cuidado com o domínio de deinição da unção, uma vez que o denominador não pode se anular. Assim, nos eemplos acima notamos que )/ não está deinida em 0; ) /-) não está deinida em e ) +-) -9) / +-)+) não está deinida em -, -,, já que +-) -)+). Isso signiica que estes valores não pertencem aos domínios das respectivas unções. No entanto a unção ) -)/ +) está deinida em todos os reais, pois +) não se anula se é um número real. Outra observação importante é que devemos tomar muito cuidado com o uso do computador para azer gráicos de unções, pois nem sempre o gráico obtido é o esperado. No caso da unção ) +-) -9) / +-)+), por eemplo, a maioria dos sotwares gráicos aria a reta

10 contínua como sendo o seu gráico, ignorando o ato de eistirem três pontos que anulam o denominador. Isso ocorre pelo ato de que ) pode ser escrita como: + ) 9) ) + ) ) + ) ). + ) + ) ) + ) + ) Bem, se, e, então podemos cancelar os termos comuns e teremos a unção ), cujo gráico é uma reta contínua, ou seja, sem interrupções. E é isso o que a maioria 0 dos sotwares azem. Todavia, sabemos, por eemplo, que se, então teremos, o 0 que nos impede de cancelar este termo. Raciocínio análogo se aplica aos demais. Daí os três urinhos no gráico. Outros eemplos são os gráicos das unções ) / e ) /-), que na vizinhança de 0 e, respectivamente, se apresenta limitado, ou seja, a curva é interrompida. No entanto, se é muito pequeno Ø 0), / é muito grande / Ø ), do mesmo modo que se está muito próimo de, então /-) também é muito grande /-) Ø ), ou seja, os gráicos nestas vizinhanças deveriam crescer e decrescer) ininitamente, o que não ocorreu por limitações do programa gráico que os realizaram.. Função módulo: é a unção deinida por, se 0 )., se < 0 Dom)..7 Função raiz quadrada: ). Dom ) { R : 0}

11 .7 Funções deinidas por partes eemplos): a) +, ),, < 0 0 < b) ) +, + 0, Funções trigonométricas: as principais unções trigonométricas são as unções seno e coseno, as quais possuem comportamento ondulatório e são deinidas para todo real. São utilizadas para modelar enômenos periódicos, que se repetem com uma determinada reqüência. As demais, como tangente, co-tangente, secante e co-secante, são deinidas a partir do seno e co-seno, e são dadas por: sen ) cos ) tg ), cot g ), sec ), cos sec ) cos ) sen ) cos ). sen ) É importante observar que quando estamos trabalhando com unções trigonométricas, o domínio é um sub-conjunto de e, portanto, as variáveis não podem ser epressas em graus e 8

12 sim, em radianos, que são representações reais das medidas angulares. Para azer a conversão, basta usar a relação o π rad. Vejamos os seus gráicos: 80 ) sen ) D )cos) D π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ π π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ π )tg) D -{π/+kπ} )cotg) D -{kπ} π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ π π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ π )sec) D -{π/+kπ} )cossec) D -{kπ} π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ Composição de unções: Eistem muitas situações nas quais uma quantidade é dada como uma unção de uma variável que, por sua vez, pode ser escrita como unção de uma segunda variável, e 9

13 assim por diante. Compondo-se as unções de maneira apropriada, pode-se epressar a quantidade original como unção da última variável. Esse processo é chamado composição de unções e deinido do seguinte modo: Deinição: Sejam : A B e g : Im C. Deinimos a composta de g com e denotamos por g o à unção dada por g o ) ) g )). O esquema seguinte ilustra a deinição: g ) g)) g o Eemplos: ) ) é a composição das unções g u) u e u), já que g ou) ) g u )) g ). ) ) + é a composição das unções g u) u e u) +, já que g ou) ) g u )) g + ) +. ) ) é a composição das unções já que g ). u g u), u v) v e v) -, g ou ov) ) g u ov) )) g u v ))) g u ) Um estudo das condições ambientais de uma comunidade suburbana indica que a taa média diária de monóido de carbono no ar será de c p) 0, p + partes por milhão ppm), quando a população or de p milhares. Estima-se que daqui a t anos, a população da comunidade será de )) 0

14 p t) + t 0 0, milhares. Epresse a taa de monóido de carbono no ar como uma unção do tempo. Solução: Como a taa de monóido de carbono está relacionada a p pela equação c p) 0, p +, e a variável p está relacionada à variável t pela equação p t) + t 0 0,, a unção composta c p t)) + t da variável t. 0,0 + 0, t ) + 0,0 epressa a taa de monóido de carbono no ar como unção Importante: Imagine um conjunto ormado por todas as unções reais. Vamos chamá-lo de F. Portanto, os elementos de F são unções com domínio e imagem em e como em todo conjunto, podemos deinir operações e propriedades. As operações de soma, subtração, produto e divisão já são bem amiliares entre as unções, ou seja, já estamos acostumados a somar duas unções, dividir uma pela outra, multiplicar e assim por diante. Note que a composição é uma outra operação que podemos azer com as unções, a qual não azemos com números reais. Portanto, esta é uma operação deinida no conjunto de unções e como tal, também possui propriedades, dentre as quais, destacamos: Elemento neutro: é uma unção que, ao ser composta com qualquer outra, não altera esta outra. Portanto, o elemento neutro em relação à operação composição, é a unção identidade, denotada por i d, e tal que R i d ),. De ato, para toda unção real, tem-se o i ) ) i )) ) e i o ) ) i )) ). d d d d Funções inversas: Se é bijetora injetora e sobrejetora), então é inversível, ou seja, eiste uma unção g tal que g é a inversa da, a qual desaz o que a az. Na linguagem matemática escrevemos: Se : A B é bijetora, então eiste g : B A tal que ) g ). O esquema abaio permite a visualização da deinição:

15 A B g) g ) Observações:. A notação para a unção inversa é g, o que não deve ser conundido com o inverso multiplicativo de, ou seja, ). ) composição e não em relação à multiplicação. é a inversa de em relação à operação. Pela observação, se - é a inversa de, então a composta entre elas é a unção identidade, que é o elemento neutro. Logo, o o i d. Assim, )), )), Dom ) Dom ).. Dada uma unção algébrica, para calcularmos sua inversa azemos ) e isolamos como unção de.. Os gráicos de e - são simétricos em relação à reta. Eemplos: ) Se ) +, calcule sua inversa. Solução: + g ). Portanto, a inversa de, escrita como unção de, é dada por ). )) De ato, )) + + ), R ) ) + +, R.

16 ) Se n ), então,, ) > n N n n. Eemplos: 0., ) )) 0, ) ) )) : ) )., ) )), ) ) )) : ) ) R R.9 Funções Eponenciais: são unções que apresentam crescimento ou decrescimento) muito rápido e, por isso, utilizadas para representar enômenos que possuem esta característica, por )+ )-)/ ) ) ) ) ) ) )

17 eemplo, crescimento de bactérias, decaimento radioativo de elementos químicos, juros compostos, etc. São deinidas da seguinte orma: Deinição: Se b é um número positivo dierente de b > 0, b ), então a unção eponencial de base b é deinida como ) b, para qualquer número real. Eemplos: )0 ) ) ), )0, )0, )0,8 Observações:. Da deinição decorre que se 0 < b <, então a unção é decrescente e se aproima de zero para valores grandes de, enquanto que se b >, então a unção é crescente e se aproima de zero à medida que decresce negativamente.. Se 0, então b 0, ou seja, para qualquer valor da base, o gráico intercepta o eio quando.. Para que a unção eponencial pudesse ser deinida em todos os reais, algumas restrições oram necessárias à base, como por eemplo, o ato de b ser dierente de só tem signiicado se é inito, mas os reais compreendem o ininito também) e não poder ser negativo um eemplo de / problema: b < 0 b b R ).. Valem para as unções eponenciais todas as propriedades válidas para epoentes, ou seja: a) b b d) b ) b b) b b b + e) a b) a b c) b / b b ) a/b) a / b

18 . É comum também a utilização da unção ) / inverso ao de b, como podemos ver nas iguras abaio: b b, cujo gráico possui comportamento ) - ) - )0 - )0, - )0, - )0,8 -. Eiste um número irracional denominado número de Euler e denotado pela letra e, cujo valor até a quinta casa decimal é,788, que quando utilizado como base da unção eponencial apresenta propriedades matemáticas muito interessantes e, por isso, a unção ) e ep) é a mais utilizada na teoria e nas aplicações das unções eponenciais. Dizemos que uma grandeza Qt) cresce eponencialmente se Qt) Q 0 e kt para k > 0 e decai eponencialmente se Qt) Q 0 e kt para k < 0, onde Q 0 representa a grandeza inicial. Seu gráico é dado pelas iguras abaio: )e )e -

19 Aplicações: ) Os biólogos observam que, em condições ideais, o número de bactérias em uma cultura cresce eponencialmente. Suponha que eistam inicialmente.000 bactérias em certa cultura e que.000 bactérias estejam presentes 0 minutos depois. Quantas bactérias estarão presentes depois de hora? Solução: Seja Qt) o número de bactérias presentes após t minutos. Como o número de bactérias cresce eponencialmente e como eistiam inicialmente.000 bactérias, Q é uma unção da orma Qt).000 e kt. Como.000 bactérias estão presentes após 0 minutos, temos e 0k ou e 0k. Para determinar o número de bactérias após h 0 min) basta calcular Q0) usando a lei de epoentes: Q0).000 e 0k.000 e 0k ).000 ).000. Portanto,.000 bactérias estarão presentes após hora. ) A meia vida do elemento químico estrôncio Sr) é de anos. a) Se uma amostra de 90 Sr tiver uma massa de mg, encontre uma epressão para a massa após t anos de desintegração. b) Encontre a massa remanescente após 0 anos. c) Utilizando o gráico da unção, encontre o tempo necessário para que a massa ique reduzida a mg. Solução: a) Tomando t 0 como o instante inicial, no qual se começa a analisar o enômeno e mt) a massa num instante t qualquer, temos a seguinte situação: m 0) m t)? Se a meia vida do elemento é de anos, sabemos que a cada anos sua massa se reduz à metade, ou seja,

20 m ) m 7 ) M m t ) m 0 ) ; m 0 ) m ) m 0 ) ; m 00 ) t / m t ) t / m 0 ) b) m0) µ -0/ 7,9 mg. c) Portanto, levará aproimadamente anos para que sua massa ique reduzida a mg. 7. Suponha que você aplique R$.000,00 a uma taa de 0,8% ao mês, cujos juros são compostos mensalmente. Quanto você terá após anos? Solução: Façamos inicialmente o caso geral, ou seja, suponhamos que a quantia inicial a ser aplicada seja C 0, a taa seja r % ao mês e o tempo medido em meses), t. Assim, teremos: t 0 : C 0 t : C 0 + r C 0 C 0 +r) t : C 0 +r) + r C 0 +r) C 0 +r) +r) C 0 +r) t : C 0 +r) + r C 0 +r) C 0 +r) +r) C 0 +r) M t t : C 0 +r) t Logo, após t meses, o capital será de Ct) C 0 +r) t. 7

21 Portanto, no caso eempliicado, temos C 0 000, r 0,008 e t 8. Assim, após anos você terá 000, , reais..0 Funções Logarítmicas: Se a > 0, a, então a unção eponencial ) a é bijetora sempre crescente ou decrescente) e, portanto, inversível. Assim, eiste uma unção inversa, denominada unção logarítmica de base a, denotada por inversa, satisaz ) ), ou seja, log a. a ) log, que, por ser a unção As iguras abaio mostram a unção logarítmica para várias bases e sua relação com a inversa, a eponencial. a log ) log ) e log ) 0 )0 ) log ) 0 Observações: ) Como a é sempre positivo, segue que o domínio da unção logarítmica é apenas o conjunto dos reais positivos. ) Como a unção logarítmica é a inversa da eponencial, segue que log a ), R e, > 0. a log a a ) São válidas todas as propriedades de logaritmos, ou seja: a) log log d) r log log a a a a r 8

22 b) c) log ) log + log e) log 0, a > 0, a a a a a log / ) log log a a a Caso particular: Se a e então a unção é dita unção logarítmica natural, ou simplesmente ln, a qual é representada por ) ln log e cujo gráico é mostrado na igura abaio, juntamente com a sua relação com a inversa, a eponencial. e )ln ) e ) )ln Observações: ) A unção ) ln) é a inversa da unção ) e e, portanto, vale: ln e ) e e ln. ) ln e e ln 0. ln ) log, a > 0, a. a ln a ) Na aplicação ) vista anteriormente, poderíamos ter resolvido a equação e 0k aplicando a unção inversa ln nos dois lados da equação, ou seja: lne 0k ) ln ou 0k,098 ou k 0,09. Uma vez encontrado o valor de k, teríamos Qt).000 e 0,09 t e conseqüentemente, Q0).000 e 0,

23 . Funções trigonométricas inversas: são unções que seguem o mesmo princípio de todas as outras inversas, ou seja, desaz o que a respectiva unção ez. Como as unções trigonométricas não são bijetoras em seus domínios, é necessário restringi-los a intervalos onde a unção seja bijetora. Esta restrição é arbitrária, porém é mais comum tomarmos os intervalos mais próimos da origem para deinirmos as inversas das trigonométricas. Segue abaio os gráicos das unções trigonométricas com os domínios restritos e o de suas respectivas inversas. )sen )arc sen π/ π/ π/ π/ )cos π )arc cos π/ π/ π π/ )tg )arc tg π/ π/ π/ π/ 7 0

24 7 )cotg π )arc cotg π/ π/ π π/ )sec π )arc sec π/ π/ π )cossec 8 )arc cossec π/ π/ π/ 8 π/ 8 Observe a relação entre os domínios e as imagens das unções acima e suas inversas: :[ π /, π / ] [, ] a sen ) :[, ] [ π /, π / ] a arcsen )

25 :[0, π ] [, ] a cos ) : π /, π / ), + ) a tg ) :[, ] [0, π ] a arccos ) :, + ) π /, π / ) a arc tg ) : 0, π ), + ) a cot g ) :, + ) 0, π ) a arccot g ) :[0, π / ) π /, π ], ] [, + ) a sec ) :, ] [, + ) [0, π / ) π /, π ] a arc sec ) :[ π /, 0) 0, π / ], ] [, + ) a cos sec ) :, ] [, + ) [ π /, 0) 0, π / ] a arccos sec ) As unções trigonométricas inversas são utilizadas, dentre outras coisas, para a determinação de soluções de equações que envolvem unções trigonométricas. Vejamos alguns eemplos: Resolva as equações abaio: a) sen ) / 0 sen ) / arcsen/ ) π / ou π / b) arctg + / ) + π / π arctg + / ) π / + / tg π / ) + / / c) sec θ ) / a θ arc sec / a)

26 EXERCÍCIOS ) Determine o domínio das seguintes unções e aça os respectivos gráicos usando o winplot: a) ) + b) ) + c) ) 9 d) ) ln ) e) ) e ) ) + g) ) sen π ) h) ) arctg 9) i) ) arccos π / ) + ) j) ) ln e + 8 ) ) Determine a unções compostas o g e g o e aça seus gráicos, em um mesmo sistema de eios: a) ) + +, g ) b) ), g ) + + c) ), g ) + d) e) ) ) e, g ) + ) tg + π ), g ) π ) sec ), g ) 0 g) + ln ), g ) e ) Determine as unções h) e g ) tais que ) g h )). a) ) + + ) b) ) + ) + + ) c) ) cot g

27 ) a) Determine ) se ) +. b) Determine +) se ) + / ). c) Determine + ) ) se ). ) Faça o gráico de ) sen)/. O que acontece com os valores da unção para próimo da origem? ) Faça o gráico de ) sen) e g) no mesmo sistema de eios coordenados. O que acontece com os valores da unção para próimos da origem? 7) Faça o gráico de ) [cos) -]/. O que acontece com os valores da unção para próimos da origem? 8) Faça o gráico das seguintes unções, no mesmo sistema de eios coordenados: a) ) cos ), g ) cos + π / ), h ) cos π / ) b) ), g ), h ) c) ) ln, g ) ln + ), h ) ln + 9) As curvas com equações são chamadas curvas ponta de bala. Faça o gráico de a algumas destas curvas para alguns valores de a) para entender o porquê de seu nome. 0) Determine uma janela retangular apropriada para a unção dada e use-a para azer o gráico da unção: a. ) b. ) + c. ) cos00 ) d. ) sen0 ) e. cos ) ). )

28 ) Faça o gráico da elipse + através dos gráicos das unções que são a metade superior e inerior da elipse. ) Use um gráico para mostrar que a equação cos 0, tem três soluções e encontre-as com duas casas decimais de precisão. ) Compare as unções ) e g ) retangulares: [0,] por [0,0]; [0,] por [0,0 7 ]; [0,0] por [0,0 8 ]. através de seus gráicos nas seguintes janelas ) Compare as unções ) e g ) por meio de seus gráicos em várias janelas retangulares. Encontre todas as intersecções dos gráicos corretas até uma casa decimal. Para grandes valores de, qual unção cresce mais rapidamente? ) O valor de mercado de qualquer modelo de calculadora tende a diminuir com o tempo por causa do lançamento de modelos mais modernos. Suponha que daqui a meses, o preço de um certo modelo seja dado por P ) / + ) reais. a. Qual será o preço daqui a meses? b. De quanto será a queda no preço durante o quinto mês? c. Daqui a quanto tempo a calculadora custará R$,00? d. O que acontece como o preço ao longo prazo ou seja, para grandes valores de )? ) Um estudo ambiental realizado em um certo município revela que a concentração média de poluentes no ar será Q p) 0, p + 9, unidades quando o município tiver p mil habitantes.calcula-se que daqui a t anos a população terá p t) + t 8 0, mil habitantes. a. Epresse a concentração de poluentes no ar como unção do tempo. b. Qual será a concentração de poluentes daqui a três anos? c. Daqui a quanto tempo a concentração de poluentes atingirá o valor de unidades? 7) Uma ábrica pode produzir estantes a um custo de R$ 80,00 a unidade. Os analistas da empresa estimam que se as estantes orem vendidas por reais à unidade, aproimadamente 00

29 unidades serão vendidas por mês. Epresse o lucro mensal do abricante em unção do preço de venda, desenhe o gráico relacionado e estime o preço ótimo de venda. 8) Suponha que você tenha R$ 0.000,00 e queira comprar um apartamento que custa R$ 0.000,00. Se você conseguir uma aplicação que renda,% ao mês, quanto tempo você terá que esperar para comprá-lo? 9) Uma substância radioativa decai eponencialmente. Se 00 g da substância estavam presentes inicialmente e 00 g estão presentes 0 anos depois, quantos gramas estarão presentes após 00 anos? Quanto tempo será necessário para que se tenha 00 g da substância? 0) Um aluno que está estudando o crescimento de colônias de bactérias em certo meio de cultura obteve os seguintes dados: Número de minutos 0 0 Número de bactérias Use esses dados para chegar a uma unção eponencial da orma kt Q t) Q0e que epresse o número de bactérias na colônia em unção do tempo. Quanto tempo levará para que as bactérias se tripliquem? ) O iodo radioativo I tem uma meia-vida de 0,9 horas. Quando injetado na corrente sanguínea, o iodo tende a se acumular na glândula tireóide. a. Depois de h um técnico eamina a glândula tireóide do paciente para veriicar se está uncionando normalmente. Se a tireóide absorveu todo o iodo injetado, que porcentagem da massa inicial de iodo radioativo deve ser detectada? b. Um paciente volta à clínica h depois de receber uma injeção de I. O técnico eamina a glândula tireóide e detecta a presença de,% da massa de iodo que oi injetada. Qual a porcentagem da massa inicial que permanece no resto do corpo do paciente ou que oi eliminada? ) Em um eperimento para testar a memória de curto prazo, L.R.Peterson e M.J.Peterson observaram que a probabilidade pt) de que um indivíduo consiga se lembrar de uma lista de números e letras t segundos depois de eaminá-la é dada por

30 t p t) 0,89 [0,0+ 0,990,8) ]. a. Qual a probabilidade de que o indivíduo se lembre da lista imediatamente após eaminá-la isto é, no instante t 0)? b. Quanto tempo é necessário para que a probabilidade se reduza a 0,? c. Faça o gráico de pt). ) Na escala Richter, a violência de um terremoto de intensidade I é dada por R ln I / ln0. a. Determine a intensidade do terremoto de 908 em São Francisco, que atingiu 8, na escala Richter. b. Quantas vezes mais intenso oi o terremoto de 908 em São Francisco que o terremoto de 99 em Kobe, no Japão, que atingiu 7, na escala Richter? ) Um modelo razoável para o número de horas do dia com luz solar na Filadélia t dias após o de janeiro é dado pela unção π L t) +,8 sen t 80 ) Baseado neste modelo estime quantas horas de luz solar haverá no local no início da primavera, ou seja, no dia de março. Faça um gráico da unção e, baseado nele, estime qual é o dia mais ensolarado da Filadélia.. ) Após acionado o lash de uma câmara, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do lash, o qual armazena uma carga elétrica dada por t / a e ) Q t ) Q. 0 A capacidade máima de carga é Q 0, a é uma constante e t é medido em segundos. Determine a unção inversa e eplique seu signiicado. Quanto tempo levará para o capacitor carregar 90% da capacidade se a? 7

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne

Leia mais

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES Í N D I C E Funções Definição... Gráficos (Resumo): Domínio e Imagem... 5 Tipos de Funções... 7 Função Linear... 8 Função Linear Afim... 9 Coeficiente Angular e Linear... Função

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

2. Função polinomial do 2 o grau

2. Função polinomial do 2 o grau 2. Função polinomial do 2 o grau Uma função f: IR IR que associa a cada IR o número y=f()=a 2 +b+c com a,b,c IR e a0 é denominada função polinomial do 2 o grau ou função quadrática. Forma fatorada: a(-r

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real Análise Matemática - 009/010 - Generalidades sobre unções reais de variável real.1-deinição e Propriedades De..1 Sejam A e B conjuntos, e uma correspondência de A para B, isto é um processo de associar

Leia mais

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento

Leia mais

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina0.com.br Funções Reais CÁLCULO VOLUME ZERO - Neste capítulo, estudaremos as protagonistas do longa metragem

Leia mais

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 2. Universidade Portucalense

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 2. Universidade Portucalense Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 2 Universidade Portucalense Funções reais de variável real Deinição e generalidades Uma unção é uma correspondência que a qualquer elemento de um conjunto D az corresponder

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Gustavo Sousa Pavani Universidade Federal do ABC (UFABC) 3º Trimestre - 2009 Aulas 1 e 2 Sobre o curso Bibliografia: James Stewart, Cálculo, volume I,

Leia mais

6. Aplicações da Derivada

6. Aplicações da Derivada 6 Aplicações da Derivada 6 Retas tangentes e normais - eemplos Encontre a equação da reta tangente e da normal ao gráfico de f () e, em 0 Represente geometricamente Solução: Sabemos que a equação da reta

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 008/ . CONCEITO DE FUNÇÃO As funções são as melhores ferramentas para descrever

Leia mais

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Apostila de Matemática Aplicada Volume Edição 00 Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Capítulo - Revisão Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns eercícios, dos principais tópicos já

Leia mais

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 1 MATEMÁTICA PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES) No presente capítulo, estudaremos as

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

3. Trace os gráficos das retas de equação 4x + 5y = 13 e 3x + y = -4 e determine seu ponto de intersecção.

3. Trace os gráficos das retas de equação 4x + 5y = 13 e 3x + y = -4 e determine seu ponto de intersecção. Assunto: Função MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 67-000 - VIÇOSA - MG BRASIL a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 0 0/0/0. a) O que é uma unção? Dê um eemplo. b) O que é domínio

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO 1 wwwprofessorwaltertadeumatbr 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) 10 n Escreva

Leia mais

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional.

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional. Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA11 Números e Funções Reais Avaliação 3 - GABARITO 06 de julho de 013 1. (1,5 pontos) Determine se as afirmações

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 00/ SUMÁRIO. LIMITES E CONTINUIDADE..... NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE..... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B).

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo : Funções.- Definições Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 0/ SUMÁRIO. FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL..... CONCEITO..... ZEROS DE UMA

Leia mais

UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA

UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA ISSN 794 UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE º E º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA Valeria Ap. Martins Ferreira, Viviane Carla Fortulan Mestre em Ciências pela Universidade de São Paulo- USP. Professora da Faculdade de

Leia mais

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos

Leia mais

APOSTILA 2015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 1

APOSTILA 2015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 1 APOSTILA 015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 015 1 Sumário 1.Conjuntos...5 1.1 Representação de conjuntos...5 1. Operações com conjuntos...6 1. Propriedades

Leia mais

Lista de exercícios Trigonometria Problemas Gerais. Parte 1 : Tangente da soma e da diferença de arcos e tangente do dobro de um arco

Lista de exercícios Trigonometria Problemas Gerais. Parte 1 : Tangente da soma e da diferença de arcos e tangente do dobro de um arco Lista de eercícios Trigonometria Problemas Gerais Prof ºFernandinho Parte 1 : Tangente da soma e da diferença de arcos e tangente do dobro de um arco 01.(Fuvest) Se é um ângulo tal que 0 < < 90 e sen =,

Leia mais

FUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da

FUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da FUNÇÃO COMO CONJUNTO Definição 4.4 Seja f uma relação de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se as duas condições a seguir forem satisfeitas: i) D(f) = A, ou seja, o domínio de f é o conjunto

Leia mais

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância

Leia mais

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M4 Funções

Matemática. Resolução das atividades complementares. M4 Funções Resolução das atividades complementares Matemática M Funções p. Responda às questões e, tomando por base o teto abaio: (Unama-PA) O ATAQUE DOS ALIENS Caramujos africanos, medindo centímetros de comprimento

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa E. alternativa B. alternativa E. A figura exibe um mapa representando 13 países.

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa E. alternativa B. alternativa E. A figura exibe um mapa representando 13 países. Questão A figura eibe um mapa representando países. alternativa E Inicialmente, no recipiente encontram-se 40% ( 000) = 400 m de diesel e 60% ( 000) = = 600 m de álcool. Sendo, em mililitros, a quantidade

Leia mais

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é: Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal:

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 1 Estudo do Sinal de uma Função 11 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal

Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal Guia de aulas: Equações diferenciais Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal 1º Semestre de 013 Índice 1.Introdução... 3. Equações Diferenciais de 1ª Ordem... 7.1. Equações Diferenciais Separáveis...

Leia mais

Í N D I C E Introdução Função Constante... 01 Função Linear... 02

Í N D I C E Introdução Função Constante... 01 Função Linear... 02 UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL Conhecendo a teoria III Curso: Pós-graduação / MBA Campus Virtual Cruzeiro do Sul - 009 Professor Responsável: Carlos Henrique de Jesus Costa Professores Conteudistas: Carlos

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 2. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO D PROV DE MTEMÁTIC DO VESTIBULR 0 D UNICMP-FSE. PROF. MRI NTÔNI C. GOUVEI. Em de outubro de 0, Feli Baumgartner uebrou o recorde de velocidade em ueda livre. O salto foi monitorado oficialmente

Leia mais

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade

Leia mais

1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1.

1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1. 2.1 Domínio e Imagem EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 1.1 1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x

Leia mais

MATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada

Leia mais

www.cursoavancos.com.br

www.cursoavancos.com.br LISTA DE EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - PROF.: ARI 0) (ANGLO) Sendo FUNÇÕES INVERSAS f a função inversa de f() = +, então f (4) é igual a : 2 a) 4 b) /4 c) 4 d) 3 e) 6 02) (ANGLO) Sejam f : R R uma função bijetora

Leia mais

Matriz de Referência de Matemática da 3ª série do Ensino Médio Comentários sobre os Temas e seus Descritores Exemplos de Itens

Matriz de Referência de Matemática da 3ª série do Ensino Médio Comentários sobre os Temas e seus Descritores Exemplos de Itens Matriz de Referência de Matemática da 3ª série do Ensino Médio Comentários sobre os Temas e seus Descritores Eemplos de Itens TEMA III NÚMEROS E OPERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕES Nesse tema abordam-se essencialmente

Leia mais

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) Física 0 Duas partículas A e, de massa m, executam movimentos circulares uniormes sobre o plano x (x e representam eixos perpendiculares) com equações horárias dadas por xa ( t ) = a+acos ( ωt ), ( t )

Leia mais

PARTE 3. 3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais

PARTE 3. 3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais PARTE 3 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 3. Funções Reais de Várias Variáveis Reais Vamos agora tratar do segundo caso particular de funções vetoriais de várias variáveis reais, F : Dom(F) R n R

Leia mais

Notas de aulas. André Arbex Hallack

Notas de aulas. André Arbex Hallack Cálculo I Notas de aulas André Arbex Hallack Julho/007 Índice 0 Preliminares 0. Números reais.................................... 0. Relação de ordem em IR.............................. 3 0.3 Valor absoluto....................................

Leia mais

O coeficiente angular

O coeficiente angular A UA UL LA O coeficiente angular Introdução O coeficiente angular de uma reta já apareceu na Aula 30. Agora, com os conhecimentos obtidos nas Aulas 40 e 45, vamos explorar mais esse conceito e descobrir

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = = Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo

Leia mais

1. UMA RAZÃO PARA OS LOGARITMOS

1. UMA RAZÃO PARA OS LOGARITMOS . UMA RAZÃO PARA OS LOGARITMOS.. INTRODUÇÃO Os logaritmos foram inventados, no começo do século XVII, como um instrumento para facilitar e simplificar o cálculo aritmético, permitindo que se efetuassem,

Leia mais

Estudo de funções parte 2

Estudo de funções parte 2 Módulo 2 Unidade 13 Estudo de funções parte 2 Para início de conversa... Taxa de desemprego no Brasil cai a 5,8% em maio A taxa de desempregados no Brasil caiu para 5,8% em maio, depois de registrar 6%

Leia mais

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Este teto estuda um grupo de problemas, conhecido como problemas de otimização, em tais problemas, quando possuem soluções, é

Leia mais

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 4 Estudo do Sinal de uma Função 4.1 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição

12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição 90 1. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 1.1 FUNÇÕES INJETORAS Definição Dizemos que uma função f: A B é injetora quando para quaisquer elementos x 1 e x de A, f(x 1 ) = f(x ) implica x 1 = x. Em

Leia mais

M A T E M Á T I C A DIRETRIZES GERAIS

M A T E M Á T I C A DIRETRIZES GERAIS M A T E M Á T I C A DIRETRIZES GERAIS O conteúdo programático de Matemática dos processos seletivos da UFU tem como objetivo identificar a habilidade do estudante em resolver problemas, fazer conexões

Leia mais

MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I

MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I Acadêmico(a): Turma: 9/ Capítulo : Funções Cálculo I. ANÁLISE GRÁFICA DAS FUNÇÕES.. EXERCÍCIOS Abaio estão representadas graficamente algumas funções. Analise cada uma dessas

Leia mais

v m = = v(c) = s (c).

v m = = v(c) = s (c). Capítulo 17 Teorema do Valor Médio 17.1 Introdução Vimos no Cap. 16 como podemos utilizar a derivada para traçar gráficos de funções. Muito embora o apelo gráfico apresentado naquele capítulo relacionando

Leia mais

5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada.

5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada. Capítulo V Derivação 5 Noção de derivada Interpretação geométrica de derivada Seja uma unção real de variável real Deinição: Chama-se taa de variação média de uma unção entre os pontos a e b ao quociente:

Leia mais

Introdução. Existem situações nas quais há interesse em estudar o comportamento conjunto de uma ou mais variáveis;

Introdução. Existem situações nas quais há interesse em estudar o comportamento conjunto de uma ou mais variáveis; UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Correlação e Regressão Luiz Medeiros de Araujo Lima Filho Departamento de Estatística Introdução Eistem situações nas quais há interesse em estudar o comportamento conjunto

Leia mais

Matemáticas Gerais. (Licenciatura em Geologia) Caderno de exercícios (exercícios propostos e tabelas) Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues

Matemáticas Gerais. (Licenciatura em Geologia) Caderno de exercícios (exercícios propostos e tabelas) Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues Matemáticas Gerais (Licenciatura em Geologia Caderno de eercícios (eercícios propostos e tabelas Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia da

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 2012 2. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 2012 2. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 0 Profa. Maria Antônia Gouveia. Questão Em um grupo de 0 casas, sabe-se que 8 são brancas, 9 possuem jardim e possuem piscina. Considerando-se essa infomação e as

Leia mais

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma.

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma. 2ª Fase Matemática Introdução A prova de matemática da segunda fase é constituída de 12 questões, geralmente apresentadas em ordem crescente de dificuldade. As primeiras questões procuram avaliar habilidades

Leia mais

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS - FUNÇÕES 2010/2

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS - FUNÇÕES 2010/2 Número de pontos Dívida ($ bilhão) 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS - FUNÇÕES 010/ 1. A dívida pública dos EUA (em bilhões de dólares) para alguns anos encontra-se no gráfico abaio. 400 300 00 100 000 1900 1800

Leia mais

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva

Leia mais

2. Noções de Matemática Elementar

2. Noções de Matemática Elementar 2. Noções de Matemática Elementar 1 Notação cientíca Para escrever números muito grandes ou muito pequenos é mais cómodo usar a notação cientíca, que consiste em escrever um número na forma n é o expoente

Leia mais

Considere um triângulo eqüilátero T 1

Considere um triângulo eqüilátero T 1 Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.

Leia mais

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo

Leia mais

Apostila de Cálculo I

Apostila de Cálculo I Limites Diz-se que uma variável tende a um número real a se a dierença em módulo de -a tende a zero. ( a ). Escreve-se: a ( tende a a). Eemplo : Se, N,,,4,... quando N aumenta, diminui, tendendo a zero.

Leia mais

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação). 5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof AULA 0 - FUNÇÕES.

Leia mais

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1.

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1. REDE ISAAC NEWTON ENSINO MÉDIO 3º ANO PROFESSOR(A):LUCIANO IEIRA DATA: / / TURMA: ALUNO(A): Nº: UNIDADE: ( ) Riacho Fundo ( ) Taguatinga Sul EXERCÍCIOS DE REISÃO - AALIAÇÃO ESPECÍFICA 3º TRIMESTRE 01 MATEMÁTICA

Leia mais

FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então:

FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então: FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de = 0. Então: (A) f tem necessariamente derivada finita em = 0; (B) f não tem com certeza derivada finita

Leia mais

FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1. Prof. William Mascia Resende. Engenharia Elétrica

FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1. Prof. William Mascia Resende. Engenharia Elétrica FEPI FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ UNIVERSITAS CENTRO UNIVERSITÁRIO DEITAJUBÁ CÁLCULO 1 Prof. William Mascia Resende Engenharia Elétrica ITAJUBÁ 2013 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ Curso: Engenharia

Leia mais

O gráfico de. Freqüentemente você se depara com tabelas. Nossa aula

O gráfico de. Freqüentemente você se depara com tabelas. Nossa aula O gráfico de uma função A UUL AL A Freqüentemente você se depara com tabelas e gráficos, em jornais, revistas e empresas que tentam transmitir de forma simples fatos do dia-a-dia. Fala-se em elevação e

Leia mais

Consequências Interessantes da Continuidade

Consequências Interessantes da Continuidade Consequências Interessantes da Continuidade Frederico Reis Marques de Brito Resumo Trataremos aqui de um dos conceitos basilares da Matemática, o da continuidade no âmbito de funções f : R R, mostrando

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

11. Problemas de Otimização

11. Problemas de Otimização 11. Problemas de Otimização Nesta seção veremos vários eemplos de problemas cujas soluções eigem a determinação de valores máimos e/ou mínimos absolutos das funções que os representam. São chamados de

Leia mais

1. Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma parábola, conforme a figura a seguir.

1. Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma parábola, conforme a figura a seguir. 1. Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma parábola, conforme a figura a seguir. Nessa trajetória, a altura máxima, em metros, atingida pelo corpo foi de a) 0,52m. b) 0,64m.

Leia mais

Seja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3

Seja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3 1 Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Cálculo Vetorial Texto 01: Funções Vetoriais Até agora nos cursos de Cálculo só tratamos de funções cujas imagens

Leia mais

UNIDADE 3 FUNÇÕES OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM

UNIDADE 3 FUNÇÕES OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM Unidade 2 Matrizes e Sistemas de Equações Apresentação Lineares UNIDADE 3 FUNÇÕES OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM Ao finalizar esta Unidade você deverá ser capaz de: Descrever e comentar possibilidades

Leia mais

Estudo de funções parte 2

Estudo de funções parte 2 Módulo 2 Unidade 3 Estudo de funções parte 2 Para início de conversa... Taxa de desemprego no Brasil cai a 5,8% em maio A taxa de desempregados no Brasil caiu para 5,8% em maio, depois de registrar 6%

Leia mais

Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário.

Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. 10. NÚMEROS COMPLEXOS 10.1 INTRODUÇÃO Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. O número a é denominado parte real do número complexo

Leia mais

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS.0 Representação O sistema de numeração decimal é o mais usado pelo homem nos dias de hoje. O número 0 tem papel fundamental, é chamado de base do sistema. Os símbolos 0,,, 3, 4, 5,

Leia mais

PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia

PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia PROVA OBJETIVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 0 - FGV CURSO DE ADMINISTRAÇÃO Profa. Maria Antônia C. Gouveia. O PIB per capita de um país, em determinado ano, é o PIB daquele ano dividido pelo número de habitantes.

Leia mais

A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários:

A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários: 1 1.1 Função Real de Variável Real A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários: 1. Um conjunto não vazio para ser o domínio;

Leia mais

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Introdução Considere os seguintes enunciados: O volume V de um cilindro é dado por V r h onde r é o raio e h é a altura. Um circuito tem cinco resistores. A corrente deste circuito

Leia mais

UMA NOVA PROPOSTA PARA GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO

UMA NOVA PROPOSTA PARA GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO UMA NOVA PROPOSTA PARA GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO DANIELLA ASSEMANY DA GUIA CAp- UFRJ danyprof@bol.com.br 1.1. RESUMO Esta comunicação científica tem como objetivo tratar e apresentar a Geometria

Leia mais

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma

Leia mais

Mudança de Coordenadas

Mudança de Coordenadas Mudança de Coordenadas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 13 de deembro de 2001 1 Rotação e Translação

Leia mais